2026年中考数学真题完全解读（海南卷）

2026年海南省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年海南省中考数学试卷满分120分，考试时间100分钟，全卷共22题：选择题12题每题3分共36分，填空题4题每题3分共12分，解答题6题共72分（第17题12分，第18、19、20题各10分，第21、22题各15分）。试卷整体难度定位为基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，梯度清晰：第1-9题、第13、14题聚焦基础知识与基本技能，第10-12题、第15、16题逐步加入推理与综合，第21、22题以圆与二次函数压轴，形成明显区分层。选择题与填空题覆盖正负数、科学记数法、幂的运算、分式方程、二次根式、因式分解、三视图、轴对称、坐标系、矩形判定等主干考点；解答题依次考查实数运算与不等式组（第17题）、方程与不等式的实际应用（第18题）、统计综合（第19题）、解直角三角形方案决策（第20题）、圆的综合（第21题）与二次函数综合（第22题）。试卷情境设计突出地方特色与育人导向：第4题海南自贸港封关运作的企业数据、第8题以“自”“贸”“港”三字设坐标、第18题海南荔枝销售方案，让本土素材真正进入建模过程；第1题《九章算术》、第13题圆周率史实、第11题小孔成像则体现数学文化与跨学科融合。全卷对运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、数据观念、应用意识与创新意识等核心素养均有覆盖，其中第16、19、22题对思维过程与分类讨论的要求尤为突出。 试题亮点 1. 自贸港元素贯穿全卷，本土情境与数学模型深度绑定：第4题以2025年12月18日海南自贸港封关运作为背景，用科学记数法表示截至2026年3月27日新增的70100户企业数据；第8题让“自”“贸”“港”三个字落在方格纸格点上，由“自”、“贸”推算“港”的坐标；第18题以海南特产“荔枝王”“妃子笑”的价格建立二元一次方程组与一元一次不等式模型。三道题覆盖实数、图形与坐标、方程与不等式三大领域，本土素材不是贴标签，而是真正参与建模。 2. 数学文化与跨学科情境并举，彰显育人导向：第1题从《九章算术》中负数的最早记载切入，考查相反意义的量的表示；第13题以祖冲之、刘徽对圆周率 的深入研究为背景设置开放性作答；第11题以小孔成像这一光学现象为载体，将像高 cm、物距5cm、像距10cm转化为 的相似模型。传统文化、数学史与物理情境在本卷中各居其位，实现了从解题到理解、从记忆到运用的引导。 3. 综合与实践与压轴思维并重，过程性要求突出：第20题以“综合与实践”栏目组织救生员救援问题，要求对三个方案逐一计算用时并说明哪个方案最先到达P点；第16题填空压轴的第二空要求求出点P在劣弧AB上运动时 的最大值，需要构造垂线段并利用 完成放缩；第22题第(3)问把抛物线绕点A旋转 后在动区间上按 分四类讨论最大值。全卷由算对走向想清，过程分与结论分同等重要。 命题趋势 1. 自贸港本土情境将持续供给，代数建模题保持低起点、分层设问：第4题以海南自贸港封关运作后新增企业70100户为背景考查科学记数法，第8题以“自”“贸”“港”三字在格点上的位置考查坐标确定，第18题以“荔枝王”“妃子笑”销售建立方程组与不等式模型，三题分别位于选择、填空前段与解答题中段。封关运作后本地经济与民生数据将持续更新，预计未来海南卷会继续把自贸港元素嵌入实数、坐标与方程建模，并保持第(1)问基础求解、第(2)问优化决策的分层结构，备考时应常态收集本地时政与物产数据。 2. 基础题送分到位但嵌入数学文化与概念本质，拒绝机械刷题：第1题以《九章算术》负数概念考查相反意义的量，第13题借祖冲之、刘徽研究 要求写出一个小于 的有理数，两题分值虽低却需要真正理解概念本质；第6题幂的运算法则逐项辨析、第7题分式方程必须验根，均针对典型易错点设问。延续海南卷近年基础题约占三分之一的稳定结构，预计未来基础题仍将以文化包装加概念辨析的方式呈现，复习时要把概念来历与易错点讲透，而非只记题型。 3. 几何与函数压轴延续双线结构，从作图与变换中翻译条件成为思维主线：第12题由尺规作图步骤识别四条边相等得到菱形，再利用对角线平分对角求角；第16题在圆中通过构造垂线段求 的最大值；第21题以切线性质为起点完成相似分类与角平分线证明；第22题将抛物线绕点A旋转 构造分段新函数，并按 的取值分四类讨论最大值。预计海南卷压轴将继续淡化复杂计算、强化条件翻译与数形结合，训练时应重画图、重导角、重分类清单。 4. 统计走向一题多问、以决策收尾，综合与实践栏目常态化：第19题一道10分题设置五问，从补全频数分布直方图、判断中位数所在组、用样本估计总体，到列举法求概率、按平均数优先方差次之的规则给三个班排序，完整覆盖统计全过程；第20题以综合与实践栏目呈现救生员救援方案比较，需计算三种路线用时后作出决策并说明理由。预计未来海南卷将继续保留统计复合题与实践类题目，并以计算、比较、说理作为收尾设问，备考中应加强数据分析与方案说理的规范表达。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→正负数的意义（相反意义的量，《九章算术》文化背景） 抽象能力 2 单选 3 统计与概率→数据的集中趋势→众数的概念与确定 数据观念 3 单选 3 图形的变化→投影与视图→简单几何体（球、三棱柱、圆锥、圆柱）三视图的判断 空间观念、几何直观 4 单选 3 数与式→实数→用科学记数法表示较大的数（海南自贸港企业数据） 运算能力、应用意识 5 单选 3 图形的变化→图形的轴对称→轴对称图形的识别 几何直观 6 单选 3 数与式→整式→同底数幂乘除、幂的乘方与合并同类项的辨析 运算能力 7 单选 3 方程与不等式→分式方程→分式方程的解法与检验（去分母、验根） 运算能力 8 单选 3 函数→图形与坐标→由已知点坐标建立平面直角坐标系并确定点的坐标（自贸港三字情境） 几何直观、空间观念 9 单选 3 数与式→二次根式→二次根式有意义的条件（被开方数非负） 运算能力 10 单选 3 图形的性质→四边形→平行四边形、矩形、菱形的判定条件辨析 推理能力、几何直观 11 单选 3 图形的性质→相似三角形→相似三角形的性质与应用（小孔成像模型） 几何直观、模型观念 12 单选 3 图形的性质→四边形→尺规作图与菱形的判定、菱形对角线平分对角 推理能力、几何直观 13 填空 3 数与式→实数→无理数的估算与有理数的大小比较（开放性作答，圆周率史实背景） 运算能力、抽象能力 14 填空 3 数与式→因式分解→运用平方差公式分解因式 运算能力 15 填空 3 函数→反比例函数→新定义（自反点）与待定系数法求反比例函数解析式 抽象能力、运算能力 16 填空 3 图形的性质→圆→圆周角定理、等边三角形的判定、垂线段最短与线段和的最值 推理能力、几何直观 17 解答 12 数与式→实数的混合运算与一元一次不等式组（跨方程与不等式模块）→绝对值、零指数幂、算术平方根的混合运算；解一元一次不等式组 运算能力 18 解答 10 方程与不等式→二元一次方程组与一元一次不等式的应用→由两种购买方案列方程组求单价；预算约束下求最大购买量（海南荔枝情境） 模型观念、应用意识 19 解答 10 统计与概率→数据的收集、整理与分析→补全频数分布直方图、中位数所在组、用样本估计总体、列举法求概率、平均数与方差决策 数据观念、应用意识 20 解答 10 图形的变化→解直角三角形的应用→方向角、锐角三角函数解直角三角形与救援方案用时比较（综合与实践） 模型观念、应用意识 21 解答 15 图形的性质→圆与相似三角形综合→切线的性质、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与角平分线证明、分类讨论 推理能力、几何直观 22 解答 15 函数→二次函数综合→待定系数法求解析式、铅垂法求面积、抛物线旋转180度构造新函数与动区间最值分类讨论 几何直观、创新意识 考点模块占比分析 数与式模块（约36%，43分）：涵盖实数与二次根式、整式运算与因式分解、分式方程、方程（组）与不等式的求解应用，对应第1、4、6、7、9、13、14、17、18题。其中第17题实数运算与不等式组、第18题方程组与不等式应用均在真实或常规情境中展开，是本卷稳定的得分基本盘。 函数模块（约17.5%，21分）：考查平面直角坐标系中点的坐标确定（第8题）、反比例函数与新定义结合（第15题）以及二次函数综合（第22题）。第22题以图象旋转构造新函数并按动区间分类讨论最值，是全卷思维容量最高的题目之一。 图形的性质模块（约22.5%，27分）：覆盖矩形的判定（第10题）、相似三角形的应用（第11题）、尺规作图与菱形（第12题）、圆的综合（第16、21题）。其中第21题切线、相似与角平分线证明占15分，是几何板块的压轴担当。 图形的变化与综合实践模块（约13.3%，16分）：包括三视图（第3题）、轴对称图形识别（第5题）与综合与实践栏目中解直角三角形的救援方案决策（第20题），体现海南卷对应用性与实践性的持续关注。 统计与概率模块（约10.8%，13分）：第2题考查众数，第19题以机器人知识大赛为情境，一道题串联补全频数分布直方图、判断中位数所在组、用样本估计总体、列举法求概率与平均数方差决策，是本卷设问数量最多、综合性最强的统计题。 核心复习策略 1. 立足教材通法与本土情境，筑牢代数基本盘 （1）夯实数与式、方程与不等式的通性通法：绝对值、零指数幂与算术平方根的混合运算（第17题）、分式方程的验根（第7题）、公式法分解因式（第14题）、不等式组解集的确定必须做到不丢分，建议每天10分钟限时小题训练。 （2）用好海南本土情境素材：第4、8、18题说明自贸港数据、本地物产等素材已成为常规命题来源，平时可按读懂背景、提取数量、建立模型三步专项训练此类应用题，避免被较长的情境文字吓住。 2. 专项突破几何综合与函数压轴，掌握通用分析流程 （1）圆与相似综合按由条件导角、证相似、算线段或证角平分的流程训练：如第21题由切线性质得垂直，再按相似对应关系分两类求BP，最后通过 完成证明；第16题则示范了构造垂线段加垂线段最短的最值通法。 （2）二次函数压轴按求解析式、定图象特征、动区间分类建模：如第22题第(3)问先把 化为顶点式，求出旋转后的 ，再结合草图按 的取值分四类讨论最大值，务必养成先画图后分类的习惯。 3. 强化分类讨论与规范表达，向过程要分 （1）把分类清单内化为习惯：相似对应关系不唯一（第21题）、动点与动区间（第16、22题）、开放性作答（第13题）都要先列举所有情形再逐一验证，防止漏解。 （2）规范书写设、列、解、验、答：第18、19、20题的应用与统计题必须写答句和单位，涉及 的计算（第20题）要保留规范近似值，证明题（第21题）每一步写明依据。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×只顾压轴忽视基础：第1-9题、第13、14题合计33分基础分，算错 或漏验分式方程的根最不划算。 ×分式方程去分母后不验根：第7题必须检验 时 成立，漏验或把增根当作解都会扣分。 ×应用题不设未知数、不带单位、不写答：第18题设未知数要注明每斤与单位元，最后必须写最多能购买荔枝王5斤的答句；第20题各方案用时必须带单位秒。 ×分类讨论不全或只写结论：第21题相似对应关系分两种得BP为1或4，第22题按 分四段，第16题第二空需说明垂线段最短的取等条件，跳过步骤直接写答案会丢过程分。 一、单选题 1．负数的概念最早出现在中国古代数学专著《九章算术》中．若向东走2米记为米，则向西走3米应记为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 命题透视 ►核心考点：正负数的意义（用正负数表示具有相反意义的量） ►命题分析： （1）情境创设：以中国古代数学专著《九章算术》中负数概念的最早记载为文化情境，用向东、向西行走方向定义正与负。 （2）问题设计：直接设问向西走3米应记为多少，四个选项设置符号与数值双重干扰（米、米、米、米），考查对正方向规定的理解。 （3）考查目标：抽象能力：把相反意义的量符号化，理解正负数表示实际量的方式。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：∵向东走2米记为米，即向东为正， 又∵向西与向东意义相反， ∴向西走记为负， ∴向西走3米记为米 知识总结 ①相反意义的量：先规定一个方向为正（本题向东为正），相反方向即记为负，基准量（0米）不偏不倚；②解题方法：定正方向、看实际方向、再写符号与数值，本题向西走3米记为 米；③拓展关联：正负数还广泛用于气温升降、海拔高低、收支盈亏等场景，《九章算术》是世界上最早系统记载负数及其运算的数学专著。 2．样本数据3，2，5，3，6，3的众数是（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 命题透视 ►核心考点：众数（数据的集中趋势） ►命题分析： （1）情境创设：以一组样本数据3、2、5、3、6、3为载体的纯统计情境，不设多余背景。 （2）问题设计：给出6个数据直接求众数，选项为2、3、5、6，考查出现次数最多这一本质，排除将最大值、中间位置数据误当众数的干扰。 （3）考查目标：数据观念：准确区分平均数、中位数、众数三个集中趋势量的含义与求法。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：统计数据中各数出现的次数，各出现次，出现次，出现次数最多的数是，即众数是3 知识总结 ①众数定义：一组数据中出现次数最多的数据，可能不止一个；②解题方法：逐个清点每个数据出现的频数再下结论，本题3出现3次最多，众数为3；③易错辨析：众数是数据本身而不是出现的次数3次，也与平均数、中位数含义不同，三者常在同题中联合考查。 3．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：简单几何体的三视图 ►命题分析： （1）情境创设：以球、三棱柱、圆锥、圆柱四个常见几何体的直观图为素材，考查三视图的想象。 （2）问题设计：要求主视图、俯视图、左视图都相同，需对四个几何体逐一从三个方向想象投影，干扰项均为三视图中存在不同形状的几何体。 （3）考查目标：空间观念与几何直观：由立体图形想象它在三个方向上的正投影。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据简单几何体的三视图判断即可． 【详解】解：A．球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故A符合题意； B．三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意； C．圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是带圆心的圆，故C不符合题意； D．圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意． 知识总结 ①三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）；②判断口诀：球的三视图均为圆；圆柱、圆锥、棱柱的主视图与左视图相同，但俯视图不同（圆、带圆心的圆、三角形）；③拓展关联：三视图是投影与视图板块的核心，常与根据视图还原几何体、求表面积体积结合命题。 4．2025年12月18日海南自贸港封关运作．截至2026年3月27日，现代化产业体系提质升级，新增企业70100户，其中数据70100用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以2025年12月18日海南自贸港封关运作、截至2026年3月27日新增企业70100户的本地时政数据为真实背景。 （2）问题设计：将70100表示为科学记数法，选项通过小数点位置与10的指数（与）设置干扰，考查整数位数与指数的对应关系。 （3）考查目标：运算能力与应用意识：把大数表示为 的形式并理解各部分含义。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：. 知识总结 ①科学记数法形式：，其中 ， 为整数位数减1，故 ；②易错点：先数清整数位数（70100是5位整数，），不要把指数写成位数本身；③拓展关联：小于1的正数用负整数指数，如 ，绝对值较小的数同样遵循位数规律。 5．生活中处处存在对称美．请仔细观察下列图形，轴对称图形是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称图形的识别 ►命题分析： （1）情境创设：以生活中处处存在对称美引入，给出四个装饰性图形供辨认。 （2）问题设计：判断哪一个图形沿某条直线折叠后两旁能完全重合，干扰项为不对称或仅中心对称的图形。 （3）考查目标：几何直观：观察并验证图形的对称性特征。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 知识总结 ①轴对称图形定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；②判断方法：尝试寻找对称轴并逐一折叠验证，注意与中心对称图形（绕某点旋转 后重合）区分；③拓展关联：轴对称图形描述一个图形自身的性质，两图形关于直线成轴对称描述的是两个图形之间的关系，二者常混设为概念辨析题。 6．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：幂的运算法则与合并同类项 ►命题分析： （1）情境创设：纯代数运算辨析情境，四个选项各自独立设置计算陷阱。 （2）问题设计：四个选项分别考查同底数幂除法（）、幂的乘方（）、同底数幂乘法（）与合并同类项（与不能合并），要求逐项判别正误。 （3）考查目标：运算能力：准确运用指数运算法则并识别典型错误类型。 答案与解析 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，运算错误，不符合题意； 选项B：，运算正确，符合题意； 选项C：，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 知识总结 ①核心法则：同底数幂相乘指数相加、相除指数相减、幂的乘方指数相乘；②本题各选项：（A错），（B对），（C错），与不是同类项不能合并（D错）；③易错辨析：合并同类项属于加减运算，与幂的乘除运算规则完全不同，切勿混用。 7．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：分式方程的解法与验根 ►命题分析： （1）情境创设：以分式方程 为载体，不设复杂情境，直指解方程的核心程序。 （2）问题设计：直接求方程的解，选项中含增根型与运算错误型干扰项，强调检验环节不可省略。 （3）考查目标：运算能力与推理能力：去分母化为整式方程求解，并用最简公分母检验。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 知识总结 ①解题步骤：去分母（两边同乘最简公分母 ）得 ，解得 ，再代入检验；②检验：当 时 ，故 是原方程的解；③易错点：忘记检验、把使分母为0的增根当作解、去分母时漏乘不含分母的项。 8．如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平面直角坐标系与点的坐标 ►命题分析： （1）情境创设：以海南自贸港的“自”“贸”“港”三个字在方格纸格点上排列的本土情境，配方格示意图。 （2）问题设计：由“自”、“贸”反推原点位置与坐标轴方向，再读出“港”的坐标，选项在行列方向上设置易混干扰。 （3）考查目标：几何直观与空间观念：建立适当的坐标系并准确确定点的位置。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据已知坐标建立坐标系，再进行判断即可． 【详解】解：∵“自”的坐标为，“贸”的坐标为， ∴可建立坐标系如下： ∴“港”的坐标为． 知识总结 ①解题方法：先用两个已知点验证横轴、纵轴的方向与单位长度，再建立坐标系读未知点；②本题“港”位于“贸”右1列、再向上3行处，坐标为 ；③拓展关联：网格中确定点的坐标是图形与坐标互相转化的基础，也是后续函数图象描点、平移变换的学习起点。 9．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：二次根式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：纯代数概念情境，考查含字母的被开方式 。 （2）问题设计：四个选项覆盖 、、、，干扰项针对被开方数非负的定位与不等号方向设错。 （3）考查目标：运算能力：由被开方数非负建立不等式并正确求解。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 知识总结 ①条件： 在实数范围内有意义，需 ；②本题由 解得 ；③拓展关联：若二次根式还位于分母或含其他限制，需把被开方数非负与分母不为0等条件联立取交集。 10．如图，要使是矩形，需要增加的条件是（     ） A．与互相平分 B． C． D． 命题透视 ►核心考点：矩形的判定（平行四边形与特殊四边形的辨析） ►命题分析： （1）情境创设：以平行四边形ABCD配对角线示意图为载体，要求补充条件使其成为矩形。 （2）问题设计：给出四个备选条件（对角线互相平分、邻边相等、对角线相等、对角线互相垂直），辨析哪一个能把平行四边形升级为矩形，其余选项分别对应原有性质或菱形判定。 （3）考查目标：推理能力与几何直观：区分矩形与菱形的判定条件，理解判定的前提是平行四边形。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质与判定即可知道答案． 【详解】解：A、与互相平分是的性质，不能额外证明是矩形，错误； B、是邻边相等，邻边相等的是菱形，错误； C、是对角线相等，对角线相等的是矩形，正确； D、是对角线互相垂直，对角线互相垂直的是菱形，错误． 知识总结 ①矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形（此外有一个角是直角的平行四边形也是矩形）；②选项辨析：对角线互相平分是平行四边形本身具有的性质，邻边相等、对角线互相垂直判定的是菱形；③方法要点：判定条件必须是平行四边形之外再加一个独立条件，记清矩形与菱形判定条件的对称关系。 11．小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相似三角形的性质与应用 ►命题分析： （1）情境创设：以小孔成像这一光学现象为真实情境，蜡烛火焰AB经小孔O在屏幕上成像CD，配示意图。 （2）问题设计：利用 得 ，由像高 cm、物距5cm、像距10cm求物高AB，干扰项对应相似比弄反或列式错误的结果。 （3）考查目标：模型观念与运算能力：把物理现象抽象为相似三角形模型并完成比例计算。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 知识总结 ①建模原理：光沿直线传播，，故 ；②列式求解：，即 ，解得 cm；③拓展关联：小孔成像、影长测高、杠杆问题都可用相似三角形建模，列比例式时务必找准对应边，物距像距与物高像高交叉对应是常见错因。 12．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，和，则等于（） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：尺规作图与菱形的判定、性质 ►命题分析： （1）情境创设：以按步骤作四边形ABCD的尺规作图操作情境：作 角，再以1个单位长为半径连续画弧构造图形。 （2）问题设计：四条作图步骤隐含 ，要求判断 的大小，选项按 、、、 设置梯度干扰。 （3）考查目标：推理能力与几何直观：从作图步骤中翻译出边角关系并联想特殊四边形。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据作图步骤得出，判定四边形为菱形，利用菱形对角线平分对角的性质求解． 【详解】解：由作图步骤可知， ，， ， 四边形为菱形， 平分， ，即， ． 知识总结 ①读图关键：四个作图步骤保证四条边均为1个单位长，即 ，故四边形ABCD是菱形；②性质应用：菱形每条对角线平分一组对角，故 ；③方法要点：尺规作图题的突破口常是由作图步骤得到等线段或等角，再联想等边三角形、菱形等特殊图形的判定与性质。 二、填空题 13．圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 命题透视 ►核心考点：无理数的估算与实数大小比较（开放性作答） ►命题分析： （1）情境创设：以祖冲之、刘徽等数学家对圆周率 的深入研究这一数学史为背景设置开放填空。 （2）问题设计：要求写出一个小于 的有理数，答案不唯一（如3、0、均可），考查对 数值范围的真实理解而非记忆。 （3）考查目标：抽象能力与运算能力：结合 进行估算并给出符合条件的有理数。 答案与解析 【答案】 （答案不唯一，任意小于的有理数均可） 【分析】，只需写出一个小于的有理数即可． 【详解】解：∵， ∴只需找出一个小于的有理数即可，例如，是整数，属于有理数，且，符合要求． 知识总结 ① 是无限不循环小数，，因此任意小于3.14的有理数都符合要求；②解题方法：牢记常用无理数的估值范围（ 介于3与4之间、 介于1与2之间、 介于1与2之间）；③拓展关联：开放性填空只要写出的有理数满足条件并经得起检验即可得分，写整数最稳妥，避免误写成无理数。 14．分解因式：________． 命题透视 ►核心考点：因式分解（公式法：平方差公式） ►命题分析： （1）情境创设：纯代数基本技能情境，直接对 分解因式。 （2）问题设计：考查公式法中两项式、符号相反、都能写成平方形式的识别，答案需写成积的形式。 （3）考查目标：运算能力：平方差公式的识别与正向、逆向运用。 答案与解析 【答案】 【分析】将原式变形为平方差的形式，运用平方差公式分解即可． 【详解】先将原式改写为平方差的形式， 得． 根据平方差公式分解， 得． 知识总结 ①平方差公式：；②本题：；③易错点：分解不彻底（应检查各因式能否继续分解）、结果仍是多项式加减而非积的形式、把 的平方根写错。 15．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________． 命题透视 ►核心考点：新定义（自反点）与反比例函数解析式 ►命题分析： （1）情境创设：自定义横坐标与纵坐标互为相反数的点称为自反点，并举例 、、 帮助理解。 （2）问题设计：两步设问环环相扣：先按定义由点 求出 ，再将坐标代入 求 ，考查即时学习新定义并转化的能力。 （3）考查目标：抽象能力与运算能力：读懂新定义并翻译为坐标关系，用待定系数法求参数。 答案与解析 【答案】 【分析】根据“自反点”的定义求出点的纵坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：∵ 是“自反点”，“自反点”的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴ ，即点的坐标为， ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 解得． 知识总结 ①新定义题第一步：把文字定义翻译成数量关系，自反点满足纵坐标等于横坐标的相反数，故 ，；②待定系数：点 在 的图象上，则 ，本质是利用 这一不变量；③拓展关联：倒数点、相反数点等新定义本质都是坐标间的关系式，反比例函数中 是最核心的不变量，可与方程、不等式联合命题。 16．如图，，，，是上的点，，．则________；当点在劣弧上运动时，的最大值为________． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理、等边三角形与线段和的最值 ►命题分析： （1）情境创设：以圆内接图形为载体，已知 、、、 是 上的点，，，配圆的示意图。 （2）问题设计：两空层层递进：第一空由圆周角定理与同弧等弦证 为等边三角形得 ；第二空求点P在劣弧AB上运动时 的最大值，需构造垂线段并利用垂线段最短完成放缩。 （3）考查目标：推理能力与几何直观：综合运用圆的性质、锐角三角函数与垂线段最短求动态最值。 答案与解析 【答案】 【分析】先根据圆周角定理，结合圆心角、弧和弦的关系求得，，证明是等边三角形可得；过A作于E，过B作于F，设与相交于H，利用锐角三角函数得到，当最大时，最大，利用垂线段最短得到，，当即E、H、F重合时，同时取等号，则的最大值为6，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 过A作于E，过B作于F，设与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∴，当最大时，最大， ∵，，当即E、H、F重合时，同时取等号， ∴，则的最大值为6， ∴的最大值为． 知识总结 ①第一空：同弧所对的圆周角相等，，且由 得 ，故 是等边三角形，；②第二空：作 于E、 于F，则 、，于是 ；由 、（H为AB与PC交点），当 时E、F与H重合， 取最大值 ，故最大值为 ；③方法要点：圆中最值问题的通法是转化加垂线段最短，把两条动线段的和向定点间的线段放缩。 三、解答题 17．计算及解不等式组： (1)计算： (2)解不等式组： 命题透视 ►核心考点：实数的混合运算与一元一次不等式组 ►命题分析： （1）情境创设：常规计算与解不等式组情境：第(1)问含绝对值、零指数幂 与算术平方根，第(2)问为由两个一元一次不等式组成的不等式组。 （2）问题设计：两小问独立设问：第(1)问按运算顺序逐层化简，第(2)问需分别解出两个不等式再取公共解集，考查运算的程序性与不等式性质的准确性。 （3）考查目标：运算能力：混合运算顺序、零指数幂与算术平方根的求值、不等式解集的交集确定。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的定义，零指数幂运算法则计算，再进行有理数的加减运算即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是． 知识总结 ①第(1)问：，注意 （）与 ；②第(2)问：由 得 ，由 得 ，故不等式组的解集为 ；③易错提醒：不等式两边乘除负数要变号，解集口诀大小小大中间取，可借助数轴验证公共部分。 18．海南盛产荔枝，有“荔枝王”、“妃子笑”等品种．已知购买1斤“荔枝王”和3斤“妃子笑”需要30元，购买2斤“荔枝王”和4斤“妃子笑”需要50元． (1)这两种荔枝每斤的售价各是多少元？ (2)某班级组织活动，计划购买这两种荔枝共10斤，预算不超过100元，请问最多能购买“荔枝王”多少斤？ 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以海南盛产荔枝、有荔枝王和妃子笑等品种的销售价格为真实消费情境，给出两种购买方案的总价。 （2）问题设计：两问递进：第(1)问由两种购买组合列二元一次方程组求两种荔枝的单价；第(2)问在预算不超过100元的约束下求最多能购买荔枝王的斤数，需建立一元一次不等式模型并对结果取整。 （3）考查目标：模型观念与应用意识：从实际问题中抽象出方程组与不等式模型，理解最多、不超过等约束词。 答案与解析 【答案】(1)“荔枝王”每斤售价15元，“妃子笑”每斤售价5元 (2)最多能购买“荔枝王”5斤 【分析】（1）设“荔枝王”每斤售价元，“妃子笑”每斤售价元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购买“荔枝王”斤，则购买“妃子笑”斤，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设“荔枝王”每斤售价元，“妃子笑”每斤售价元， 根据题意，可得，解得， 即“荔枝王”每斤售价15元，“妃子笑”每斤售价5元． （2）设购买“荔枝王”斤，则购买“妃子笑”斤， 根据题意，可得， 解得， ∴最多能购买“荔枝王”5斤． 知识总结 ①第(1)问：设荔枝王每斤 元、妃子笑每斤 元，由题意得 、，解得 、；②第(2)问：设购买荔枝王 斤，则 ，解得 ，故最多能购买荔枝王5斤；③规范要点：设、列、解、验、答五步齐全，不超过对应 ，最多取满足条件的最大整数值，最后必须写答句。 19．为全面提升中学生科技素养，学校举办了机器人知识大赛．成绩调查报告如下： 调查目的 了解全校学生对机器人的认知状况 数据收集与表示 随机抽取了50名学生的成绩：97，92，89，86，93，73，74，72，60，98，70，90，89，90，71，80，83，92，85，74，92，83，89，93，72，77，79，76，80，88，93，72，87，76，86，82，85，82，87，86，66，65，55，74，85，95，97，81，79，80．数据整理如下： 组别 成绩段 频数记录 频数 A 49.5~59.5 — 1 B 59.5~69.5 C 69.5~79.5 正正正 14 D 79.5~89.5 E 89.5~99.5 正正丅 12    数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)成绩的中位数在 组范围内；（选填A，B，C，D，E） (3)全校1000名学生的成绩不低于80分的人数估计有 人； (4)从A，B两组的同学中随机选取2名学生了解情况，则A组同学入选的概率是 ； (5)学校三个班成绩统计数据如下：    根据以下规则：平均数较高表明对机器人认知水平较高；若平均数相等，则比较方差，方差较小者稳定性较好，其认知水平较高．这三个班级对机器人认知水平由高到低依次排序为 ． 命题透视 ►核心考点：频数分布直方图、中位数、用样本估计总体、古典概型与方差决策 ►命题分析： （1）情境创设：以学校举办机器人知识大赛的成绩调查报告为真实情境，提供含频数分布直方图与三个班成绩统计数据的调查报告表格。 （2）问题设计：一题五问、层级逐步抬升：(1)补全频数分布直方图；(2)判断成绩的中位数所在的组；(3)用样本频率估计全校1000名学生中不低于80分的人数；(4)用列举法求A组同学入选的概率；(5)按平均数优先、方差次之的规则给三个班的认知水平排序。 （3）考查目标：数据观念与应用意识：完整经历收集、整理、描述、推断与决策的统计全过程，并能用列举法计算等可能事件的概率。 答案与解析 【答案】(1) (2)D (3)640 (4) (5)乙班、丙班、甲班． 【分析】（1）因为总样本数为50，已知A、C、E组的频数，所以先计算B、D组的频数，再根据频数对应直方图的高度补全图形． （2）因为样本量为50，中位数是排序后第25、26个数据的平均数，所以累计各组频数，找到包含第25、26个数据的组别即可． （3）估计全校不低于80分的人数：因为样本中不低于80分的是D、E两组，所以先计算样本中D、E组的频率，再乘以全校总人数得到估计值． （4）先确定A、B两组的总人数，再列出从两组中选2人的所有等可能情况，统计包含A组同学的情况数，用古典概型公式计算概率． （5）先比较三个班的平均数，平均数高的排名靠前；如果平均数相同，那么比较方差，方差小的排名靠前，按规则排序即可． 【详解】（1）先根据总样本数50，结合扇形图算出各组未知频数： B组频数：； D组频数：． 在横轴的区间上，绘制高度对应纵轴数值3的长方形；在横轴的区间上，绘制高度对应纵轴数值20的长方形，两个矩形标注对应频数即可． （2）50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数。 累计各组频数：A组1个，B组3个，C组14个，前3组共18个数据， 第19~37个数据都属于D组， 因此第25、26个数据都在D组范围内． （3）样本中不低于80分的是D、E两组，总人数为， 占样本的比例为， 因此全校1000名学生中估计有人． （4）A组有1名学生记为甲，B组有3名学生记为乙、丙，丁． 从4人中选2人的所有等可能结果为（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共6种，其中A组同学入选的结果有3种， 因此概率为． （5）首先比较平均数：乙班平均数87最高，认知水平最高；甲班和丙班平均数均为82， 比较方差：丙班方差88小于甲班方差94，说明丙班稳定性更好，认知水平高于甲班， 因此排序为乙班、丙班、甲班． 知识总结 ①补图：由总人数50与各组百分比求缺失频数，B组为 ，D组为 ；②中位数：50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，累计A、B、C组共18个，故第25、26个数据都落在D组；③估计总体：人；④概率：A组1人、B组3人共4人选2人有6种等可能结果，A组同学入选的有3种，；⑤决策：乙班平均数87最高排第一，甲、丙班平均数均为82，丙班方差88小于甲班94更稳定，排序为乙班、丙班、甲班。 20．综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 命题透视 ►核心考点：解直角三角形的应用（方向角）与方案决策 ►命题分析： （1）情境创设：综合与实践栏目：海上救生员从观测站出发救援P点处人员，给出含方向角与距离的示意图，三个方案分别沿AP、先AB后BP、先AC后CP的路线行进。 （2）问题设计：三问递进：(1)由方向角定义求 与 ；(2)解两个直角三角形求 与 ；(3)分别计算三个方案的用时并比较，指定参考数据 ，要求通过计算说明理由。 （3）考查目标：模型观念与运算能力：将救援路线抽象为解直角三角形模型，统一用路程除以速度求时间并作出决策。 答案与解析 【答案】(1)； (2)；200 (3)方案二的救生员最先到达点． 解：在中，米， 在中，米， 方案一：秒， 方案二：秒， 方案三：秒， ∵， ∴方案二的救生员最先到达点． 【分析】（1）根据方向角的定义求解即可． （2）根据题意可知：米，解求出，解，求出，进而可求出． （3）解直角三角形求出，然后分别计算三个方案中所需的时间，比较时间即可得出答案． 【详解】（1）解：，． （2）解：根据题意可知：米， 由（1）知， 在中，， 即， 解得：米， 在中，， 即， 解得：米， ∴米． （3）略 知识总结 ①方向角：由与正南、正北方向的夹角表示，，；②解三角形：在 中 米，在 中 米，米；③方案比较：方案一用时 秒，方案二 秒，方案三 秒，因 ，方案二的救生员最先到达P点；④方法要点：路线决策题先统一时间等于路程除以速度，再逐方案计算、比较、写结论。 21．在中，，，，与相切于点，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长至，作的平分线交的延长线于点．若点在射线上运动，当与相似时，求的长度； (3)如图3，若点在上运动（点，，不共线），记线段与的交点为，的中点为，求证：平分． 命题透视 ►核心考点：圆的切线性质、相似三角形的判定与分类讨论 ►命题分析： （1）情境创设：在 中 、、， 与AB相切于点D，配三个图形分别对应三问，是本卷几何板块的压轴题。 （2）问题设计：三问层层递进：(1)由切线性质与互余关系求 ；(2)点P在射线BT上运动，当 与 相似时求BP的长，相似对应关系不唯一，必须分两类讨论；(3)证明PG平分 ，需通过中间比证明 再完成导角。 （3）考查目标：推理能力与几何直观：以圆为背景完成性质应用、分类讨论与角平分线证明的完整推理链。 答案与解析 【答案】(1) (2)1或4 (3)证明：连接，则， ∴， ∵的中点为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【分析】（1）根据圆的切线的性质可得，再由已知条件，利用互余关系求解即可； （2）先求出，，再分两种情况讨论，通过解求解即可； （3）连接，通过证明，再进行导角证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵与相切于点， ∴，即 ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当与相似时，分两种情况讨论： ①，如图： ∴ ∴； ②，如图： ∴， ∴， 综上：当与相似时，的长度为1或4； （3）略 知识总结 ①第(1)问：切线垂直于过切点的半径，，由 得 ；②第(2)问：由BE平分 得 ，故 且 ；按 或 分类，分别得 或 ，即BP为1或4；③第(3)问：连接CP，由 且 得 ，导角得 ，故PG平分 ；④方法要点：相似对应关系不唯一时必须分类并回图检验，导角证明的关键是找到公共角与比例中项式的关系。 22．二次函数图象过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点C在y轴左侧的二次函数图象上，且，求点C的坐标； (3)如图2，把二次函数的图象绕点旋转得到函数的图象，由这两个函数，图象组成新函数的图象． ①请在图2中画出函数的草图； ②若，讨论当t变化时函数的最大值．（直接写出结果） 命题透视 ►核心考点：二次函数的图象与性质、图象旋转与新函数最值的分类讨论 ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数 的图象过点 、 为起点，第(3)问把该函数在 范围内的图象绕点A旋转 构造新函数 ，配两个图形。 （2）问题设计：三问递进：(1)待定系数法求解析式；(2)由 的面积为6、点C在y轴左侧图象上，用铅垂法求点C的坐标；(3)先画旋转后 的草图，再在动区间 上按 的取值分四类讨论 的最大值并直接写出结果。 （3）考查目标：几何直观与创新意识：数形结合、对称变换、动区间最值的分类讨论与分段函数意识。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3)① ②当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为4； 当时，函数的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）连接，过点C作y轴平行线交延长线于点D，先求出直线的解析式，设，则，利用铅锤法列出的面积公式，通过解一元二次方程求出x的值，从而得出点C的坐标； （3）①根据题意将二次函数绕点A逆时针旋转即可画出对应图象； ②先将二次函数的一般式化为顶点式，再根据旋转后的求得其解析式，进而得出的解析式，此时根据数形结合及抛物线的对称性、增减性质分别展开讨论，从而求得最终结果． 【详解】（1）解：由题意知，将，分别代入， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：如图，连接，过点C作y轴平行线交延长线于点D， 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 由题意知，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． （3）解：①略； ②将转化为顶点式为， ∵二次函数的图象绕点旋转得到函数的图象， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 此时分情况讨论： （Ⅰ）如图，当，且，即时： 由图象可知，在处取得最大值， ∴； （Ⅱ）如图，当，即时： 由图象可知，在处取得最大值， ∴； （Ⅲ）令， 解得：，（舍去）， ∴， 此时， 如图，当，即时： 由图象可知，在处取得最大值， ∴； （Ⅳ）如图，当，即时： 由图象可知，在处取得最大值， ∴， 综上所述，当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为4； 当时，函数的最大值为． 知识总结 ①第(1)问：代入A、B两点得 ；②第(2)问：设 （），直线AB为 ，铅垂法 ，即 ，解得 （舍去），；③第(3)问：顶点式 ，绕点 旋转 后 ， 以 为分段点；按 、、、 四类，最大值分别为 、、、；④方法要点：动区间最值先定图象的分段结构，再抓对称轴与区间的相对位置，画草图是正确分类的前提。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $