专题01 实数（知识&考点&公式&4高频&3易错&4重难&5模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 实数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(9类) 公式清单(8类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即______，那么这个____数x叫做a的______平方根。 a的算术平方根记作______，读作“根号a”，a叫做______数。规定：0的算术平方根是______。 ★ 重要性质：双重非负性：被开方数______；算术平方根______。 知识点02 平方根 如果一个数x的平方等于a，即______，那么这个数x叫做a的______（也叫二次方根）。 正数a的平方根记作______。求一个数a的平方根的运算叫做______。 正数有____个平方根，它们互为______；0的平方根是______；负数______平方根。 知识点03 立方根 如果一个数x的立方等于a，即______，那么这个数x叫做a的______（也叫三次方根）。 a的立方根记作______。求一个数的立方根的运算叫做______。 正数的立方根是______数；负数的立方根是______数；0的立方根是______。 ★ 重要公式： = ______。 知识点04 无理数 ______小数叫做无理数。 开方开不尽的数，如______、______等；含有____的数；有规律但不____的无限小数。 知识点05 实数的定义 ______和______统称为实数。 按定义分类：实数分为______和______。 按大小分类：实数分为______、______、______。 知识点06 实数与数轴 实数与数轴上的点是______对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 知识点07 实数的性质 数a的相反数是______； 正数的绝对值是______；负数的绝对值是______；0的绝对值是______； 非零实数a的倒数是______。 知识点08 实数的运算 正数和0可以进行______运算；任意实数都可以进行______运算。有理数的运算法则和运算律在实数范围内______适用。 编号 考点内容 考查频率 常见考查方式 考点1 算术平方根的概念与双重非负性 高频 给定含的式子有意义的条件；的非负性应用 考点2 平方根的概念与性质 高频 正数有两个平方根；负数无平方根；求一个数的平方根 考点3 立方根的概念与性质 中频 任意实数都有立方根；=-的应用 考点4 无理数的识别 高频 在一组数中判断哪些是无理数 考点5 实数的分类 中频 按定义或大小对实数进行分类 考点6 实数与数轴的一一对应 中频 数轴上表示无理数；利用数轴比较大小 考点7 实数的相反数与绝对值 高频 求实数的相反数；化简含绝对值的实数式子 考点8 实数的大小比较 中频 平方法、立方法、数轴法比较实数大小 考点9 实数的运算与估算 高频 简单实数运算；估算无理数的大致范围 序号 公式 适用条件 说明 1 ()² = a a ≥ 0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 2 = |a| a为任意实数 平方的算术平方根等于它的绝对值 3 ()³ = a a为任意实数 一个数的立方根的立方等于它本身 4 = a a为任意实数 立方的立方根等于它本身 5 = - a为任意实数 负数的立方根等于相反数的立方根的相反数 6 若 x² = a (a≥0)，则 x = ± a ≥ 0 已知平方求原数（平方根） 7 若 x³ = a，则 x = a为任意实数 已知立方求原数（立方根） 8 ≥ 0 且 a ≥ 0 a ≥ 0 算术平方根的双重非负性 辨析1：算术平方根 vs 平方根 对比项 算术平方根 平方根 ± 定义 正数x的平方等于a，则正数x叫a的算术平方根 数x的平方等于a，则x叫a的平方根 结果个数 正数只有1个（非负的那个） 正数有2个，互为相反数 符号表示 ± 特殊数0 = 0 0的平方根也是0 负数 无意义（负数无算术平方根） 负数没有平方根 辨析2：()² vs 对比项 ()² 运算顺序 先开方，再平方 先平方，再开方 适用条件 必须 a ≥ 0 a为任意实数 结果 等于a本身 等于|a|，要分a>0、a=0、a<0讨论 举例 ()² = 5 ²) = = 3 = |-3| 辨析3：平方根 vs 立方根 对比项 平方根 立方根 根指数 2，通常省略不写 3，不能省略 被开方数条件 a ≥ 0 a为任意实数 正数的结果 有两个，互为相反数 有一个，是正数 负数的结果 不存在 有一个，是负数 0的结果 0 0 辨析4：有理数 vs 无理数 对比项 有理数 无理数 本质 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 能否写成分数 能（两个整数之比） 不能 常见举例 整数、分数、有限小数、循环小数 、π、0.1010010001… 带根号的数 =2是有理数 是无理数（开方开不尽） 【题型一】求算术平方根、平方根、立方根 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）计算：_____． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）计算：_________ ． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 【题型二】无理数的识别 【例2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025-2026八年级上上海市浦东新区几校期中）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D．0.333… 【变式2-3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．2 【题型三】实数的相反数与绝对值 【例3】实数的相反数是_________． 【变式3-1】的相反数为________． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·单元复习）的相反数是__；绝对值是__． 【变式3-3】已知与互为相反数，则的值是__________． 【题型四】实数的简单运算 【例4】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【题型一】混淆算术平方根与平方根 【例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是； D．的算术平方根是5 【变式1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的是（    ） A．2是的算术平方根 B．是16的算术平方根 C．的平方根是 D．1的平方根是它本身 【题型二】误认为“带根号的数都是无理数” 【例2】（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）在数字 （位数无限且相邻两个 2 之间依次增加 1 个 1）， 中，无理数的个数是（　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 【题型三】负数没有平方根，但有立方根 22．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 23．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 24．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【题型一】非负性综合求值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 【题型二】无理数的估算（整数部分与小数部分） 【例2】（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【变式2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【变式2-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计：_____． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【题型三】实数与数轴 【例3】（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【变式3-4】阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【题型四】规律探究题 【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 模型1：非负性模型 口诀：若 + |b| + c² = 0，则 a=0, b=0, c=0。 看到“几个非负数相加等于0”，立刻令每个部分等于0，列方程组求解。 常见的三种非负数：算术平方根 （a≥0）、绝对值 |a|、平方 a²。 【例1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，则______，______，______． 模型2：平方根性质模型 要点：正数a的平方根是 ±，它们互为相反数；即若x是a的一个平方根，则-x也是。 已知一个平方根，另一个就是它的相反数；已知两个平方根互为相反数，可列方程求未知数。 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 模型3：实数估算模型 步骤：找到相邻的两个完全平方数 a² < N < b²，确定 a < < b。 第一步：找完全平方数夹逼；第二步：确定整数部分；第三步：小数部分 = 原数 - 整数部分。 【例3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 模型4：数轴化简绝对值模型 步骤：先根据数轴判断每个绝对值内式子的正负，再根据 |x|=x（x≥0）或|x|=-x（x<0）去绝对值。 第一步：在数轴上标出各点位置；第二步：判断每个绝对值内式子的正负；第三步：去绝对值符号，合 并同类项。 【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是___________． 模型5：开方运算模型 核心公式：()²=a（a≥0）；=|a|；()³=a；=a；=-。 看到“先开方再平方”或“先平方再开方”，先判断被开方数的正负，再套用对应公式。 【例5】下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【例6】下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【例7】（25-26七年级下·吉林·期末）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 序号 技巧名称 具体说明 1 审题先看符号 题目写 还是 ±？ 只表示算术平方根（唯一非负值）；± 才表示两个平方根。看错符号全盘皆错。 2 先写绝对值 凡是遇到 形式，先写出 |a|，再根据a的正负决定去掉绝对值后的结果。切忌直接写a或-a。 3 无理数看本质 判断无理数不能只看“有没有根号”。先化简，再看最终结果是否为无限不循环小数。带根号但开得尽的（如=4）是有理数。 4 负数有立方根无平方根 看到负数，立刻反应：没有平方根（也没有算术平方根），但有唯一的负立方根。 5 实数比大小用平方法 比较两个正数的大小，可比较它们的平方：平方大的原数大。如比较和3，比较7和9即可。 6 绝对值化简先定号 数轴题化简绝对值，先在数轴上确定各数正负及大小关系，判断每个绝对值内式子的正负，再去符号。 7 非负性“零值模型” 看到 +|b|+c²=0 类等式，直接令每部分为0列方程组，这是必考套路。 8 被开方数非负 含的式子有意义的条件是a≥0；若同时有和，则a必须同时满足a≥0和-a≥0，即a=0。 