第二十二章相似形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪科版

第二十二章 相似形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 相似多边形 1.1 相似图形 形状相同的两个平面图形可以看作由一个图形放大或缩小得到。我们把这种形状相同的两个图形叫作相似图形。 示例：同一底片按不同比例扩印出来的两张照片、国旗上不同大小的五角星，都是形状相同、大小不一的相似图形。 1.2 相似多边形 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫作相似多边形。 示例：任意两个正方形的对应角都相等（均为 ），对应边长度的比相等，所以任意两个正方形都是相似多边形。 1.3 相似比（相似系数） 相似多边形对应边长度的比叫作相似比或相似系数。 示例：若两个相似多边形的一组对应边长分别为 和 ，则它们的相似比为 。 2. 比例线段 2.1 两条线段的比 用同一单位长度去度量两条线段 ，，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫作这两条线段的比，记作 或 。 示例：若 ，，则 。 2.2 成比例线段（比例线段） 在四条线段 ，，， 中，如果其中两条线段 ， 的比等于另外两条线段 ， 的比，即 （或 ），那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段。线段 ，，， 叫作组成比例的项，线段 ， 叫作比例外项，线段 ， 叫作比例内项。 示例：若 ，，，，则 ，所以 ，，， 四条线段成比例。 2.3 比例中项 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段 ，， 之间有 ，那么线段 叫作线段 ， 的比例中项。 示例： 是 和 的比例中项，因为 。 2.4 比例的基本性质 如果 ，那么 （，）。反之也成立，即如果 （，），那么 。 示例：由 ，得 ，即 。 注意：比例的基本性质表明比例式与等积式可以互相转化，它是比例变形和解比例式的主要依据。 2.5 合比性质 如果 ，那么 。 示例：由 ，得 。 2.6 等比性质 如果 ，且 ，那么 。 示例：若 ，则 。 注意：运用等比性质时，各分母之和不能为 。 2.7 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，分割点叫作这条线段的黄金分割点，比值 叫作黄金数，又称为黄金比。 示例：线段 上的点 满足 （），则点 是线段 的黄金分割点，。 2.8 平行线分线段成比例（基本事实） 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 图1：平行线分线段成比例 示例：如图 1，若 ，则 。 2.9 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 示例：在 中，，交 、 于点 、，则 。 3. 相似三角形的判定 3.1 相似三角形与符号表示 两个三角形相似，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应角与对应边。如图， 与 相似，记作 ，读作”三角形 相似于三角形 “。 对于 、，根据相似图形的定义，应有 ，，，且 。 将 与 的相似比记为 ，则 与 的相似比为 。当 时，两个三角形全等。 3.2 预备定理（平行于三角形一边的直线） 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 示例：在 中，，交 、 于点 、，则 。 3.3 判定定理1（两角对应相等） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似。 图2：两角分别相等的两个三角形相似 示例：若 ，，则 。 3.4 判定定理2（两边成比例且夹角相等） 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：若 且 ，则 。 3.5 判定定理3（三边成比例） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边成比例的两个三角形相似。 示例：若 ，则 。 3.6 直角三角形相似的判定 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。可简单说成：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 示例：在 与 中，，若 ，则两直角三角形相似。 4. 相似三角形的性质 4.1 对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 示例：，相似比为 ，则对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。 4.2 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比。 示例：相似比为 的两个相似三角形，其周长之比也等于 。 4.3 面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 示例：相似比为 的两个相似三角形，其面积之比等于 ；反过来，若两相似三角形面积之比为 ，则相似比为 。 5. 简单的位似图形 5.1 位似图形与位似中心 一般地，如果一个图形上的点 ，，，， 和另一个图形上的点 ，，，， 分别对应，并且满足下面两点： 1. 直线 ，，，， 都经过同一点 ； 1. （ 为大于 的常数）， 那么，这两个图形叫作位似图形，点 叫作位似中心。 图3：位似图形 示例：把四边形 放大为原来的 倍，对应顶点连线交于同一点，所得图形与原四边形位似。 5.2 位似多边形 如果平面内的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点 ，那么这两个多边形是位似多边形，点 是位似中心。 示例：两个位似的三角形，既是相似三角形，又满足对应顶点连线共点，因而是位似多边形。 5.3 平面直角坐标系中的位似 在平面直角坐标系中，只要把图形上各点的坐标都乘以一个固定的数 （），即 ，就可以得到相似比为 的同向位似图形（同向位似是指位似的两个图形的每一对对应点都在位似中心的同侧），且位似中心为原点 。 示例：把 各顶点坐标都乘以 ，所得图形与 位似，位似中心为原点，相似比为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 平行线分线段成比例的两类基本图形 一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例，具体到三角形中表现为两类基本图形：一是”A 字型”，即平行于三角形一边的直线截另两边，有 的比例关系；二是”X 字型”，即平行线截两条相交直线，对应线段成比例。 1.2 相似三角形”任意对应线段”之比等于相似比 不仅对应高、对应中线、对应角平分线，相似三角形上任意一组对应线段（如对应边上同侧截取的同比例的线段、对应角的同位置分角线等）之比都等于相似比。这是”对应高比等于相似比”这一性质的一般化。 1.3 周长比、面积比与相似比的互化 相似比为 的两个相似三角形，周长比等于 ，面积比等于 。逆用：由周长比可直接得相似比；由面积比开方（取算术平方根）得相似比，再由相似比求周长比、对应线段比。如面积比为 ，则相似比为 ，周长比为 。 1.4 相似三角形的传递性 若 ，，则 。多组相似三角形可通过公共的中间三角形建立联系。 1.5 比例式的基本变形 由 ，可作如下等价变形：交换两内项得 （更比）；交换两外项得 ；两边同时取倒数得 （反比）。合比得 ，分比得 。 1.6 黄金分割点的两个比例关系 设点 是线段 的黄金分割点（），则 ，且 。黄金数 与它的倒数相差 。 1.7 位似与相似的包含关系 位似图形一定是相似图形（对应角相等、对应边成比例），但相似图形不一定是位似图形（对应顶点连线未必交于同一点）。 1.8 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这点叫作三角形的重心，重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍（即重心把每条中线分成 的两段）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定相似三角形的选择顺序 先看能否直接由角相等判定（两角对应相等），再看两边是否成比例且夹角相等，最后看三边是否成比例；直角三角形优先考虑斜边和一条直角边对应成比例。做题时先找相等角、再找成比例边，把对应顶点写准。如已知 且 ，用”两边成比例且夹角相等”判定。 2.2 证明线段成比例或等积式的思路 遇到等积式（如 ），先化为比例式（如 ），再找能提供这组比例的两条边所在的一对相似三角形，由相似得比例、再化成等积式。 2.3 等比设”k”法 连等式（如 ）或已知两边之比时，设公共比值为 ，把各量都用 表示（，，），代入目标式约去 即可求值。如 ，，设比值为 ，得 ，，故 ，，。 【使用提醒】设 时若题目隐含各量为正（如线段长），求出的负值 应舍去。 2.4 双相似（中间比、中间角）转移法 当要求的两条线段不在同一对相似三角形中时，寻找既与甲三角形相似、又与乙三角形相似的”桥梁”，或利用公共边、公共角、相等的中间量把比例”串”起来。如 ，，则可由 、 两式相乘消去中间项 、。 2.5 用相似测量高度、距离的步骤 先把实物抽象为线段或三角形，再构造相似三角形（影子法利用平行光得相似三角形、镜面法利用入射角等于反射角得相等角、标杆法利用平行线分线段成比例），写出对应边成比例，代入已知量解方程求未知高、距离。如影子法中，。 3. 识图与运算小技巧 技巧 要点 示例 相似比与面积比的快速换算 面积比 相似比的平方；由面积比求相似比要开平方，注意”面积比 边长比 周长比”都要经过开方 面积比 ，则相似比 ，周长比 黄金比速记 黄金数 ，较长段占全长的 、较短段占 ，两者之比约 全长 时较长段约 ，较短段约 基本图形”一眼识别” 字型（正立相似）与 字型（交叉相似）共线边对应成比例；母子型（直角三角形斜边上的高）产生三对相似三角形 时 （ 字型） 对应顶点对齐法 写 时把对应顶点写在对应位置，可一眼读出对应边 由 知 4. 常见考试模型 4.1 “A 字型”（平行截三角形） 公式： 中 ，则 ，；由面积比得 。 限定：平行线位置决定了对应点，、 分别在 、 上（或其延长线上）。 示例：如 ，，，则 。 4.2 “X 字型”（交叉相似 / 8 字型） 公式： 交于点 ，则 ，。 限定：一组对边平行是产生 字型的关键，对应边成比例、对应角相等。 示例：如 ，，，，则 。 4.3 母子型（直角三角形斜边上的高） 公式： 中，， 于 ，则 ，从而 ，，。 限定：必须是在直角三角形中、从直角顶点向斜边作的高，三式中的线段位置要一一对应。 示例：如 ，，则 。 4.4 一线三等角 公式：一条直线上顺次有 ，且三个角的顶点共线、两边都在该直线同侧，则外侧两个三角形相似（常用来证边成比例或求角）。 限定：三个等角的顶点必须共线，且每个角的一条边落在该直线上。 示例：如 、、 共线，， 同侧，则 （、 为各角另一条边上的点）。 4.5 相似测高（影子法 / 镜面法 / 标杆法） 公式：影子法 ；镜面法 ；标杆法利用平行线分线段成比例列出 。 限定：影长、距离都取同一时刻、同一平面上的量，镜面法中人、镜、物需在同一水平线上。 示例：如竿高 、影长 ，树的影长 ，则树高 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：相似三角形对应顶点写错，导致对应边、对应角全错 典例：如图，， 与 交于点 ，若 ，，，求 。 错解：由 ，得 ，则 ，即 ，所以 。 正解：由 ，得 ，（内错角相等），所以 （对应顶点为 、、），则 ，即 ，所以 。 原因：对应关系写错。 与 相交构成 字型， 时 与 、 与 是内错角相等，所以 对应 、 对应 。学生误把 与 、 与 对应，写成 ，导致对应边写反、结果算错。写相似符号前务必先由相等的角确定对应顶点，再按对应位置书写。 易错点 2：误把”两边及其中一边的对角相等”当成相似判定条件 典例：在 和 中，，，；，，。判断 与 是否相似，并说明理由。 错解：因为 ，，且 ，所以 。 正解：由 可知两边成比例，但 与 的夹角是 ，而 是 的对角，并非夹角；同样 是 的对角。夹角 与 是否相等无法确定，故不能判定两个三角形相似。 原因：概念混淆——把”两边成比例且夹角相等”记成了”两边成比例且一边的对角相等”。后一种条件（“”）即使两边成比例且一对角相等，也不能保证相似，因为以已知边作圆可与另一边交于两点，图形不唯一。记住相似判定中的角必须是两边的夹角，全等判定里的”“也只对直角三角形成立。 易错点 3：面积比误当作相似比，忘记平方关系 典例：两个相似三角形的面积比为 ，求它们的周长比。 错解：因为面积比 ，所以相似比 ，周长比 。 正解：设两个相似三角形的相似比为 ，则面积比 ，所以 ，即相似比为 ；周长比等于相似比，也是 。 原因：记忆错位——把”面积比 相似比的平方”记成了”面积比 相似比”，直接拿面积比去充当相似比。根源是分不清”线性量（边长、周长）之比 相似比”与”面积（二维量）之比 相似比的平方”这两层关系。凡由面积比求相似比、边长比、周长比，都要先开平方。 易错点 4：运用等比性质时漏掉”分母之和不为 0”的前提 典例：已知 ，且 ，求 。 错解：由等比性质得 ，即 ，无法求出 ，故题目无解。 正解：分母之和 ，等比性质不能用。设 ，则 ，，；由 恒成立，所以 （ 可取任意非零值）。 原因：漏掉前提。等比性质成立的条件是”各分母之和不为 “；当分母之和恰好为 时， 的分母为 ，比值无意义，不能使用等比性质。此时应改用设 法，直接把各量用 表示，绕过”相加约分”这一步。 易错点 5：黄金分割点漏讨论，或把”较长段 / 较短段”与”较长段 / 全长”混为一谈 典例：已知点 是线段 的黄金分割点，，求线段 的长（结果保留根号）。 错解：。 正解：黄金分割点 有两个：当 为靠近 的黄金分割点（）时，；当 为靠近 的黄金分割点（）时，。所以 或 。 原因：漏分类讨论。黄金分割点在一条线段上关于中点对称地存在两个， 是”较长段 / 全长”的比值，对另一侧的黄金分割点要取 。学生常默认”较长的一段”就是所求，忽略了对称位置的另一个解；同时要区分”较长段比全长”（）与”较长段比较短段”（）两个不同比值。 易错点 6：位似变换中把”坐标伸缩系数”与”相似比”混淆，忽视位似方向 典例：在平面直角坐标系中， 的顶点坐标为 ，，。将各顶点坐标都乘以 得到 ，求 与 的相似比。 错解：坐标都乘以 ，所以相似比为 ；因为乘的是负数， 与 不相似。 正解：把各顶点坐标都乘以 ，相当于把图形放大 倍后再关于原点作中心对称，两个图形仍相似（且位似）。相似比是两图形对应边长度的比，恒为正数，等于坐标伸缩系数的绝对值 ；位似中心是原点，因乘数为负，对应点分居位似中心两侧，属于反向位似。 原因：概念理解不透。教材中”把各点坐标乘以固定的数 （）“得到的是同向位似；乘数为负时对应点位于位似中心两侧，形成反向位似。学生一是把”坐标伸缩系数 “直接当成相似比，误认为相似比可为负；二是看到乘负数就误判两图形不相似。相似比恒为正、等于伸缩系数的绝对值，伸缩系数的正负只决定位似方向（同向或反向），不改变相似比的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $