精品解析：福建省连城县第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题（普通班）

2026-2027学年上期高三月考一数学试题（普通班） （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据全称命题否定的定义，“”的否定是: 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得，所以， 又因为，所以. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 4. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解． 【详解】，当时，， 所以曲线在点处的切线斜率为． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以． 6. 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的函数关系，先通过前2小时的过滤比例求出，再计算前4小时的剩余污染物比例，进而得到过滤掉的污染物占比. 【详解】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 7. 函数在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数与函数极值点的关系求出函数的极值点，结合题意列出不等式，即可求解. 【详解】的定义域为，求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故是的唯一极小值点， 由题意极值点，则，解得． 故的取值范围是． 8. 定义一种运算，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 是第四象限角 【答案】AB 【解析】 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时， D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据偶函数的定义分析判断；对于B：整理可得，根据单调性的性质分析判断；对于C：代入运算分析判断；对于D：利用二次函数的值域结合不等式的性质运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，可知的定义域为， 又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B：因为， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C：当时，，故C正确； 对于选项D：因为，则，即， 可得，所以的值域是，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则在上单调递减 B. 若，则在上单调递减 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过对函数求导，分解因式后，根据选项中参数的范围，确定导函数的符号，判断函数的单调性即可. 【详解】由求导得. 对于A，若，，当时，，函数在上单调递减； 若，由，可得或，即函数在上单调递减， 综上，当时，在上单调递减，即A正确； 对于B，若，则，由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，故B错误； 对于C，若，，故在上单调递增，即C正确； 对于D，若，则，由可得或， 故函数在上单调递增，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以. 13. 函数的单调减区间是___________ 【答案】 【解析】 【详解】， ， 当，即， 结合定义域， 解得：， 所以函数的单调减区间是：． 14. 已知函数，则函数的零点个数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】先令，求出或的值，再转化为函数与和交点的个数问题. 【详解】令，即，解得或， 故求的零点个数，等价于求函数与和交点的个数和. 时，，求导得， 令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 可以画出函数的大致图像，如图所示， 可知与和交点共有5个， 即的零点个数为5个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1） （2）已知，，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 因为，，即，即， 所以. 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）. （2）最大值为 ，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，进一步利用点斜式表示切线方程； （2）先通过导数判断函数在的单调性，再根据单调性求最值. 【小问1详解】 ，所以， 因此在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为，令，解得（舍负）， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为； 又因为， 所以最大值为. 17. 已知函数是奇函数，且 （1）求和的值； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. 【小问2详解】 由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 18. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 【答案】（1）是上的"双中值函数"，理由见详解 （2）①； ②不妨设， 则， 即. 要证，即证. 设, 则. 设，则 所以在上单调递增，所以， 所以则在上单调递减. 因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以 因为，所以. 由（1）可知在上单调递增， 所以,即得证. 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可; （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为,构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 函数是上的"双中值函数". 理由如下： 因为，所以. 因为，所以, 令，得，即，解得. 因为, 所以是上的"双中值函数". 【小问2详解】 ①因为，所以。 因为是上的"双中值函数"，所以 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以， 即的取值范围为； ②略 点睛: 思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调吽与最值即可：第一小问.可利用等量关系消元转化证明,类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期高三月考一数学试题（普通班） （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义一种运算，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 是第四象限角 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时， D. 的值域是 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则在上单调递减 B. 若，则在上单调递减 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 13. 函数的单调减区间是___________ 14. 已知函数，则函数的零点个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1） （2）已知，，求 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 17. 已知函数是奇函数，且 （1）求和的值； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $