第五章 一元一次方程 知识清单 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第五章　一元一次方程　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：5.1方程；5.2解一元一次方程；5.3实际问题与一元一次方程。主要学习方程与一元一次方程的概念、等式的性质、解一元一次方程的一般步骤，以及用一元一次方程解决实际问题。 【考点地位】一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题是中考的核心考点，是初中代数的重要基础，后续学习二元一次方程组、不等式、函数都以它为根基，同时是“数学建模”思想的初步体现。 【学习目标】①理解方程、方程的解、一元一次方程的概念；②掌握等式的两条性质；③能按一般步骤解一元一次方程；④能分析实际问题中的相等关系，设未知数列方程并求解、检验、作答；⑤体会方程是刻画现实世界的数学模型。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第五章　一元一次方程 5.1　方程 方程：含有未知数的等式 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；解方程：求方程解的过程 一元一次方程：只含一个未知数、未知数次数为1、含未知数的式子是整式 等式的性质1：两边加（减）同一个数（式子），仍相等 等式的性质2：两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，仍相等 5.2　解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边 去分母：方程两边乘各分母的最小公倍数（每一项都要乘） 5.3　实际问题与一元一次方程 基本过程：设未知数、列方程、解方程、检验、作答 常见题型：配套、工程（总工作量看作1）、销售盈亏、积分、方案选择 关键：找出实际问题中的相等关系 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、等式性质与解法步骤集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 内容 说明与易错提示 方程 含有未知数的等式 必须同时满足：含未知数、是等式 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值 代入原方程检验是否相等 一元一次方程 只含一个未知数，含未知数的式子都是整式，未知数次数都是1 标准形式ax+b=0（a≠0） 等式性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；若a=b，则a±c=b±c 用于移项 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则a÷c=b÷c 除数不能为0 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边 移项必变号；不移的项不变号 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 不要漏乘不含分母的项 解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 把方程逐步化为x=m的形式 常用等量关系 路程=速度×时间；工作量=效率×人数×时间；利润=售价-进价；利润率=利润÷进价 列方程的依据 三、考点知识梳理 （一）5.1　方程 【方程与一元一次方程】含有未知数的等式叫作方程。只含有一个未知数（元），且含未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程，其标准形式为ax+b=0（a≠0）。 【方程的解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；求方程解的过程叫作解方程。检验时把数值代入原方程，看左右两边是否相等。 【等式的性质】性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么a÷c=b÷c。 （二）5.2　解一元一次方程 【解方程的一般步骤】解一元一次方程就是把方程逐步转化为x=m（常数）的形式，一般步骤为：①去分母（两边乘各分母的最小公倍数）；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。主要依据是等式的性质和运算律。 【移项】把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项。移项的依据是等式性质1，移项一定要变号。如3x+7=32-2x，移项得3x+2x=32-7。 【去分母】当方程中未知数的系数是分数时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，把系数化为整数。注意：方程两边的每一项都要乘这个最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。 （三）5.3　实际问题与一元一次方程 【列方程解应用题的步骤】基本过程包括：设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案（设、列、解、检、答）。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 【常见题型与等量关系】①配套问题：按配套的数量关系列方程（如螺母数=螺栓数×2）；②工程问题：常把总工作量看作1，工作量=人均效率×人数×时间；③销售盈亏：利润=售价-进价，利润率=利润÷进价；④行程问题：路程=速度×时间；⑤方案选择：两种方式费用相等时列方程。求得的解还要检验是否符合实际意义。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】解方程：去分母要乘遍，去括号看符号，移项过桥要变号，合并同类系数算，最后系数化为1。列方程：设未知数找等量，等式两边同一量。 【对比记忆】移项与去括号的符号变化对比如下表。 操作 依据 符号变化 移项 等式性质1 移动的那一项变号，不移的项不变号 去括号（括号前负号） 分配律 括号内每一项都变号 去分母 等式性质2 每一项都乘最小公倍数，不改变各项的正负关系 【易混对比】方程的“解”与“解方程”：方程的解是一个数值，解方程是一个变形过程。 五、解题方法总结 题型1　解一元一次方程 【解题方法】①有分母先去分母（两边乘最小公倍数，每一项都乘）；②有括号先去括号（负号后各项变号、不漏乘）；③移项（过桥变号，含未知数的项移一边、常数项移另一边）；④合并同类项；⑤系数化为1（两边同除以未知数系数）。 【数学思想】化归思想：把复杂方程逐步化为x=m。 题型2　方程解的判断与检验 【解题方法】①把给定数值分别代入方程左边和右边；②计算两边的值；③若左边=右边，则该数是方程的解，否则不是。 【数学思想】代入验证思想。 题型3　列方程解应用题 【解题方法】①审题设元：设未知数x（可直接设或间接设）；②找相等关系：用含x的式子表示相关量，根据同一量的两种表示列出方程；③解方程；④检验并作答：看解是否符合实际意义。 【数学思想】方程思想、建模思想：把实际问题抽象为方程模型。 题型4　销售、配套、工程类问题 【解题方法】①销售：抓住售价=进价+利润，利润=进价×利润率；②配套：按配套比例列方程；③工程：把总工作量看作1，各人工作量之和=总工作量。 【典型例题指引】例：某商品进价x元，提价25%后售价60元，列方程x+0.25x=60，解得x=48。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 移项不变号，如3x+5=2x-1写成3x+2x=-1-5 移项必变号：3x+5=2x-1应得3x-2x=-1-5 去分母漏乘不含分母的项 方程两边每一项都乘最小公倍数，包括常数项 去括号时括号前负号只变第一项，如-(x-3)=-x-3 括号前是负号，括号内各项都变号：-(x-3)=-x+3 去括号时数字因数漏乘，如2(x-3)=2x-3 用括号外的数乘括号内每一项：2(x-3)=2x-6 把等式性质2用在除以未知数上时不注意除数为0 除以同一个数时，这个数不能为0 应用题求出解后不检验是否符合实际 要检验解是否符合实际意义（如人数必须是正整数） 列方程时把不同量的式子错误地划等号 等号两边必须表示同一个量，单位要统一 七、高频考点速记 ①含有未知数的等式叫方程；只含一个未知数、未知数次数为1的整式方程叫一元一次方程。 ②使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。 ③等式性质1：两边加（减）同一个数（式子）仍相等；性质2：两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数仍相等。 ④解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 ⑤移项要变号；去分母时每一项都要乘最小公倍数。 ⑥列方程解应用题步骤：设、列、解、检、答。 ⑦列方程的关键是找出相等关系，把实际问题转化为数学问题。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 3．在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 5．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．若关于的方程的解是，则的值为__________． 2．若，则代数式的值为_________． 3．一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 4．方程2x+6=0的解是x=______。 5．当x＝______时，代数式3x-1的值等于5。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 解方程：3(x-2)=x+4。 2. 某班学生分组开展活动。若每组7人，则余下3人；若每组8人，则还缺5人。设一共分了x组，求这个班共有多少名学生？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】C 解题步骤： ①设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， ② 分三种情况讨论： ③只使用一个砝码：，，，共种； ④用2个砝码：放在同侧时，可称出1＋3＝4、1＋9＝10、3＋9＝12（g）；放在两侧时，可称出3−1＝2、9−1＝8、9−3＝6（g），共6种； ⑤用3个砝码：全部放同侧时，可称出1＋3＋9＝13（g）；两侧混放时，可称出9−3−1＝5、9＋3−1＝11、9−3＋1＝7（g），共4种； ⑥合计3＋6＋4＝13（种），故选C． 【知识点睛】分类枚举（天平称重）：砝码可放天平左、右两盘，按使用砝码的个数（1个、2个、3个）分类讨论，列出所能称出的物体质量并去重，统计不同整数克质量的种数。 2．【答案】A 解题步骤： ①设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； ②大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ③∴方程为， 【知识点睛】行程问题（相遇）：分别用“路程=速度×时间”表示野鸭与大雁的路程，相遇时两者路程之和等于全程。设相遇天数为x列方程求解。 3．【答案】A 解题步骤： ①设购买铜和锡的斤数都为x； ②铜的单价为每斤9文，锡的单价为每斤7文，则铜费为9x文，锡费为7x文； ③共花费10贯=10×1000=10000文，故9x+7x=10000，解得x=625； ④∴铜费=9×625=5625（文），锡费=7×625=4375（文）．答：购买铜和锡的花费分别为5625文、4375文。 【知识点睛】古代购买问题（铜锡）：设购买铜、锡的相同斤数为x，由铜每斤9文、锡每斤7文分别表示花费，利用共花费10贯（=10000文）列方程9x+7x=10000，先求斤数再求各自花费。 4．【答案】A 解题步骤： ①设共有x人买羊； ②每人出5钱还差45钱，则羊价=5x+45钱；每人出7钱还差3钱，则羊价=7x+3钱； ③∴5x+45=7x+3，解得x=21； ④∴羊价=5×21+45=150（钱）．答：共21人买羊，羊价150钱。 【知识点睛】古代买羊问题（盈亏）：设人数为x，由“每人出5钱差45”“每人出7钱差3”分别表示羊价，利用羊价不变列方程5x+45=7x+3，先求人数再求羊价。 5．【答案】B 解题步骤： ①总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ②∵总积分为20分， ③∴． 【知识点睛】比赛积分问题：胜场得分+平场得分=总积分。先由总场数、负场数表示胜、平场数，再按每场积分列方程。 【填空题】 1．【答案】2026 解题步骤： ①∵x=2是方程2x+m=2030的解，∴把x=2代入原方程； ②得2×2+m=2030，即4+m=2030； ③解得m=2026。 【知识点睛】方程解的定义：把已知的解x=2代入原方程，左右两边相等，得到关于参数m的一元一次方程，再求解。 2．【答案】2 解题步骤： ①由2x+y+2=0，得2x+y=−2； ②把所求代数式变形：x＋y＋3＝(2x＋y)＋3； ③整体代入：×(−2)＋3＝−1＋3＝2． 【知识点睛】整体代入求值：由已知等式2x＋y＋2＝0变形出2x＋y＝−2，再把目标式凑成含(2x＋y)的形式整体代入，避免单独求x、y． 3．【答案】每件服装的标价为200元 解题步骤： ①设每件服装标价为x元。按5折出售亏20元，则进价为(0.5x+20)元； ②按8折出售赚40元，则进价又为(0.8x−40)元； ③两次销售进价不变：0.5x+20=0.8x−40，解得0.3x=60，x=200。 【知识点睛】销售盈亏问题：售价-进价=利润（或亏损）。分别按5折、8折表示售价，利用两次销售中进价不变列方程，先求标价再求进价。 4．【答案】x=-3；5．【答案】x=2。 【解答题】 1. 解：去括号，得3x-6=x+4；移项，得3x-x=4+6；合并同类项，得2x=10；系数化为1，得x=5。 2. 解：设一共分了x组。按两种分法，学生总数相等，列方程： 7x+3=8x-5。移项，得7x-8x=-5-3；合并，得-x=-8；系数化为1，得x=8。 学生数=7×8+3=56+3=59（名）。答：这个班共有59名学生。 学科网（北京）股份有限公司 $