第四章数列（期中知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

第四章 数列　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 等差数列及其通项公式 1.1 数列的项与记号 我们将数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 位的数称为这个数列的第 项，等等。 数列的一般形式可以记成 ，其中 是数列的第 项，下标 是 的序数。上面的数列常简记为 。 示例：常见成年女鞋的尺寸（单位：cm）由小至大依次为 ，其中 是首项， 是第 项。 1.2 等差数列与公差 定义　如果一个数列从第 2 项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用小写字母 表示。 图1：月历最后一列的数 示例：月历最后一列的数 ，从第 2 项起，每一项与其前一项的差都等于 ，所以它是公差为 的等差数列。 注意：由三个数组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。 1.3 等差中项 给定一个数列 。若 是等差数列，由定义可得 ，从而 反之，若 ，则 ，即 ，从而 成等差数列。这时， 叫做 与 的等差中项。 示例： 与 的等差中项是 ，因为 。 1.4 等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，由定义可得 从而 把这 个等式相加得 ，由此 当 时，容易验证上面的等式也成立。因此，当 为正整数时，等差数列 的第 项可以用如下公式表示： 像这种用数列的序数 表示相应项 的公式称为数列 的通项公式。而上式就是等差数列 的通项公式。 示例：等差数列 中，，，通项公式为 ，第 项为 。 2. 等差数列的前 项和 2.1 前 项和公式 一般地，将数列 的前 项和记作 ，即 根据等差数列的通项公式，上式可以写为 受高斯算法的启示，我们又可将 表示为 将上述两式相加，得 于是就可得到等差数列 的前 项和公式 由于 ，上述公式又可以写作 图2：杨辉计算圭垛草总束数的方法（教材图 4-1-3） 示例：已知等差数列 中 ，，则 。 注意：已知数列 的前 项和 求通项时，可用 （），并注意检验 时是否也适合。 2.2 等差数列前 项和公式的特例 特别地， 示例：。 3. 等比数列及其通项公式 3.1 等比数列与公比 定义　如果一个数列从第 2 项起，每一项与其前一项的比都等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列，而这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用小写字母 （）表示。 图3：科克雪花曲线的前几个图形（教材图 4-2-1） 示例：科克雪花曲线从第 2 个图形起，每个图形的边数依次为 ，从第 2 项起，每一项与其前一项的比都等于 ，所以它是公比为 的等比数列。 3.2 等比中项 在两个非零实数 与 中间插入一个数 ，使 成等比数列。根据等比数列的定义，有 ，从而 ，即 或 。这两种情形下， 均为等比数列。此时， 叫做 与 的等比中项。 示例： 与 的等比中项是 或 ，因为 。 3.3 等比数列的通项公式 根据等比数列的定义，以 为首项、以 为公比的等比数列 满足 因此，当 时，有 由此可得，。所以，（）。而当 时，上面的等式也显然成立。 因此，当 为正整数时，等比数列 的第 项可表示为 这称为等比数列 的通项公式。 示例：等比数列 中，，，则 。 4. 等比数列的前 项和 4.1 等比数列的前 项和公式 一般地，设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 将上式两边同乘公比 ，可得 将两式相减，可得 ，即 。 由此得到，当 时，等比数列 的前 项和为 综上所述，可以得到以 为首项、以 （）为公比的等比数列的前 项和公式为 因为 ，所以上式又可写为 而当 时，因为 ，所以 示例：等比数列 中 ，，则 。 4.2 无穷等比数列的各项和 一个数列 中，如果当 无限增大时， 的值越来越趋近于某个确定的数 ，那么称这个数列的极限为 ，记作 ，其中记号 是英文单词 limit（极限）的缩写。 如果一个数列 的前 项和为 ，则 表示 。 更一般地，对于首项为 、公比为 的等比数列： 当 时，此数列的前 项和为 随着 无限增大， 的值越来越趋近于零， 的值越来越趋近于 ，从而 的极限为 ，记作 。 综上所述，以 为首项、 为公比的等比数列，当公比 时，有 图4：依次连接正方形各边中点得到的新正方形（教材图 4-2-2） 示例：正方形 的边长等于 ，连接各边中点得到小正方形，如此无限继续，所有这些正方形的周长之和为 ，面积之和为 。 5. 数列的概念与性质 5.1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为一个数列。数列与以往学过的数集相比，有下述不同点：集合中的元素是无序的，而数列的项必须按一定顺序排列，即为有序的；此外，集合中的元素要求互异，而数列的项可以是相同的。 给定一个数列 ，当项的序数 确定时，相应的项 也就确定了。于是，项 与项的序数 之间存在着对应关系。 图5：三角形点阵 图6：正方形点阵 示例：能够表示成三角形点阵的点数依次为 ；能够表示成正方形点阵的点数依次为 。 注意：按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，就得到了一个小于 的近似值，称为 的不足近似值，如 。 5.2 有穷数列、无穷数列与单调数列 项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列。 从第 2 项起，每一项都不小于其前一项的数列 叫做增数列，此时 （ 为正整数）成立。特别地，从第 2 项起，每一项都大于其前一项的数列 叫做严格增数列，此时 （ 为正整数）成立。相应地，从第 2 项起，每一项都不大于其前一项的数列 叫做减数列，此时 （ 为正整数）成立。特别地，从第 2 项起，每一项都小于其前一项的数列 叫做严格减数列，此时 （ 为正整数）成立。增数列和减数列统称为单调数列。各项均相等的数列叫做常数列。 名称 定义 等价关系（ 为正整数） 增数列 从第 2 项起，每一项都不小于其前一项 严格增数列 从第 2 项起，每一项都大于其前一项 减数列 从第 2 项起，每一项都不大于其前一项 严格减数列 从第 2 项起，每一项都小于其前一项 常数列 各项均相等 示例：数列 中，，所以它是严格减数列。 注意：公差为正数的等差数列为严格增数列；公差为负数的等差数列为严格减数列；公差为零的等差数列为常数列。 5.3 通项公式与列表法 给定数列 ，如果可以用一个关于序数 的公式来表示数列中的任一项 ，那么这个公式就称为数列 的通项公式。有了数列的通项公式，就可以算出数列中的各项。 实际中，也常用列表法来表示数列。 示例：数列 的通项公式为 ，则 ，，，，。 6. 数列的递推公式 6.1 递推公式 如果数列 的任一项 可由其前一项 （或前几项）通过一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的一个递推公式。它也是表示数列的一种方法。有时，数列通项公式不容易被发现，但可通过数列的递推关系来描述该数列。 示例：等差数列 满足 ，公差 ，可以用公式 （）表示该数列从第 2 项起每一项与其前一项的关系；等比数列 满足 ，公比 ，可以用公式 （）表示这一关系。 7. 数学归纳法 7.1 归纳法 像这种由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法。用归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律。但是，仅根据有限特殊事例归纳得出的结论，不能确定它对后续的项也成立，所以上面这个猜想需要加以证明。 示例：由 ，，，猜想 ，该猜想还需证明。 7.2 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当 取第一个值 （ 为正整数）时，命题成立； （2）假设当 （， 为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立。 那么，命题对于从 开始的所有正整数 都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是证明有关正整数命题的一种方法。步骤（1）是命题论证的基础，而步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证。这两个步骤是缺一不可的。 示例：用数学归纳法证明：（ 为正整数）。(1) 当 时，左边 ，右边 ，等式成立。(2) 假设当 （ 为正整数）时等式成立，即有 ，那么当 时，就有 ，等式也成立。