第十九章二次函数和反比例函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北京版

第十九章 二次函数和反比例函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 二次函数 1.1 二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫作二次函数，其中 、 分别是二次项、一次项的系数， 是常数项。 示例：、 是二次函数； 是一次函数，不是二次函数。 1.2 二次函数自变量的取值范围 通常，二次函数 的自变量 是全体实数。如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量，那么它的取值范围就受到实际意义的限制。 示例：圆的面积 中自变量 ；矩形面积 中 。 2. 二次函数 的图象 2.1 抛物线及其顶点 二次函数 的图象是通过原点，分布在第一、第二象限，且以 轴为对称轴的一条曲线，这条曲线叫作抛物线。它与对称轴的交点叫作抛物线的顶点。 图1：二次函数 的图象 2.2 二次函数 的图象 通过“探索”可知： 取不同的值时，二次函数 的图象都是通过原点，以 轴为对称轴的抛物线，并且和抛物线 比较，当 取不同的值时，能引起抛物线开口方向的改变： 的取值 抛物线 的开口方向 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 对于抛物线 ， 越大，抛物线的开口越小。 示例：、、 的开口依次变小； 的开口向下。 2.3 二次函数 的图象 一般地，当 时，二次函数 的图象可以看作是由二次函数 的图象向上平移 个单位长度得到的，当 时，二次函数 的图象可以看作是由二次函数 的图象向下平移 个单位长度得到的，它的对称轴是 轴，顶点坐标是。 示例： 的图象由 向上平移 个单位得到，顶点为 。 2.4 二次函数 的图象 一般地，当 时，二次函数 的图象可以看作是由二次函数 的图象向右平移 个单位长度得到的，当 时，二次函数 的图象可以看作是由二次函数 的图象向左平移 个单位长度得到的，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是。 示例： 的图象由 向右平移 个单位得到，顶点为 ； 向左平移 个单位，顶点为 。 2.5 二次函数 的图象 一般地，二次函数 的图象可以看作是由函数 的图象经过向右（或左）、向上（或下）平移得到的一条抛物线，平移的方向、距离由 、 的值决定，它有如下的特点： 1. 当 时，抛物线的开口向上；当 时，抛物线的开口向下。 1. 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是。 示例： 的图象由 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，开口向下，对称轴为直线 ，顶点为 。 2.6 配方法求对称轴和顶点坐标 一般地，通过配方把二次函数的表达式 变形为 的形式，就能得到它的图象的对称轴和顶点坐标。 因此，二次函数 图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 示例：，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 2.7 抛物线 由于二次函数 的图象是抛物线，我们通常把“二次函数 ”称为“抛物线 ”。 2.8 确定二次函数的表达式 在解决有关二次函数的问题时，往往要先确定二次函数的表达式。确定二次函数表达式的关键就是确定表达式中、、 的值。 示例：已知二次函数图象的顶点坐标为 ，可设 ，再把图象经过的点 代入，求得 。 3. 二次函数的性质 3.1 二次函数图象的开口方向 一般地，二次函数 的图象的开口方向是由 的符号决定的，当 或 时，其图象分别如图 19-18(1)(2) 所示。 图2：二次函数图象的开口方向（ 与 ） 3.2 二次函数的增减性与最值 观察抛物线的开口方向和函数值的变化趋势，对于二次函数 ，其性质可归纳为： 的符号 随 的增大而减小时 的取值范围 随 的增大而增大时 的取值范围 取得最大值或最小值时 的值 当 时， 有最小值 当 时， 有最大值 示例：，顶点为 ，开口向下；当 时 随 的增大而增大，当 时 随 的增大而减小；当 时，函数有最大值 。 4. 二次函数的应用 4.1 二次函数图象与 轴的交点 二次函数 的图象与 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点和没有交点。与此相对应，一元二次方程 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根。 判别式 图象与 轴的交点 一元二次方程的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 示例： 中 ，图象与 轴没有交点。 4.2 抛物线与 轴交点的横坐标的意义 抛物线 与 轴交点的横坐标是使二次函数 的值为零时自变量 的值。也就是说，二次函数 的图象和 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解。 4.3 图象法求一元二次方程的近似解 利用二次函数 的图象求一元二次方程 的解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解。 示例：用图象求 的近似解：画 的图象，一个根在 与 之间，取 时 更接近 ，故近似解为 。 5. 反比例函数 5.1 反比例关系 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母 和 表示两个相关联的量，用 表示它们的积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示： 示例：一本书每天读的页数 与完成阅读的时间 满足 ，二者成反比例关系。 5.2 反比例函数的定义 一般地，形如 的函数叫作反比例函数。其中，反比例函数的自变量 的取值范围是不等于 的一切实数。 示例：、 是反比例函数； 是一次函数，不是反比例函数。 6. 反比例函数的图象、性质和应用 6.1 反比例函数的图象——双曲线 反比例函数 的图象是分布在第一、第三象限的两条曲线，这样的两条曲线叫作双曲线。 图3：反比例函数 的图象 6.2 反比例函数的图象特征 1. 当 时，反比例函数 的图象是分布在第一、第三象限的双曲线；双曲线在各自象限内都向右、向下延伸，但不与坐标轴相交。 1. 当 时，反比例函数 的图象是分布在第二、第四象限的双曲线；双曲线在各自象限内都向右、向上延伸，但不与坐标轴相交。 6.3 反比例函数的性质 由此得到反比例函数 的性质如下： 的符号 图象所在象限 增减性 第一、第三象限 在各自象限内， 的值随 值的增大而减小 第二、第四象限 在各自象限内， 的值随 值的增大而增大 图4：反比例函数 的图象（ 与 ） 示例：反比例函数 （）的图象在第一、第三象限，在每个象限内 随 的增大而减小。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 二次函数系数与图象的对应关系 开口方向由 定： 开口向上， 开口向下， 越大开口越小； 是图象与 轴交点的纵坐标，交点为 ； 与 共同决定对称轴 的位置，“左同右异”——对称轴在 轴左侧时 、 同号，在右侧时异号。 1.2 抛物线的对称性 抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称；若两点的横坐标分别为 、，则对称轴为 。 1.3 图象平移规律（左加右减，上加下减） 由 平移得到： 向右、 向左平移 个单位； 向上、 向下平移 个单位。 1.4 交点式（两根式） 若抛物线与 轴交于 、，则表达式可设为 。 1.5 反比例函数中 的几何意义 双曲线上任意一点 向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ； 可由 直接求。 1.6 反比例函数的对称性 双曲线关于原点成中心对称，关于直线 和 成轴对称；反比例函数 与正比例函数 的图象相交时，交点关于原点对称。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求二次函数对称轴和顶点坐标 先化 为 得顶点 ，或直接算 再代入求纵坐标。如 ，顶点 ，对称轴为直线 。 2.2 待定系数法求二次函数表达式 已知三点用一般式 ；已知顶点或最值用顶点式 ；已知与 轴交点用交点式 。如已知顶点 且过 ，设 ，代入解得 。 2.3 求二次函数最大值或最小值 配方法或公式法求顶点，顶点纵坐标即最值；若自变量有范围限制，最值需在端点与顶点中比较。如 在 上，顶点 在范围内，最大值为 。 【使用提醒】自变量有取值范围时，先判断顶点横坐标是否在范围内，不在则最值在端点取得。 2.4 求反比例函数表达式 设 ，把已知点坐标代入求 （）。如过点 ，则 ，表达式为 。 2.5 用图象法求一元二次方程的近似解 画二次函数图象，找图象与 轴交点的位置，用计算器在交点附近取值使 变号，取使 更接近 的 。如 在 与 之间的根约为 。 2.6 比较二次函数图象上各点的函数值大小 先确定对称轴：开口向上时，横坐标离对称轴越远，函数值越大；开口向下时，横坐标离对称轴越远，函数值越小。如 中 与 关于对称轴 对称，函数值相等。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方求顶点 二次项系数不是 先提出来，再配“一次项系数一半的平方” 快速求 反比例函数 ，任一点横纵坐标相乘即得 过点 ，则 求图象与坐标轴交点 与 轴交点令 ，与 轴交点令 与 轴交于 判断点是否在图象上 把点的坐标代入表达式，看等式是否成立 点 不满足 ，不在图象上 4. 常见考试模型 4.1 抛物线形拱桥 / 喷泉模型 公式：以拱顶（或喷口）为原点建立直角坐标系，设 ，用已知点定 ，再代入求解。 限定：建立的坐标系要使表达式最简，注意水位、高度的正负号。 示例：拱顶离水面 、水面宽 ，设 ，过 得 ；水面降 时令 解得 ，宽度增加 。 4.2 最大利润模型 公式：利润 （售价 进价） 销量，销量用售价的一次式表示后得二次函数，配方求最大值。 限定：售价须符合题设范围，最值点必须在范围内。 示例：，当 时利润最大为 元。 4.3 靠墙围栏面积最大模型 公式：一面靠墙用长 的篱笆围矩形，设垂直于墙的边为 ，则 ，配方求最大。 限定：边长须为正，最值点须在取值范围内。 示例：，，当 时面积最大为 。 4.4 二次函数与一次函数（反比例函数）图象交点 公式：联立两个函数表达式解方程组，交点个数看判别式 。 限定：反比例函数 ；交点横坐标代入原式求纵坐标。 示例：求 与 的交点，联立解得交点横坐标 或 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参数二次函数漏了二次项系数不等于 0 典例：若函数 是二次函数，求 的取值范围。 错解：因为它是二次函数，最高次数是 ，所以 可取任意实数。 正解：由二次函数的定义，二次项系数不能为 ，即 ，所以 。 原因：概念理解不完整。学生只看到“最高次数是 2”这个显性条件，忽略了“二次项系数不等于 0”这个隐性条件。二次函数的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 2、二次项系数不为 0；当 时二次项消失，函数退化为一次函数。 易错点 2：求二次函数最值时忽略自变量的取值范围 典例：求二次函数 在 时的最大值和最小值。 错解：配方得 ，顶点为 ，所以最小值为 ，最大值为 。 正解：配方得 ，对称轴为 ，顶点横坐标 不在 内。函数在 上 随 的增大而减小，所以当 时取最大值 ，当 时取最小值 。 原因：忽略隐含条件。求最值不能只盯着顶点：当顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，函数在此区间上是单调的，最值在端点处取得。学生潜意识里把“二次函数最值就是顶点纵坐标”当成万能结论，缺少“先判断顶点是否在范围内”这一步。 易错点 3：判断增减性时未先确定对称轴位置 典例：二次函数 ，比较 与 时的函数值大小。 错解：因为开口向上， 随 的增大而增大，所以 时的函数值大于 时的函数值。 正解：配方得 ，对称轴为 。点 与 关于对称轴对称，所以它们的函数值相等。 原因：思维定式。学生误以为开口向上的抛物线全程递增，忽略了“增减性以对称轴为分界”：开口向上的抛物线在对称轴左侧递减、右侧递增。凡判断函数值大小或增减性，都要先求对称轴，再判断点与对称轴的相对位置。 易错点 4：反比例函数增减性漏掉“在每个象限内” 典例：反比例函数 （）， 随 的增大如何变化？ 错解： 时， 随 的增大而增大。 正解：当 时，在每个象限内， 的值随 值的增大而增大；不能去掉“在每个象限内”，因为跨象限时（如从第二象限到第四象限）这一结论不成立。 原因：漏掉关键限定。反比例函数的图象是两条不连续的双曲线，增减性只能在每个象限内分别讨论。学生把一次函数“全程增减”的经验迁移过来，忽略了反比例函数图象“断”的特点。凡表述反比例函数增减性，必须带上“在每个象限内”。 易错点 5：判断抛物线与 轴交点个数时混淆 的情形 典例：判断抛物线 与 轴的交点个数。 错解：，所以图象与 轴没有交点。 正解：，抛物线与 轴有一个交点（顶点 恰好在 轴上，即抛物线与 轴相切）。 原因：概念混淆。 对应一元二次方程“有两个相等的实数根”，反映到图象上是抛物线与 轴只有一个公共点，而不是没有交点。学生把 和 两种情形记混，需牢记“交点个数＝方程根的个数”，、、 分别对应两个、一个、零个交点。 易错点 6：反比例函数中 的符号与象限对应关系记反 典例：反比例函数 的图象经过点 ，则其图象位于哪两个象限？ 错解：因为 ，，所以图象位于第一、第三象限。 正解：，当 时，反比例函数的图象位于第二、第四象限。 原因：符号与位置对应关系记反。 时图象位于第一、第三象限（、 同号）， 时图象位于第二、第四象限（、 异号）。学生求对 却判断错象限，说明对“反比例函数 中 、 同号与异号”这一图象本质理解不牢。 学科网（北京）股份有限公司 $