4.2 等差数列讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2 等差数列 知识点1 等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点2 等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点3 等差数列的四种判断方法 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 ⇔是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列 知识点4 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd，. （8）若项数为奇数2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；. （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 考点一 等差数列基本量的运算 【例1】已知等差数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．7 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【解析】设公差为，则，， 解得，故.故选：C 【变式1】记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由可得：①， 由可得：②， 由①②可得：或(舍去).故选：A. 【变式2】（多选）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为是等差数列，所以. 根据题意，又，所以， 从而，，故选项A，B正确； 又，即，故选项C正确； 对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误. 故选：ABC 【变式3】已知等差数列满足，则的前20项和（    ） A．200 B．300 C．210 D．320 【答案】C 【解析】因为数列为等差数列，设，所以， 所以．因为， 所以所以 则，所以．故选：C. 考点二 等差数列的判断与证明 【例2】已知数列满足，且． (1)求，；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式． 【解析】（1）由题设，，. （2）证明：因为，所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列． （3） 由（2）得：，所以． 【变式1】(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是(　　) A.当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数) B.an＝kn＋b(k，b为常数) C.Sn＝an2＋bn(a，b为常数) D.2an＋1＝an＋an＋2 【答案】BCD 【解析】对于A，当n≥1时，an＋1－an＝d⇔数列{an}为等差数列，A错误； 对于B，若数列{an}为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，符合an＝kn＋b的形式， 若an＝kn＋b，则an＋1－an＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k(常数)，即数列{an}为等差数列， 故数列{an}的通项公式可以表示为an＝kn＋b⇔数列{an}为等差数列，B正确； 对于C，若数列{an}为等差数列，则Sn＝na1＋n，符合Sn＝an2＋bn的形式， 若Sn＝an2＋bn，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an＋b－a， 当n＝1时，a1＝a＋b符合上式，故an＝2an＋b－a，即数列{an}为等差数列， 故数列{an}的前n项和可以表示为Sn＝an2＋bn的形式⇔数列{an}为等差数列，C正确； 对于D，由2an＋1＝an＋an＋2，可得an＋1－an＝an＋2－an＋1⇔数列{an}为等差数列，D正确. 【变式2】已知数列，，数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列中的最大项. 【解析】(1)因为，. 所以当时， 又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.. (2)由（1）知，.则时，, 设函数易知在上为减函数所以当时，取得最大值. 【变式3】已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且． (1)求数列的通项公式；(2)证明数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解：设各项均为正数的等差数列的公差为， 因为， 所以，解得，即， 所以； 即. （2）解：由（1）知，所以， 因为， 又因为所以数列是首项为，公差为的等差数列． 考点三 等差数列中与的关系 【例3】已知数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，当时，； 当时，． 验证时上式不成立， ,故选C． 【变式1】已知数列的前n项和，若，则（      ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】由，得也适合，又由得， 又，∴，故选:A． 【变式2】设为数列的前项和.若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为为数列的前项和，且， 所以当时，； 当时，； 所以 充分性：当时，.所以；；.满足，所以充分性满足； 必要性：由可得：，，，符合，但是不能推出.所以必要性不满足.故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3】正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】，， 两式相减得到， 正项数列，故，得到， 当时，，解得或（舍去）， 故数列为首项为1公差为1的等差数列，故. 故答案为：。 考点四 项的性质的应用 【例4】(多选)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列结论中正确的是(　　) A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20 B.若a2＋a11＝4，则S12＝24 C.若a1<0，S15<0，则S6<S5 D.若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0 【答案】BC 【解析】对于A，由a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，可得(a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3)＝6d＝6，所以d＝1，又由a5＋a6＋a7＝(a1＋a2＋a3)＋12d＝5＋12＝17≠20，所以A错误； 对于B，由S12＝＝24，所以B正确； 对于C，由S15＝＝15a8<0，所以a8<0，又因为a1<0，可得an<0(n＝1，2，…，8)，所以S6－S5＝a6<0，所以C正确； 对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d>0，因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，所以对任意的n≥2，an>0，但a1的正负不确定，所以D错误. 