第三章代数式（期中知识清单）七年级数学上学期新教材青岛版

第三章 代数式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 用字母表示数 1.1 含字母乘式的书写规定 在含有字母的乘式中，通常省略”ד号或将”ד号用”·“表示，并将数字因数写在字母的前面。数字与数字相乘时，一般仍用”ד号。 示例： 写成 ； 写成 ； 仍写成 。 1.2 字母可以表示的数 随着数的范围扩充至有理数，字母不仅可以表示正数和 ，也可以表示负数。字母可以像数一样参与运算。 示例：有理数 的相反数可表示为 ，当 时，。 1.3 用字母表示数的作用 用字母表示数，能一般而又简明地把数、数量关系、法则和变化规律表达出来，为叙述和研究问题带来方便。 示例：乘法对加法的分配律可表示为 。 2. 代数式 2.1 代数式的定义 像这样用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式。特别地，单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式。 示例：，，，， 都是代数式；、 也是代数式。 注意：代数式中的除法运算一般写成分数形式，如 写成 。 2.2 文字语言与符号语言 用文字来表达数量关系的语言称为文字语言（或自然语言）；用数、字母、运算符号及表示运算顺序的括号来表达数量关系的语言称为符号语言。符号语言是一种重要的数学语言。 示例：”甲数与乙数的差的一半”是文字语言，对应的符号语言是 。 3. 代数式的值 3.1 代数式的值的定义 用数代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果，叫作代数式的值。 示例：当 时，。 4. 生活中的常量与变量 4.1 常量与变量的定义 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量。 示例：一辆汽车以 的速度行驶，速度是常量；行驶的路程 与行驶的时间 是变量。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 特殊数的代数式表示 设 为整数，则偶数可表示为 ，奇数可表示为 或 ，能被 整除的数可表示为 。三个连续偶数可表示为 ，，；三个连续整数可表示为 ，，。 1.2 两位数的表示 十位数字为 、个位数字为 的两位数可表示为 。 1.3 增长率与折扣的表示 原价 元，涨价 后为 元，降价 后为 元；打九折销售后为 元。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 列代数式的规范流程 审题找数量关系 → 确定用哪个字母表示哪个量 → 抓住”和、差、倍、商、平方”等关键词确定运算与运算顺序 → 按需加括号 → 按书写规范整理。如”甲数的 倍与乙数的 倍的和”列成 。 2.2 求代数式的值的规范流程 把字母的值整体代入（负数、分数代入时先加括号）→ 按运算顺序计算 → 检验符号。如当 时，，不能写成 。 3. 书写与读列小技巧 技巧 要点 示例 带分数化假分数 字母前的带分数写成假分数 应写成 系数 、 省略 或 与字母相乘省略数字 写成 ， 写成 关键词定运算 和、差、倍、商、平方分别对应 、、、、乘方 “比 的平方少 的数”写成 先读整体再读局部 读代数式时先读乘方与括号内的整体，再读乘除，最后读加减 读作” 与 的差的一半” 4. 常见考试模型 4.1 规律探索模型 公式：观察给出的前几项（图形或数列），找出随序号 变化的规律，用含 的代数式表示第 项；必要时先写出第 、、 项再归纳。 限定：归纳出的式子须回代前几项检验。 示例：如 ，，，， 的第 项为 ；，，，， 的第 项为 。 4.2 面积与阴影面积模型 公式：整体面积 空白面积 阴影面积；规则图形直接用面积公式。 限定：用字母表示边长时，结果须按书写规范整理。 示例：如边长分别为 、（）的两个正方形叠放，阴影部分面积为 。 4.3 分段计费模型 公式：收费 起步价 超出部分 单价；用含字母的式子表示时先写分段条件。 限定：注意”不足 按 计”等实际规则。 示例：如起步价 元（ 内），超出后每 加收 元，行驶 （ 且为整数）应付 元。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：代数式书写不规范，数字因数未写在字母前面 典例：用代数式表示” 的 倍”。 错解：（或 ）。 正解：。数字因数 写在字母前面，乘号省略。 原因：书写规范未内化。学生知道要省略乘号，却忽略”数字因数写在字母前面”的规定，写出 这类不规范形式，或数字与字母相乘仍写 。代数式书写规范是中考常见考点，须牢记”数字在前、字母在后、乘号省略、除号化分”。 易错点 2：列代数式漏括号，忽略运算顺序 典例：用代数式表示” 与 的差的平方”。 错解：。 正解：。 原因：运算顺序理解错误。学生只盯住”平方”两个字，把它直接加到最后一个字母上，忽略了”差”是一个整体，须先算 再平方，因此必须加括号。列代数式时，凡”和、差”参与后续乘方、乘法运算，都要用括号把”和、差”括起来。 易错点 3：求值时代入负数忘加括号 典例：当 时，求代数式 的值。 错解：。 正解：。 原因：符号处理失误。 表示 ，代入时 应作为一个整体，写成 ；学生把 理解成” 的平方再取相反数”，得到 。凡字母取负数代入乘方运算，都要先加括号。 易错点 4：“平方和”与”和的平方”混淆 典例：用代数式表示”、 两数的平方和”。 错解：。 正解：。 原因：概念辨析不清。“平方和”是先各自平方再相加，即 ；“和的平方”是先相加再平方，即 。两者文字表述只差字序，含义却完全不同。读题时须先判断”先算什么”再动笔。 易错点 5：常量与变量判断错误 典例：正方形的周长 与边长 满足 ，指出其中的常量与变量。 错解：、、 都是变量。 正解：边长 和周长 是变量， 是常量。 原因：对定义理解机械。学生把”式子中出现的所有量”都当成变量，忽略了常量是”数值保持不变的量”—— 不随 、 变化，是常量。判断常量与变量，关键是看”在这一变化过程中，量是否保持不变”。 易错点 6：把等式当成代数式 典例：判断 是不是代数式。 错解： 是代数式。 正解： 不是代数式。代数式是”用运算符号把数和字母连接而成的式子”，不含有等号、不等号等关系符号。 原因：概念边界模糊。学生把含有字母的式子都当成代数式，忽略了代数式定义中”运算符号”（加、减、乘、除、乘方）与”关系符号”（、、、）的区别。凡出现等号、不等号的都是等式或不等式，不是代数式。 学科网（北京）股份有限公司 $