第四章整式的加法与减法（期中知识清单）七年级数学上学期新教材青岛版

第四章 整式的加法与减法　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 整式的概念 1.1 单项式 从运算的角度来看，，，， 这些代数式都是数与字母的乘积，像这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 示例： 是数 、字母 与字母 的乘积，是单项式；单独一个数（如 ）或一个字母（如 ）也是单项式。 1.2 多项式 ， 可以看作几个单项式的和。像这样，几个单项式的和叫作多项式。 示例： 是 ，， 三个单项式的和，是多项式。 1.3 整式 单项式和多项式统称为整式。 示例：，， 都是整式。 1.4 单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。对于单独的一个非零的数，规定它的次数为 。 示例： 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 。 1.5 多项式的项、常数项与次数 多项式中的每个单项式都叫作这个多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 示例：多项式 含有两项，分别是 和 ，其中次数最高的项是 ，这一项的次数是 ，所以 是一次二项式；多项式 含有三项，分别是 ， 和 ，其中次数最高的项是 ，这一项的次数是 ，所以 是二次三项式。 1.6 多项式的降幂排列与升幂排列 多项式 的各项是按字母 的次数从大到小的顺序排列的，这种排列叫作多项式按字母 的降幂排列；还可以将这个多项式写成 的形式，这种排列叫作多项式按字母 的升幂排列。 示例： 按字母 的降幂排列为 ，按字母 的升幂排列为 。 2. 整式的加法与减法 2.1 同类项 像 与 ， 与 这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。常数项都是同类项。 示例： 与 是同类项， 与 是同类项； 与 作为常数项也是同类项。 2.2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母与字母的指数不变。 示例：；。 2.3 去括号法则 括号前面是“”号时，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前面是“”号时，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变。 示例：；；；。 2.4 整式的加法与减法的运算法则 一般情况下，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项。 示例：；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同类项的判定 同类项满足“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同；与系数的大小、字母的排列顺序无关。如 与 是同类项， 与 不是同类项。 1.2 合并同类项的实质 合并同类项只把系数相加，字母与字母的指数保持不变；合并后系数为 时该项消失。如 。 1.3 去括号的符号规律 括号前是“”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号都改变；括号前有数字因数时，先用乘法对加法的分配律乘进去再去括号。如 。 1.4 添括号法则 添上“”号，括到括号里的各项都不变号；添上“”号，括到括号里的各项都要变号。如 ，。 1.5 整体思想 把重复出现的同一个代数式看作一个整体，像合并同类项一样合并。如 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 合并同类项的一般步骤 先标出同类项，再用加法交换律、结合律把同类项移到一起，最后把系数相加、字母及指数不变。如 。 2.2 整式加减的一般步骤 先去括号，再合并同类项，结果按某一字母的降幂（或升幂）排列。如 。 2.3 先化简再求值 求多项式的值时，先把多项式去括号、合并同类项化成最简形式，再代入数值计算，比直接代入更简单。如 ，再代值。 2.4 判断“几次几项式” 先合并同类项化简，再看次数最高项的次数（次数）与项的个数（项数）。如 ，是一次二项式。 3. 化简运算小技巧 技巧 要点 示例 系数带符号相加 合并时系数连同符号一起相加，结果也要带上符号 去括号先乘后变号 括号前有数字因数时，先乘进括号，再按符号规律去括号 常数项合并 所有常数项都是同类项，一起合并成一个数 整体合并 相同代数式反复出现时看成一个字母合并 是系数的一部分 是数字，作为数字因数属于系数 的系数是 4. 常见考试模型 4.1 整体代入求值模型 公式：已知 与 的一个关系式（如 ），求含 、 的代数式的值；把关系式或由它凑成的整体当成一个字母整体代入。 限定：代入时符号、括号要一并处理，不能漏乘或漏变号。 示例：已知 ，则 。 4.2 “与字母取值无关”模型 公式：两个整式相加减的结果中，若要求与某字母无关，则合并同类项后该字母的系数为 ，令系数为 列方程求参数。 限定：需先合并同类项，找到目标字母的系数（系数可能含参数）。 示例：若 的结果不含 项，则 项的系数 。 4.3 数字规律模型 公式：三位数 百位数字 十位数字 个位数字，即 ；用整式表示并化简，可证明整除、和差等规律。 限定：各数位数字都是 的整数，最高位数字不能为 。 示例：原数 与交换百位、个位后的 的差为 ，能被 整除。 4.4 月历框数模型 公式：月历中横、竖相邻日期差 、；以正中间的数 框出的十字形五个数之和为 。 限定：框出的数必须是月历中实际存在的日期。 示例：框出的五个数可表示为 ，，，，，其和为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：同类项判定漏了“相同字母的指数也相同” 典例：判断 与 是否为同类项。 错解：是同类项，因为它们都含有字母 和 。 正解：不是同类项。第一个单项式中 的指数是 、 的指数是 ，第二个中 的指数是 、 的指数是 ，相同字母的指数不相同。 原因：概念理解片面。同类项必须同时满足“所含字母相同”和“相同字母的指数相同”两个条件，学生往往只记住“字母相同”这一条，忽略了指数的对应关系；字母相同但指数不同（如 与 ）不是同类项，不能合并。 易错点 2：合并同类项时把指数也相加 典例：判断 是否正确。 错解：正确，因为 ，指数 。 正解：错误。合并同类项只把系数相加，字母及其指数不变：。 原因：运算法则记忆错乱。学生把“系数相加”错误地迁移成“系数相加、指数也相加”，而合并同类项的本质是乘法对加法的分配律 ， 作为公因式保持不变。 易错点 3：去括号时括号前是“”号，漏变括号里各项的符号 典例：化简 。 错解：。 正解：。括号前是“”号，去掉括号和它前面的“”号后，括号里每一项的符号都要改变， 变成 。 原因：符号处理失误。学生去掉“”号后只改变第一项的符号，忘记括号内后面的项也要变号；去括号可理解为括号内各项都乘 ，所以每一项的符号都要改变。 易错点 4：求两个整式的“差”时不加括号 典例：求 与 的差。 错解：。 正解：。 原因：审题遗漏。“ 与 的差”是 ，必须把 用括号括起来整体相减；学生直接照抄漏加括号，使被减式各项没有全部变号。 易错点 5：判断“几次几项式”前未合并同类项 典例：判断 是几次几项式。 错解：它含有 、、 三项，是二次三项式。 正解：先合并同类项：，它是一次二项式。 原因：漏了化简步骤。多项式含同类项时，判断次数和项数前要先合并同类项；学生按“表面有几项”判断，被可合并的项干扰。 易错点 6：单项式系数判断遗漏符号或 典例：指出 的系数。 错解：系数是 （或 ）。 正解：系数是 。单项式的系数是数字因数， 是数字，前面的负号也是系数的一部分。 原因：概念理解不到位。学生把“数字因数”窄化为“阿拉伯数字”，忽略了 是常数、以及符号属于系数；单项式系数应连同符号和 一起作为整体看待。 学科网（北京）股份有限公司 $