根据 (1) 和 (2)，由数学归纳法就可以断定 对任意正整数 都成立。 注意：在数学归纳法的证明中，由 时等式成立，到 时等式也成立，最后到对所有正整数 等式都成立。请注意“等式成立”“等式也成立”“等式都成立”之间的递推关系和逻辑关系，以及“也”和“都”这两个副词的作用。 8. 数学归纳法的应用 8.1 先猜想、后证明 在数学的探索中，为了寻求一般的规律，往往先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，再去证明这些猜想正确与否。一般与正整数有关的命题也可以通过这样的途径得到。 示例：已知数列 满足 ，，利用递推公式计算得 ，，，由此猜想，对任意正整数 ，都有 。用数学归纳法证明：(1) 当 时，，猜想成立；(2) 假设 （ 为正整数）时猜想成立，即有 ，那么当 时，，猜想也成立。根据 (1) 和 (2)，由数学归纳法就可以断定 对任意正整数 都成立。 9. 用迭代序列求 的近似值 9.1 迭代算法 记 为某个方程的解，选定一个表达式 以及一个首项 ，然后利用下面的递推公式 重复地计算。如果 越来越趋近于 ，即 ，就得到一个求 的算法。在此算法中，我们把首项 称为初值，数列 称为迭代序列，而这个方法就称为迭代算法。 9.2 巴比伦算法 方程 可等价地变形为 即取 。为了求解，我们任取一个初值 ，并构造递推公式 来形成一个迭代序列 。这就是计算 的巴比伦算法。 示例：取初值 ，由上述递推公式迭代得 ，，，，当 越来越大时， 越来越趋近于 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 等差数列的下标性质 等差数列 中，；若正整数 满足 ，则 。 1.2 等差数列前 项和的性质 等差数列 中，，即 是 的二次函数且常数项为 ；；，故 成等差数列。 1.3 等比数列的下标性质 等比数列 中，；若正整数 满足 ，则 。 1.4 等比数列前 项和的性质 等比数列 中，，， 成等比数列，公比为 。【使用提醒】推导依据是 ，需 且 。 1.5 通项形式与数列类型 （ 为常数，）是等差数列；（）是等差数列；（）的数列从第 2 项起成等差数列；（，）是等比数列。 1.6 等比数列的单调性 公比 且 ，或 且 时，等比数列为严格增数列； 且 ，或 且 时，等比数列为严格减数列。 1.7 等比数列各项的符号 公比 时各项与首项同号； 时奇数项同号、偶数项同号，且相邻两项异号。 1.8 等差数列奇数项与偶数项的和 前 项中，奇数项和 ，偶数项和 。【使用提醒】两者作商时需 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断等差数列的两种方法 定义法：证 等于与 无关的常数；中项法：证 对 恒成立。如判断 是否为等差数列，用定义法： 为常数，是等差数列。 2.2 判断等比数列的两种方法 定义法：证 等于同一个非零常数；中项法：证 且各项同号。【使用提醒】中项法必须补上”各项不为 且同号”，否则满足 的零数列并不是等比数列。 2.3 由 求 的步骤 先算 ；当 时算 ；最后把 代入检验，不一致就写成分段形式。如 时，，（）， 也适合，故 。 2.4 等比数列”知三求二” 在 、、、、 五个量中已知其中三个，用通项公式与前 项和公式列方程组求解；两个含 的等式相除先消去 求 是常用手段。如已知 ，，两式相除得 ，从而 ，。 2.5 设项技巧（对称设元） 三数成等差数列设 ，，；四数成等差数列设 ，，，；三数成等比数列设 ，，。如三数成等差数列且和为 ，设 ，， 可直接得中间项 。 2.6 数学归纳法证等式的操作 两步缺一不可：先验证 （归纳奠基），再假设 成立、推证 成立（归纳递推）；推证时把 的式子变形出 时的假设式，多出的项用因式分解或平方差处理。如证 时，把 与前式通分后提取公因式 。 3. 数列运算与判断小技巧 技巧 要点 示例 下标差化项 等差数列 ；等比数列 中项速算 等差中项 ；等比中项 与 的等差中项为 ，等比中项为 判等差 （无常数项）对应等差数列；有常数项时从第 2 项起等差 对应 奇偶项拆分 前 项中奇数项和为 ，偶数项和为 前 项中 循环小数化分数 循环节为 位时 ；循环节不从十分位起时拆成有限小数加无穷等比数列 ； 4. 常见考试模型 4.1 等差、等比数列基本量求解模型 公式：，（等差）；，（等比，）。 限定：用等比数列和公式前先确认 ； 时 ；等比数列各项均不为 。 示例：如已知 ，，由 得 ，进而 ，。 4.2 递推求通项模型 公式：（ 且 ）时， 是公比为 的等比数列，； 时用累加法， 时用累乘法。 限定：构造等比数列要求 ； 时原数列为等差数列；累加、累乘要注意起始下标。 示例：如 ，（），则 是首项 、公比 的等比数列，。 4.3 等差数列前 项和最值模型 公式： 且 时 最大； 且 时 最小；也可由 的对称轴 估计最值位置。 限定：仅 时 才存在最大（小）值；由对称轴得到的 要取最接近的正整数再比较两侧。 示例：如 ， 时，，，故前 项和最大。 4.4 数学归纳法”猜想—证明”模型 公式：算前若干项 归纳猜想命题 (1) 验证 取第一个值时成立；(2) 假设 时成立，推证 时也成立 断定对相应所有正整数成立。 限定：两步缺一不可；只有归纳递推没有奠基会证出假命题；递推时必须把 的式子凑出假设式。 示例：如设 ，代入 解得 ，，，得猜想 ，再用数学归纳法证明。 4.5 最大项（最小项）模型 公式：作差 并化为关于 的因式形式，解 与 确定单调区间，再比较区间端点项。 限定：若出现 ，相邻两项可能同为最大（小）项；作差结果是乘积时注意判断各项符号。 示例：如 ，，故第 、 项同为最大项，其值为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽视等比数列”公比非零、各项不为零” 典例：判断数列 是否为等比数列。 错解：从第 2 项起，每一项与其前一项的比都等于 ，所以它是公比为 的等比数列。 正解：不是等比数列。该数列从第 2 项起， 没有意义，且等比数列定义要求公比是同一个非零常数（），两个条件都不满足。 原因：概念理解片面。学生只记住”每一项与前一项的比为常数”，忽略了定义中”非零常数”以及”比要有意义”两个条件，把”差为常数的数列是等差数列”的直觉错误迁移到等比数列上。等差数列允许公差为 ，等比数列却没有任何一项为 。 易错点 2：用等比数列前 项和公式不讨论 典例：已知等比数列 的首项 ，公比 ，求 。 错解：直接套公式，，分母为 ，无法计算（或干脆写成 ）。 正解：公式 只在 时成立。当 时，，所以 。 原因：条件遗漏。和公式是用”两边同乘公比 后相减消项”推出的， 时两式完全相同、无法消项，因此公式对 不适用。学生把公式当万能公式，漏掉对公比的分类讨论；凡题目未明确 ，都要先分 与 两种情况。 易错点 3：由 求 忘掉 的检验 典例：已知数列 的前 项和 ，求 的通项公式。 错解：当 时，，所以数列的通项公式为 。 正解：当 时，；而 ，与 不相符。因此 ，当 时 ，通项要分两段写。 原因：程序缺失。 只在 时有意义（不存在 ），学生把 算出的结果默认扩展到 ，漏掉”回代检验首项”这一步。当 的表达式含常数项时，首项往往与后面的通项不吻合，此时必须写成分段形式。 易错点 4：数学归纳法只有递推、没有奠基 典例：用数学归纳法证明：“设 为正整数，则 。”某同学的证明只有一步：假设当 （ 为正整数）时等式成立，那么当 时等式也成立，因此对于任意正整数 等式都成立。请指出证明中的错误。 错解：认为证明完整，没有错误，“假设 成立能推出 成立”，所以结论对所有正整数成立。 正解：证明缺少第 (1) 步（归纳奠基）。当 时，左边 ，右边 ，等式根本不成立，命题本身是假命题。数学归纳法必须两步齐全：先证明当 取第一个值时命题成立，再证明递推关系，缺少第 (1) 步时，第 (2) 步只是在”如果成立”的前提下推导，推不出命题为真。 原因：逻辑链条缺失。学生把”若 真则 真”当成了” 真”，不知道没有奠基的递推是一句空话——命题可以整条都是假的，而递推关系依然成立。多米诺骨牌再密，第一块不倒，后面全都不会倒。 易错点 5：无穷等比数列求和忽略 典例：求无穷等比数列 的各项和。 错解：套用公式，。 正解：该数列的公比 ，不满足 。其前 项和 随着 增大而无限增大，极限不存在，所以这个无穷等比数列的各项和不存在，不能使用 。 原因：适用条件遗漏。公式 的前提是 （此时 越来越趋近于零， 才有极限）。学生只记公式不记前提，把”是等比数列”当成”能求和”； 时套公式还会得到负数这类荒谬结果，可用来检验自己是否用错了条件。 易错点 6：等比中项开平方只取正值 典例：求 与 的等比中项。 错解：设等比中项为 ，则 。 正解：设等比中项为 ，则 ，所以 或 。 与 都成等比数列， 与 的等比中项有两个。 原因：概念理解不完整。由 开平方应得 ，学生把它与”算术平方根”混淆，只取正根；此外，当 时 无实数解，此时不存在实数的等比中项，这个前提也容易漏掉。 学科网（北京）股份有限公司 $