第二十三章解直角三角形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪科版

第二十三章 解直角三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 锐角三角函数 1.1 正切的定义 在 中，我们把锐角 的对边与邻边的比叫作 的正切，记作 ，即 示例：在 中，，，，则 ，。 图1：锐角三角函数定义 1.2 正弦的定义 在 中，我们把锐角 的对边与斜边的比叫作 的正弦，记作 ，即 示例：在 中，，，，则 ，。 1.3 余弦的定义 同理，我们把锐角 的邻边与斜边的比叫作 的余弦，记作 ，即 示例：在 中，，，，则 。 1.4 锐角三角函数 锐角 的正弦、余弦、正切都叫作锐角 的三角函数。 注意：对于锐角 的每个确定的值， 有唯一确定的值与它对应，所以 是锐角 的函数；同理，， 也是锐角 的函数。 示例：锐角 的大小确定后，它的三角函数值也随之唯一确定，与三角形的大小无关。 1.5 坡度、坡角（坡比） 坡面的铅直高度 和水平长度 的比叫作坡面的坡度（或坡比），记作 ，即 （坡度通常写成 的形式。）坡面与水平面的夹角叫作坡角（或称倾斜角），记作 ，于是有 显然，坡度（）越大，坡角 越大，坡面就越陡。 2. 特殊角的三角函数值 2.1 、、 角的三角函数值 根据锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质，就可以得到 、、 角的三角函数值。 三角函数 示例：，，，。 图2：特殊角的三角函数值 2.2 互余两角三角函数的关系 任意一个锐角的正（余）弦值等于它的余角的余（正）弦值，即 示例：；。 3. 解直角三角形及其应用 3.1 直角三角形的边角关系 在 中，，、、 所对的边分别为 、、，则 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，。 图3：直角三角形的边角关系 3.2 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形。 示例：在 中，，已知 ，，则 ，，。 注意：解直角三角形时，只要知道五个元素（三边、两锐角）中的两个（至少有一个是边），就可求出其余三个元素。 3.3 仰角、俯角 在进行高度测量时，视线与水平线形成一定的夹角，当视线在水平线上方时，这个夹角叫作仰角；当视线在水平线下方时，这个夹角叫作俯角。 示例：站在地面仰头看树顶，视线与水平线的夹角是仰角；站在高处低头看地面目标，视线与水平线的夹角是俯角。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同角三角函数的基本关系 对于锐角 ，有 ；。如 ，则 ，。 1.2 锐角三角函数的取值范围 为锐角时，，，。据此可快速排除选择题中的错误选项，如 、 均为不可能。 1.3 随角度增大函数值的变化规律 锐角 增大时，、 随之增大， 随之减小。如 ，，。 1.4 三角形的面积公式 三角形的面积 （两边及其夹角正弦的一半）。如 ，，，则 。 1.5 一次函数的斜率与倾斜角 直线 （）向上方向与 轴正方向所夹的锐角为 ，则 。如直线 与 轴正方向所夹的锐角为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求锐角三角函数值的三步法 在所求锐角处构造直角三角形（无直角时作垂线）→ 确定该锐角的对边、邻边、斜边 → 按定义写出比值并化简。如求非直角三角形中某角的三角函数，先作高构造直角三角形，再求。 2.2 已知一边一角解直角三角形的流程 画图标出已知元素 → 根据边角关系选定合适的关系式（已知斜边求直角边用 、；已知两直角边求角用 ）→ 代入求值并检验。如已知 ，，则 ，。 2.3 测高问题的规范步骤 分清仰角、俯角与水平线 → 在对应的直角三角形中列出边角关系式 → 解方程求出未知量 → 检验并写”答”。涉及两个直角三角形（如隔一段距离两次测角）时，用公共边或公共线段作桥梁列方程。 2.4 用计算器求一般锐角的三角函数值 先打开计算器并调至角度制，再按相应的三角函数键求值；由三角函数值求锐角时，用第二功能键（反函数）计算。计算器显示的是近似值，注意按题目要求精确到位数。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 特殊角值口诀 正弦 依次为 ；余弦倒过来；正切依次 ， 互余转换 ，，求余角三角函数值直接转换 设参法 已知三角函数比值（如 ），可设对边 、斜边 再求其他量 ，设对边 、斜边 ，则邻边 作高构造直角 求非直角三角形某角的三角函数值，先作高把它分成直角三角形 等腰三角形 ，作高 ，在 中求三角函数 4. 常见考试模型 4.1 仰角、俯角测高模型 公式：物体高度 水平距离 仰角（俯角） 仪器高度；多次测角时设公共高度为 ，用两个直角三角形分别表示同一条水平距离列方程。 限定：解出的高度、距离均为正数；结果按题目要求精确到位数。 示例：如站在距树 处，测得树顶仰角 ，仪器高 ，则树高 。 4.2 坡度、坡角模型 公式：坡度 （ 为铅直高度， 为水平长度， 为坡角）。已知坡度和一边长，可求高与水平距离。 限定：坡角 为锐角；坡度常写成 形式，需先化为比值再代入。 示例：如路基高 ，坡度 ，则水平距离 ，坡角 。 4.3 方位角航行模型 公式：作过目标点的垂线构造直角三角形，用 表示各段距离，再由已知距离列方程求垂线段长，进而判断安全、求距离。 限定：方位角、速度、时间与距离要统一；“北偏东”等方向的补角要算准。 示例：如船以 海里/时的速度航行，灯塔先后在北偏东 、 方向，设最近距离为 ，由 解得 ，航行安全。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：正弦、余弦、正切对应的边混淆 典例：在 中，，，，求 。 错解：。 正解： 的对边是 ，斜边是 ，所以 （）。 原因：概念理解错误。学生把”对边”与”邻边”的位置关系搞混，或记不清正弦是”对边比斜边”还是”邻边比斜边”。纠正要点：先找准所问的角，再以这个角为参照分清对边、邻边、斜边，牢记”正弦对斜、余弦邻斜、正切对邻”。 易错点 2： 与 的正弦、余弦值记反 典例：求 的值。 错解：。 正解：。 原因：记忆错误。、 的正弦、余弦值互为相反顺序，学生常把 与 记混。纠正要点：借助 所对直角边是斜边一半的性质现场推导，或用”正弦值随角增大而增大”验证。 易错点 3：在非直角三角形中直接套用三角函数定义 典例：在 中，，，求 。 错解：。 正解： 不是直角三角形，不能直接套用定义。作高 ，则 ，，所以在 中，。 原因：忽略使用前提。正弦、余弦、正切的定义要求三角形是直角三角形，学生一见”求 “就机械地把两条边相除。纠正要点：先判断三角形是否为直角三角形，不是则先作高（或作垂线）构造直角三角形，再套定义。 易错点 4：仰角与俯角混淆 典例：飞机的飞行高度 ，从飞机上测得到地面着陆点 的俯角为 ，求飞机到着陆点的距离 。 错解：把俯角当成仰角，，或 。 正解：从飞机看地面是俯角，视线在水平线下方，。在 中，，所以 。 原因：概念混淆、审题不细。仰角、俯角都以水平线为基准，俯角对应的角在直角三角形中是”水平线与斜线”之间的那个角，学生常把它错标到错误的位置。纠正要点：画图时先画水平线，再标视线，明确”仰角在上、俯角在下”。 易错点 5：把坡度（比值）直接当作坡角（角度） 典例：某坡面的坡度 ，求坡角 的值。 错解：，所以坡角约为 。 正解：坡度是铅直高度与水平长度的比值，，所以 。 原因：概念理解错误。学生把”坡度（坡比）“这个比值与”坡角”这个角度混为一谈，忘记坡度与坡角之间是正切关系（）。纠正要点：牢记坡度是 的值，求坡角要用反正切（或查表、用计算器）换算。 易错点 6：互余关系用错方向 典例：在 中，，且 ，求 。 错解：，但把结论写成 再求。 正解：由 ，得 。 原因：记忆不牢、方向搞反。互余两角的正弦、余弦关系是 、，学生常把”余角的余（正）弦”记成”同一个角的正弦等于余弦”。纠正要点：抓住”互余”二字—— 与 互余时， 的正弦才等于 的余弦。 学科网（北京）股份有限公司 $