9 估算先夹逼 估算无理数范围时，找相邻完全平方数（或完全立方数）进行夹逼，不要猜。 10 结果检查 运算结果若是开方形式，检查被开方数是否非负；若是绝对值化简，检查去符号后是否改变了正负方向。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(9类) 公式清单(8类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记作 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0，即 =0。 ★ 重要性质：双重非负性：被开方数 a≥0；算术平方根 ≥0。二者缺一不可。 知识点02 平方根 如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。 正数a的平方根记作 ±。求一个数a的平方根的运算叫做开平方。 正数有两个平方根，它们互为相反数（如9的平方根是±3）； 0的平方根是0；负数没有平方根（因 为任何实数的平方都不可能是负数）。 知识点03 立方根 如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根）。 a的立方根记作 。求一个数的立方根的运算叫做开立方。 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数（即任意负数都有立方根）；0的立方根是0。 ★ 重要公式： = -，即负数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数。 知识点04 无理数 无限不循环小数叫做无理数。 开方开不尽的数，如 、、 等； 含有π的数，如 π、、2π+1 等； 有一定规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 知识点05 实数的定义 有理数和无理数统称为实数。 按定义分类：实数分为有理数（正有理数、0、负有理数）和无理数（正无理数、负无理数）。 按大小分类：实数分为正实数、0、负实数。 知识点06 实数与数轴 实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 知识点07 实数的性质 数a的相反数是 -a（a为任意实数）； 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 |a| = a（a>0），|a|=0（a=0），|a|=-a（a<0）； 非零实数a的倒数是 （a≠0）。 知识点08 实数的运算 实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算；正数和0可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算。有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用 编号 考点内容 考查频率 常见考查方式 考点1 算术平方根的概念与双重非负性 高频 给定含的式子有意义的条件；的非负性应用 考点2 平方根的概念与性质 高频 正数有两个平方根；负数无平方根；求一个数的平方根 考点3 立方根的概念与性质 中频 任意实数都有立方根；=-的应用 考点4 无理数的识别 高频 在一组数中判断哪些是无理数 考点5 实数的分类 中频 按定义或大小对实数进行分类 考点6 实数与数轴的一一对应 中频 数轴上表示无理数；利用数轴比较大小 考点7 实数的相反数与绝对值 高频 求实数的相反数；化简含绝对值的实数式子 考点8 实数的大小比较 中频 平方法、立方法、数轴法比较实数大小 考点9 实数的运算与估算 高频 简单实数运算；估算无理数的大致范围 序号 公式 适用条件 说明 1 ()² = a a ≥ 0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 2 = |a| a为任意实数 平方的算术平方根等于它的绝对值 3 ()³ = a a为任意实数 一个数的立方根的立方等于它本身 4 = a a为任意实数 立方的立方根等于它本身 5 = - a为任意实数 负数的立方根等于相反数的立方根的相反数 6 若 x² = a (a≥0)，则 x = ± a ≥ 0 已知平方求原数（平方根） 7 若 x³ = a，则 x = a为任意实数 已知立方求原数（立方根） 8 ≥ 0 且 a ≥ 0 a ≥ 0 算术平方根的双重非负性 辨析1：算术平方根 vs 平方根 对比项 算术平方根 平方根 ± 定义 正数x的平方等于a，则正数x叫a的算术平方根 数x的平方等于a，则x叫a的平方根 结果个数 正数只有1个（非负的那个） 正数有2个，互为相反数 符号表示 ± 特殊数0 = 0 0的平方根也是0 负数 无意义（负数无算术平方根） 负数没有平方根 辨析2：()² vs 对比项 ()² 运算顺序 先开方，再平方 先平方，再开方 适用条件 必须 a ≥ 0 a为任意实数 结果 等于a本身 等于|a|，要分a>0、a=0、a<0讨论 举例 ()² = 5 ²) = = 3 = |-3| 辨析3：平方根 vs 立方根 对比项 平方根 立方根 根指数 2，通常省略不写 3，不能省略 被开方数条件 a ≥ 0 a为任意实数 正数的结果 有两个，互为相反数 有一个，是正数 负数的结果 不存在 有一个，是负数 0的结果 0 0 辨析4：有理数 vs 无理数 对比项 有理数 无理数 本质 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 能否写成分数 能（两个整数之比） 不能 常见举例 整数、分数、有限小数、循环小数 、π、0.1010010001… 带根号的数 =2是有理数 是无理数（开方开不尽） 【题型一】求算术平方根、平方根、立方根 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】0.04 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：0.04． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 【答案】0.4 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为 0.4． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）计算：_________ ． 【答案】 【详解】． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 【答案】 【详解】解：， ∵ = ， = ， ∴的平方根为． 即的平方根为． 故答案为：． 【题型二】无理数的识别 【例2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，中，只有是无理数，其余均为有理数， 故选A． 【变式2-2】（2025-2026八年级上上海市浦东新区几校期中）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D．0.333… 【答案】C 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、0.333…是有限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式．   选项A：，是有理数；   选项B：为分数，是有理数；   选项C：，∵是无理数，∴是无理数；   选项D：2，是有理数．   故选C． 【题型三】实数的相反数与绝对值 【例3】实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 【变式3-1】的相反数为________． 【答案】 【详解】解：的相反数为， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·单元复习）的相反数是__；绝对值是__． 【答案】 【详解】解：的相反数是；绝对值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义和绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 【变式3-3】已知与互为相反数，则的值是__________． 【答案】5 【详解】解：∵与互为相反数， ∴和互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【题型四】实数的简单运算 【例4】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【答案】或 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【答案】4 【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则， c、d互为相反数，则， 的绝对值为，则，即， 的算术平方根是8，则，， ． 【题型一】混淆算术平方根与平方根 【例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是； D．的算术平方根是5 【答案】D 【详解】解：A、先计算的平方根是，不是，该选项错误； B、负数有立方根，例如的立方根是，该选项错误； C、64的立方根是4，不是，该选项错误； D、先计算的算术平方根是5，该选项正确． 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的是（    ） A．2是的算术平方根 B．是16的算术平方根 C．的平方根是 D．1的平方根是它本身 【答案】C 【详解】解：A、没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； B、是16的算术平方根，不是16的算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、的平方根是，原说法正确，符合题意； D、1的平方根是，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【题型二】误认为“带根号的数都是无理数” 【例2】（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵   是无理数，∴ 是无理数； ∵ 是分数，∴   是有理数； ∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∴ 无理数有 3 个， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）在数字 （位数无限且相邻两个 2 之间依次增加 1 个 1）， 中，无理数的个数是（　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【详解】解：是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 含无理数π，是无理数； 是无限循环小数，是有理数； 0是整数，是有理数； （位数无限且相邻两个 2 之间依次增加 1 个 1）是无限不循环小数，是无理数； ，是无理数； ，是有理数； ∴无理数有 、（位数无限且相邻两个 2 之间依次增加 1 个 1）、，共3个． 故选：B． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【答案】3 【详解】解：是无理数；是整数，是有理数；0是整数，是有理数；π是无理数；是循环小数，是有理数；是分数，是有理数；是有限小数，是有理数；，是有理数；（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数．因此无理数有3个． 故答案为：3． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 【答案】5 【详解】解：在中，无理数有、、、、，共5个． 故答案为：5． 【题型三】负数没有平方根，但有立方根 22．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意； D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 23．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 24．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 【题型一】非负性综合求值 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 【变式1-2】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，． ∴，， ，． ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 【题型二】无理数的估算（整数部分与小数部分） 【例2】（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计：_____． 【答案】5.1 【详解】解：由题意，取则， 代入公式，得． 故答案为：5.1． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 【题型三】实数与数轴 【例3】（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【答案】3 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． 【变式3-4】阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）   （2），   （3）， 在数轴上表示为点，如图所示： 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， 【题型四】规律探究题 【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 模型1：非负性模型 口诀：若 + |b| + c² = 0，则 a=0, b=0, c=0。 看到“几个非负数相加等于0”，立刻令每个部分等于0，列方程组求解。 常见的三种非负数：算术平方根 （a≥0）、绝对值 |a|、平方 a²。 【例1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，则______，______，______． 【答案】 2 0 1 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 模型2：平方根性质模型 要点：正数a的平方根是 ±，它们互为相反数；即若x是a的一个平方根，则-x也是。 已知一个平方根，另一个就是它的相反数；已知两个平方根互为相反数，可列方程求未知数。 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【答案】或 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， 或， 故答案为：或 模型3：实数估算模型 步骤：找到相邻的两个完全平方数 a² < N < b²，确定 a < < b。 第一步：找完全平方数夹逼；第二步：确定整数部分；第三步：小数部分 = 原数 - 整数部分。 【例3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 模型4：数轴化简绝对值模型 步骤：先根据数轴判断每个绝对值内式子的正负，再根据 |x|=x（x≥0）或|x|=-x（x<0）去绝对值。 第一步：在数轴上标出各点位置；第二步：判断每个绝对值内式子的正负；第三步：去绝对值符号，合 并同类项。 【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是___________． 【答案】 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 模型5：开方运算模型 核心公式：()²=a（a≥0）；=|a|；()³=a；=a；=-。 看到“先开方再平方”或“先平方再开方”，先判断被开方数的正负，再套用对应公式。 【例5】下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．原式，该项错误； B．原式，该项错误； C．原式，该项错误； D．原式，该项正确． 【例6】下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 【例7】（25-26七年级下·吉林·期末）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，故A、B均错误． ，故，C错误． ，D正确． 序号 技巧名称 具体说明 1 审题先看符号 题目写 还是 ±？ 只表示算术平方根（唯一非负值）；± 才表示两个平方根。看错符号全盘皆错。 2 先写绝对值 凡是遇到 形式，先写出 |a|，再根据a的正负决定去掉绝对值后的结果。切忌直接写a或-a。 3 无理数看本质 判断无理数不能只看“有没有根号”。先化简，再看最终结果是否为无限不循环小数。带根号但开得尽的（如=4）是有理数。 4 负数有立方根无平方根 看到负数，立刻反应：没有平方根（也没有算术平方根），但有唯一的负立方根。 5 实数比大小用平方法 比较两个正数的大小，可比较它们的平方：平方大的原数大。如比较和3，比较7和9即可。 6 绝对值化简先定号 数轴题化简绝对值，先在数轴上确定各数正负及大小关系，判断每个绝对值内式子的正负，再去符号。 7 非负性“零值模型” 看到 +|b|+c²=0 类等式，直接令每部分为0列方程组，这是必考套路。 8 被开方数非负 含的式子有意义的条件是a≥0；若同时有和，则a必须同时满足a≥0和-a≥0，即a=0。 9 估算先夹逼 估算无理数范围时，找相邻完全平方数（或完全立方数）进行夹逼，不要猜。 10 结果检查 运算结果若是开方形式，检查被开方数是否非负；若是绝对值化简，检查去符号后是否改变了正负方向。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $