第十一章实数和二次根式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

第十一章 实数和二次根式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平方根 1.1 平方根的定义 一般地，如果一个数 的平方等于 ，那么这个数 就叫作 的平方根。也就是，如果 ，那么 叫作 的平方根。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方与加、减、乘、除、乘方一样，是一种运算，它的运算结果是平方根。由此可知，开平方与平方互为逆运算。 示例：因为 ，所以 的平方根是 。 1.2 平方根的性质 数的类型 平方根的情况 正数 有两个平方根，它们互为相反数 零 平方根是零 负数 没有平方根 示例： 的平方根是 和 ； 的平方根是 ； 没有平方根。 1.3 算术平方根 正数 的正的平方根叫作 的算术平方根，记作 （读作”二次根号 “）；另一个负的平方根是 的相反数，即 。因此正数 的平方根可以记作 ， 叫作被开方数。规定： 的算术平方根是 。 示例：，，。 注意：算术平方根是平方根中”正”的那一个（ 除外），一个正数只有一个算术平方根。 2. 立方根 2.1 立方根的定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，那么这个数 就叫作 的立方根。也就是，如果 ，那么 叫作 的立方根，记作 （读作”三次根号 “）， 叫作根指数， 叫作被开方数。求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方的运算结果是立方根。 示例：因为 ，所以 。 2.2 立方根的性质 数的类型 立方根的情况 正数 立方根是正数 零 立方根是零 负数 立方根是负数 示例：，，。 3. 无理数 3.1 无理数的定义 无限不循环小数叫作无理数。有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，有限小数或无限循环小数也都是有理数。由此可见，无限不循环小数不是有理数。 示例：， 都是无理数；， 都是有理数。 4. 实数 4.1 实数的定义与分类 有理数和无理数统称为实数。 分类 细分 有理数 正有理数、零、负有理数（有限小数或无限循环小数） 无理数 正无理数、负无理数（无限不循环小数） 示例：，， 是有理数；，， 是无理数。 4.2 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。这说明，实数和数轴上的点是一一对应的。 示例：边长为 的正方形的对角线长为 ，据此可在数轴上作出表示 的点。 4.3 实数的大小比较 任何两个实数都是可以比较大小的，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 示例：因为 ，，所以 。 4.4 实数的运算 有理数的运算法则和运算律对实数同样适用。 示例：；绝对值等于 的实数是 。 5. 二次根式及其性质 5.1 二次根式的定义 一般地，式子 叫作二次根式。在实数范围内，由于负数没有平方根，所以 没有意义。也就是说，二次根式 中的字母 只能表示大于或等于零的实数。 示例：，， 都是二次根式。 5.2 二次根式的性质一 用语言表述为：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。 示例：，。 5.3 二次根式的性质二 用语言表述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即当 时，；当 时，。 示例：；。 6. 二次根式的乘除法 6.1 二次根式的乘法法则 用语言表述为：两个数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根（被开方数非负）。把它反过来写，得 ，可用来化简二次根式。 示例：；。 6.2 二次根式的除法法则 用语言表述为：两个数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根（被开方数非负，分母不为 ）。 示例：。 6.3 最简二次根式 如果一个二次根式满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，含字母的因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。那么把这个二次根式叫作最简二次根式。一般地，二次根式运算的结果应化成最简二次根式。 示例：， 是最简二次根式， 不是。 6.4 分母有理化 把分母中的根号化去，叫作分母有理化。 示例：。 7. 二次根式的加减法 7.1 同类二次根式 一般地，将几个二次根式分别化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，就把这几个二次根式叫作同类二次根式。 示例：，，所以 和 是同类二次根式。 7.2 二次根式的加减运算 二次根式的加减运算实际上就是先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 由平方与开平方互逆求平方根 若 ，则 ；反过来 。求”谁的平方等于 “直接写成 。 1.2 立方根的符号 ，一个数的立方根的符号与原数相同。求负数的立方根可先求其绝对值的立方根，再添负号。 1.3 两个重要性质的区别 要先保证 ； 对任意实数 都成立、结果非负：当 时 ，当 时 。 【使用提醒】 化简必须先看 的符号，不能直接写成 。 1.4 乘法逆用化简 ，即把被开方数中的完全平方因数”开”出来；同理 。 1.5 分母有理化的两种基本型 ；，，依据是 。 【使用提醒】分母含 时同乘其共轭因式 ，注意 。 1.6 非负性之和为零 若 ，则 。几个非负数的和为 ，当且仅当每个非负数都等于 。 1.7 实数范围内分解因式 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平方根、算术平方根、立方根 先想”谁的平方（立方）等于它”，由乘方倒推开方：求平方根写成 ，求算术平方根只取非负的一个，求立方根符号随原数。如 的平方根是 ，算术平方根是 ；。 2.2 判断有理数与无理数 看它能否化为有限小数或无限循环小数：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数；无限不循环小数（如 、 及”有规律但不循环”的小数）是无理数。如 是无理数， 是有理数。 2.3 二次根式化简的步骤 把被开方数（式）拆成”完全平方因数 其余”，用 把完全平方部分开出来，直到被开方数不含能开得尽方的因数或因式。如 。 2.4 分母有理化的步骤 找出使分母开尽方（或构成平方差）的因式，分子分母同乘该因式，再化简。如 ；。 2.5 二次根式加减的步骤 先把每个二次根式都化成最简二次根式，再找被开方数相同的同类二次根式，合并系数、根式不变。如 。 2.6 比较实数大小的步骤 同号比：正数可平方后比较被开方数，负数先比绝对值再反号；异号：正数大于 大于负数。如 得 ； 得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 夹逼法估计无理数 找相邻整数 ， 使 ，则 ； 常见平方数速记 ，，，，， 与 快速判断 先取绝对值（看 范围）； 先保证 ； 无意义 乘法先化简再相乘 先各自化简、约去能开尽方的因数，再相乘 平方比较二次根式 两个正数的二次根式，平方后比较被开方数 与 ：，故 4. 常见考试模型 4.1 二次根式有意义求参数范围 公式： 有意义要求 ； 在分母（如 ）要求 ；根号外另有分母时再补分母 。 限定：多个二次根式或多个条件时，取各条件的交集。 示例：如 有意义需 ，即 。 4.2 非负性之和为零求值 公式：若 ，则 ，再代入求代数式的值。 限定：必须是”非负数之和为零”的结构，各项都非负。 示例：如 ，则 ，。 4.3 化简求值模型 公式：先按性质化简（、乘法逆用、分母有理化），再代值计算。 限定：化简时注意字母的取值范围决定 的符号。 示例：如 时 。 4.4 分母有理化求值模型 公式：形如 的式子，分子分母同乘共轭因式 ，化为 。 限定：，且所乘因式不能为 。 示例：如 时，可先分母有理化再代入求值。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆”平方根”与”算术平方根”， 写成 典例：求 的值。 错解：。 正解：。 表示 的算术平方根，是非负数； 的平方根才是 ，记作 。 原因：概念混淆。“平方根”与”算术平方根”是两个概念：（二次根号 ）专指算术平方根，结果非负；“求 的平方根”才写成 。学生看到根号就下意识配”“，把符号 当成”平方根”的记号，忘了它其实表示”正的平方根”。 易错点 2：把”负数没有平方根”误记成”负数没有立方根” 典例：求 的值。 错解：负数没有立方根，所以 无意义。 正解：因为 ，所以 。 原因：概念记忆错位。平方根与立方根的性质相反：负数没有平方根，但负数有立方根，且立方根的符号与原数相同（）。学生把两者捆绑记忆，凭”负数不能开方”的模糊印象一并否定。 易错点 3： 化简不讨论 的符号，直接写成 典例：化简 和 。 错解：；。 正解：；因为 ，，所以 。 原因：忽略 中绝对值的作用，把”开方”与”平方”简单抵消。当被开方数中的 为负（或含未知量不能确定符号）时，结果应为 而不是 。学生只记 这一半，丢了 时 的另一半。 易错点 4：二次根式有意义条件遗漏，被开方数不为负 典例：求使 有意义的 的取值范围。 错解： 对任意实数 都有意义。 正解：二次根式要求被开方数非负，即 ，所以 。 原因：条件遗漏。二次根式 有意义的隐含前提是 ，学生求字母范围时只盯着”式子的形式”，忽略了”根号下必须非负”这一前提；遇到根号在分母（如 ）时更易漏掉 （分母不能为 ）。 易错点 5：认为”带根号的数都是无理数” 典例：判断 、 是不是无理数。 错解：带根号的数都是无理数，所以 、 都是无理数。 正解：、，都是有理数。无理数是指无限不循环小数，与”带不带根号”无关。 原因：以”形式”代替”本质”判断。无理数的定义是”无限不循环小数”，带根号的数若开方能开尽（如 、）仍是有理数；反过来 不带根号却是无理数。学生被根号的”外形”迷惑，没抓住”是否无限不循环”这一本质。 易错点 6：二次根式加减直接合并被开方数 典例：计算 和 。 错解：；。 正解： 与 不是同类二次根式，不能合并， 已是最简结果；。 原因：错误类比”合并同类项”，把根号当成”公因式”直接相加被开方数。二次根式加减必须先把每个根式化成最简二次根式，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并系数、根式不变。 学科网（北京）股份有限公司 $