【变式1】已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．14 C．21 D．7(n-1) 【答案】B 【解析】因为，所以. 故选：B 【变式2】在等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　) A.若a3＋a7＝4，则S9＝18 B.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17 C.若S15>0，S16<0，则> D.若S9＝S10，则S18>0 【答案】ABD 【解析】S9＝＝18，故A正确； 设等差数列的公差为d，则(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝4，得d＝1，则a7＋a8＝(a1＋a2)＋12d＝5＋12＝17，故B正确； S15＝＝15a8>0，则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，则a8＋a9<0，即0<a8<－a9，所以<，故C错误； 若S9＝S10，则a10＝0，S18＝＝9(a9＋a10)＝9a9，因为a1>0，a10＝0，所以公差d＝<0，则a9＝a10－d>0，所以S18>0，故D正确. 【变式3】数列是等差数列，若，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】，故. 故选：C 考点五 和的性质的应用 【例5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20等于(　　) A.30 B.58 C.60 D.90 【答案】　D 【解析】由数列{an}为等差数列， 可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16也为等差数列， 由S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10， 故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34， 即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90. 【变式1】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　) A.－50 B.－60 C.－70 D.－80 【答案】D 【解析】由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24， 则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32， 所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56， 因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80. 【变式2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6，则S2 025＝________. 【答案】　4 050 【解析】∵为等差数列，设公差为d′， 则－＝6d′＝6， ∴d′＝1，首项为＝－2 022， ∴＝－2 022＋(2 025－1)×1＝2， ∴S2 025＝2 025×2＝4 050. 【变式3】已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】因为{an}，{bn}均为等差数列， 所以， 因为，所以. 考点六 奇偶项性质的应用 【例6】在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列的项数为10，则此数列的公差为　　　　　　；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是　　　　　　.  【答案】－11　55 【解析】令S奇＝220，S偶＝165， 若此数列的项数为10，则S偶－S奇＝5d， 所以－55＝5d，所以d＝－11； 若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1，则 S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an， 所以，解得n＝4， 所以第4项是此数列的中间项，a4＝＝55. 【变式1】已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为________. 【答案】　29 【解析】奇数项共有n＋1项，其和为 ·(n＋1)＝·(n＋1)＝290， ∴(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为 ·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29. 【变式2】等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝　　　　.  【答案】10 【解析】因为等差数列{an}共有2n＋1项， 所有奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1＝132， 所有偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1＝120， 所以， 解得n＝10. 【变式3】已知数列中，，且． (1)求的通项公式；(2)求的前项和． 【解析】（1）当为奇数时，由可得，所以数列的奇数项成等差数列，且公差为2，又由，故；当为偶数时，由，可得，所以数列的偶数项成等比数列，且公比为4，又由，故，所以数列的通项公式为. （2）当为奇数时，则 ， 当为偶数时，则 ， 综上可得，. 考点七 等差数列前n项和的最值问题 【例7】在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(　　) A.4或5 B.5或6 C.4 D.5 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 则an＝3n－15， 所以Sn＝＝n2－n ＝－， 由于n∈N*，故当n取4或5时，Sn取得最小值，故选A. 【变式1】已知等差数列的前项和为，且，则使的最大值为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】 【解答】解：，则，解得， 又，故，， ，， 故使的最大值为10． 故选：． 【变式2】等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是(　　) A.d<0 B.a1>0 C.当n＝5时，Sn最小 D.当Sn>0时，n的最小值为8 答案　D 解析　对于A，B，由a7＝3a5得a1＋6d＝3a1＋12d，即a1＝－3d， 由于{an}是递增数列， 所以d>0，a1<0，故A，B错误； 对于C，an＝a1＋(n－1)d＝－3d＋(n－1)d＝(n－4)·d， 由于d>0，故当n>4，且n∈N*时，an＝(n－4)d>0， 当n＝4时，an＝0， 当n<4，n∈N*时，an＝(n－4)d<0， 因此当n＝3或n＝4时，Sn最小，故C错误； 对于D，令Sn＝na1＋＝n(n－7)>0， 由于d>0，故解得n>7，且n∈N*， 故当Sn>0时，n的最小值为8，故D正确. 【变式3】已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝(　　) A.10 B.20 C.25 D.50 【答案】D 【解析】∵a6＋2a7＋a10＝(a6＋a10)＋2a7＝2a8＋2a7＝20， ∴a7＋a8＝10，由已知得a7>0，a8>0， ∴a7·a8≤＝＝25， 当且仅当a7＝a8＝5时，等号成立. 此时数列为常数列，则an＝5，所以S10＝50. 考点八 等差数列的实际应用 【例8】若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.8尺，最后三个节气日影长之和为4.5尺，则春分时节的日影长为(　　) A.5.1尺 B.4.5尺 C.4.1尺 D.3.5尺 【答案】A 【解析】设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，公差为d，由题意得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11.4－0.9n， 所以a7＝11.4－0.9×7＝5.1， 即春分时节的日影长为5.1尺. 【变式1】某单位组织全体人员在报告厅集体收看全国人民代表大会，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（    ） A．12 B．26 C．42 D．50 【答案】C 【解析】根据题意，把各排座位数看作等差数列， 设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则， 所以，解得，所以，故选：C． 【变式2】图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}， 由题意知，OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，且△OA1A2，△OA2A3，…，△OA7A8都是直角三角形， 所以a1=1，且=+1(n≥2，n∈N*)， 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以=1+(n-1)×1=n， 由an>0，所以an=. 所以第n个三角形的面积为an×1=. 【变式3】广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需(　　) A.352步 B.387步 C.332步 D.368步 【答案】C 【解析】设从第n层到第n＋1层所走的台阶数为an，绕第n＋1层一周所走的步数为bn， 由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1，2，3，4，5，6，7}， b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1，2，3，4，5，6，7}， 所以数列{an}为首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}， 数列{bn}为公差为－3的等差数列，故bn＝36－3n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}， 设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， 所以S8＝＝152， T8＝＝180， S8＋T8＝152＋180＝332， 故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步. 题组A 基础过关练 1.已知数列{an}为等差数列，a1+a2+a3=9，a3+a7=10，则a8等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由a1+a2+a3=3a2=9，得a2=3， 由a3+a7=2a5=10，得a5=5， 又a2+a8=2a5，即有3+a8=2×5=10， 故a8=7. 2.已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．40 C．50 D．45 【答案】D 【解析】由得， 所以， 故选：D 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若a6=2a4，则等于(　　) A.12 B.10 C.9 D.6 【答案】C 【解析】设{an}的公差为d， 由a6=2a4，可得a1+5d=2(a1+3d)，得d=-a1≠0， 则S24===-252a1， a30=a1+29d=-28a1，故=9. 4.数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+m，若p：m=0，q：数列{an}是等差数列，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【答案】D 【解析】当m=0时，Sn=n2+3n，则a1=S1=4， an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2(n≥2)， a1=4也满足an=2n+2， 所以an-an-1=2(n≥2)，故数列{an}为等差数列； 由数列{an}为等差数列可知a1=4+m，a2=10+m-(4+m)=6，a3=18+m-(10+m)=8成等差数列， 所以2a2=a1+a3，即12=12+m，解得m=0. 综上可知，p是q的充要条件. 5.《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“现有五个人分5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{an}，数列{an}的公差d>0， 由题意可得，a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝5， 故3a1＋3d＝2a1＋7d，5a1＋10d＝5， 解得a1＝，d＝， 故任意两人分得的最大差值为4d＝.故选B. 6.已知等差数列的前项和为，，，，则取最大值时的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】 【解答】解：等差数列的前项和为，，，， ， 整理得， ， 取最大值时的值为9． 故选：． 7.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(　　) A.d>0 B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0 【答案】　AD 【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 对于A，B，因为S11<S10<S12， 所以S11－S10＝a11<0，S12－S11＝a12>0， 故等差数列的首项为负，公差为正， 所以d>0，a1<0，故A正确，B错误； 对于C，由S10<S12， 可知S12－S10＝a12＋a11>0， 所以S22＝＝11(a11＋a12)>0，故C错误； 对于D，因为a11<0，所以S21＝21×＝21a11<0，故D正确. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=1，a7+a8+a9=12，则S10=　　　　　　.  【答案】　25 【解析】方法一　∵a7+a8+a9=3a8=12，∴a8=4，又a3=1， ∴a3+a8=5，∴S10===25. 方法二　设{an}的公差为d， ∵a7+a8+a9=3a8=12，∴a8=4， 又a3=1，∴d==， 则a1=a3-2d=1-2×=-， ∴S10=10a1+d=25. 9.已知各项均为正数的数列{an}满足2=+(n∈N*，且n≥2)，a1=1，a2=2，则a30=　　　　　　.  【答案】2 【解析】因为2=+， 由等差中项的定义可知，数列{}是首项=1，公差d=-=4-1=3的等差数列， 所以=+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2， 由此可知=3×30-2=88， 又因为an>0，所以a30=2. 10.已知等差数列的前项和为，若，． （1）求数列的通项公式． （2）证明：数列为等差数列． 【答案】（1）；（2）证明见解答． 【解答】解：（1）等差数列的前项和为， 又，，， 解得，； （2）证明：由（1）可得，， ， 数列是公差为1的等差数列． 题组B 能力提升练 11.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为等差数列的前项和形式必为， 所以若，则不妨设，， 则，，所以． 故选：． 12.（多选）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】AB 【解析】对于A，当时，，而满足上式， 则，数列是常数数列，是等差数列，A是； 对于B，当时，，而满足上式，则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是； 对于C，当时，，而不满足上式， 则，显然，数列不是等差数列，C不是； 对于D，当时，，而不满足上式，则，显然，数列的不是等差数列，D不是.故选：AB 13.若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且＝，则＝________. 【答案】 【解析】因为等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且＝， 所以＝＝＝＝. 14.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3(n≥3). ①求a3的值； ②证明：数列{an－an－1}(n≥2)是等差数列； ③求数列{an}的通项公式. ①解　在数列{an}中，a1＝2，a2＝3， 且an＝2an－1－an－2＋3， 令n＝3，可得a3＝2a2－a1＋3＝7. ②证明　由an＝2an－1－an－2＋3(n≥3)， 当n≥2时，可得an＋1＝2an－an－1＋3， 则(an＋1－an)－(an－an－1)＝3， 又由a1＝2，a2＝3，可得a2－a1＝1， 所以{an＋1－an}是公差为3的等差数列， 即数列{an－an－1}(n≥2)是公差为3的等差数列. ③解　由②知，数列{an＋1－an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an＋1－an＝3n－2， 所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝2＋[1＋4＋7＋…＋(3n－5)] ＝2＋ ＝n2－n＋4， 又a1＝2满足上式，所以an＝n2－n＋4， 即数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋4. 15.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. (1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以当n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2，可得＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn， 即bn－bn－1＝(n≥2). 又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. (2)解　由(1)可知，bn＝＋(n－1)＝， 则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 又a1＝不满足上式. 故an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 等差数列 知识点1 等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式 为 ． （2）等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有 ． 知识点2 等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是 ． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和 ． 知识点3 等差数列的四种判断方法 方法 解读 适合题型 定义法 解答题中的证明问题 等差中项法 通项公式法 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 知识点4 等差数列的性质 （1）通项公式的推广： ． （2）在等差数列中，当时， ． 特别地，若，则 ． （3），…仍是等差数列，公差为 ． （4），…也成等差数列，公差为 ． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝ ，. （8）若项数为奇数2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；. （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 考点一 等差数列基本量的运算 【例1】已知等差数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．7 B．10 C．11 D．13 【变式1】记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（多选）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知等差数列满足，则的前20项和（    ） A．200 B．300 C．210 D．320 考点二 等差数列的判断与证明 【例2】已知数列满足，且． (1)求，；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式． 【变式1】(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是(　　) A.当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数) B.an＝kn＋b(k，b为常数) C.Sn＝an2＋bn(a，b为常数) D.2an＋1＝an＋an＋2 【变式2】已知数列，，数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列中的最大项. 【变式3】已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且． (1)求数列的通项公式；(2)证明数列是等差数列． 考点三 等差数列中与的关系 【例3】已知数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 【变式1】已知数列的前n项和，若，则（      ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】设为数列的前项和.若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为 . 考点四 项的性质的应用 【例4】(多选)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列结论中正确的是(　　) A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20 B.若a2＋a11＝4，则S12＝24 C.若a1<0，S15<0，则S6<S5 D.若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0 【变式1】已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．14 C．21 D．7(n-1) 【变式2】在等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　) A.若a3＋a7＝4，则S9＝18 B.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17 C.若S15>0，S16<0，则> D.若S9＝S10，则S18>0 【变式3】数列是等差数列，若，，则（    ） A． B．4 C． D． 考点五 和的性质的应用 【例5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20等于(　　) A.30 B.58 C.60 D.90 【变式1】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　) A.－50 B.－60 C.－70 D.－80 【变式2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6，则S2 025＝________. 【变式3】已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　) A. B. C. D. 考点六 奇偶项性质的应用 【例6】在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列的项数为10，则此数列的公差为　　　　　　；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是　　　　　　.  【变式1】已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为________. 【变式2】等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝　　　　.  【变式3】已知数列中，，且． (1) 求的通项公式；(2)求的前项和． 考点七 等差数列前n项和的最值问题 【例7】在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(　　) A.4或5 B.5或6 C.4 D.5 【变式1】已知等差数列的前项和为，且，则使的最大值为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是(　　) A.d<0 B.a1>0 C.当n＝5时，Sn最小 D.当Sn>0时，n的最小值为8 【变式3】已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝(　　) A.10 B.20 C.25 D.50 考点八 等差数列的实际应用 【例8】若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.8尺，最后三个节气日影长之和为4.5尺，则春分时节的日影长为(　　) A.5.1尺 B.4.5尺 C.4.1尺 D.3.5尺 【变式1】某单位组织全体人员在报告厅集体收看全国人民代表大会，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（    ） A．12 B．26 C．42 D．50 【变式2】图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 【变式3】广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需(　　) A.352步 B.387步 C.332步 D.368步 题组A 基础过关练 1.已知数列{an}为等差数列，a1+a2+a3=9，a3+a7=10，则a8等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．40 C．50 D．45 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若a6=2a4，则等于(　　) A.12 B.10 C.9 D.6 4.数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+m，若p：m=0，q：数列{an}是等差数列，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“现有五个人分5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值为(　　) A. B. C. D. 6.已知等差数列的前项和为，，，，则取最大值时的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．18 7.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(　　) A.d>0 B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=1，a7+a8+a9=12，则S10=　　　　　　.  9.已知各项均为正数的数列{an}满足2=+(n∈N*，且n≥2)，a1=1，a2=2，则a30=　　　　　　.  10.已知等差数列的前项和为，若，． （1）求数列的通项公式． （2）证明：数列为等差数列． 题组B 能力提升练 11.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则　　 A． B． C． D． 12.（多选）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 13.若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且＝，则＝________. 14.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3(n≥3). ①求a3的值； ②证明：数列{an－an－1}(n≥2)是等差数列； ③求数列{an}的通项公式. 15.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $