第二章一元一次方程（期中知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

第二章 一元一次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 用字母表示数 1.1 代数式 、、、、、、…这样的式子，称为代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 示例： 、、、 都是代数式；、 也是代数式。 1.2 列代数式 把问题中涉及的数量关系用代数式来表示，这就是列代数式。 示例： “ 与 两数和的平方”列代数式为 ；“ 与 两数的平方差”列代数式为 。 1.3 代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 示例： 当 时，。 注意： 求代数式的值时，负数、分数代入时一般要加括号，如 代入 得 。 2. 整式 2.1 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 一个单项式中所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数。 示例： 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 。 2.2 多项式 由几个单项式的和组成的代数式叫作多项式。每个单项式叫作多项式的项。其中不含有字母的项叫作常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式，多项式中，次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数。 示例： 是二次三项式； 是三次二项式。 2.3 整式 单项式和多项式统称为整式。 示例： 、 是单项式，、 是多项式，它们都是整式。 2.4 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫作同类项。几个常数项也是同类项。 示例： 、、 是同类项； 与 是同类项； 与 不是同类项。 2.5 合并同类项 把几个同类项合并成一项，叫作合并同类项。 合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 示例： 。 3. 等式与方程 3.1 等式 用“”来表示相等关系的式子，叫作等式。在等式中，等号的左、右两边的式子，分别叫作这个等式的左边、右边。 示例： 、 都是等式。 3.2 方程 含有未知数的等式叫作方程。 示例： 、 是方程； 是算式，不是方程。 3.3 方程的解 一般地，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫作方程的根。 求得方程的解的过程，叫作解方程。 示例： 是方程 的解。 4. 等式的基本性质 4.1 性质 1 等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立。 用式子表示：如果 ， 表示任意的数或整式，那么 （或 ）。 4.2 性质 2 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是 ），所得的等式仍然成立。 用式子表示：如果 ， 表示任意的数，那么 ；或如果 ，，那么 。 5. 一元一次方程 5.1 一元一次方程 这些方程都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 ，像这样的方程，叫作一元一次方程。 示例： 、、 都是一元一次方程。 5.2 最简方程 形如 （）（其中 是未知数）的方程称为最简方程。 根据等式的基本性质 ，在方程两边都除以 ，可求出它的解 。 5.3 移项 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。移项是解方程时经常用到的一种重要变形。 示例： 方程 移项，得 。 5.4 解一元一次方程的主要步骤 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 。针对具体情况，选择恰当的顺序进行计算。 5.5 一元一次方程的一般形式 通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，把方程化为 （）的形式，我们把它叫作一元一次方程的一般形式。 5.6 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程。如 、、。 根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，把含有绝对值的方程转化为一元一次方程求解。 示例： 解方程 ，得 或 ，解得 或 。 6. 列方程解决实际问题 6.1 列方程解决实际问题的主要步骤 认真读题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；设出未知数，用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系；根据等量关系列出方程；求出所列方程的解；检验方程的解是否符合问题的实际意义；写出答案。 注意： 列方程时要注意统一单位；解出方程后既要检验它是否满足方程，又要检验是否符合问题的实际意义。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同类项的判定 同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关；所有常数项都是同类项。如 与 是同类项。 1.2 代数式求值的整体代入 当已知某个式子的值时，可把该式子看作一个整体直接代入，不必逐个求出字母的值。如已知 ，则 。 1.3 含绝对值方程解的个数 方程 ：当 时，，有两个解；当 时，，只有一个解；当 时，无解。 1.4 两个非负式子之和为 0 若 ，则 且 。如由 ，得 ，。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解一元一次方程的步骤 去分母（两边同乘各分母的最小公倍数）→ 去括号 → 移项（变号）→ 合并同类项 → 系数化为 。如解 ，先两边同乘 去分母。 2.2 检验一个数是不是方程的解 把这个数分别代入方程的左、右两边，若左边 右边，则是方程的解；否则不是。如 代入 ，左边 、右边 ，故 不是它的解。 2.3 列方程解应用题的步骤 审（找等量关系）、设（设未知数）、列（列方程）、解（解方程）、验（检验合理性）、答（写答案）。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 去括号 括号前是“”，直接去括号；括号前是“”，括号内每一项都变号 去分母 方程两边同乘各分母最小公倍数，每一项都要乘 解 时两边同乘 分母化整数 分子、分母同乘 、 等，利用分数的基本性质 系数化为 两边同除以未知数的系数（或同乘系数的倒数） ，得 4. 常见考试模型 4.1 行程问题 公式： 路程 速度 时间；相遇：两路程之和 总路程；追及：快者路程 慢者路程 开始相距路程。 限定： 单位要统一（如把分钟换成小时）。 示例： 通信员以 千米/时追 千米/时的队伍，队伍先走 小时，则 ，解得 （小时）。 4.2 工程问题 公式： 工作总量 工作效率 工作时间；工作总量未给出时常设为 。 限定： 各队工作量之和 总工作量 。 示例： 甲 天、乙 天完成，甲先做 天，则 ，解得 （天）。 4.3 销售利润问题 公式： 利润 售价 进价；售价 标价 折扣；利润率 。 限定： 打折是按标价打折，不是按进价；打折后售价低于进价则亏损。 示例： 按进价提高 标价再打 折仍盈利 元，则 ，解得 （元）。 4.4 储蓄问题 公式： 利息总额 本金 利率 存期；本利和 本金 利息总额。 限定： 利率与存期对应；不同存期利率不同。 示例： 年期与 年期共 万元，利息共 万元，则 ，解得 （万元）。 4.5 数字问题 公式： 两位数十位为 、个位为 ，则该数 。 限定： 十位数字不能为 。 示例： 个位为 、十位比个位小 ，则该两位数为 。 4.6 和差倍分问题 公式： 抓住“……是……的几倍（多/少）”“……比……多/少”等关键词设元列式。 限定： 验证解的实际意义（人数、件数须为正整数）。 示例： 甲班比乙班多抽 人，甲班剩余是乙班剩余的 倍，则 ，解得 。 4.7 阶梯收费问题 公式： 总费用 各阶梯单价 各阶梯用量之和，分段计算再累加。 限定： 先判断用量落入哪个阶梯区间。 示例： 用水 立方米落入第二阶梯，则 ，解得 （立方米）。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：去分母时漏乘不含分母的项 典例： 解方程 。 错解： 去分母，得 （漏乘了右边的常数项 ），即 ，解得 。 正解： 去分母，方程两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。 原因： 去分母时只乘了含分母的项，忘记方程两边是整体同乘，不含分母的常数项也应乘。纠正要点：去分母是“每一项都乘”各分母的最小公倍数，常数项也不例外。 易错点 2：移项时不变号 典例： 解方程 。 错解： 移项得 （把 从右边移到左边未变号），即 ，。 正解： 移项得 ，即 ，解得 。 原因： 移项的实质是等式两边同时加（减）某一项，项从一边到另一边必须改变符号；学生常“移项忘变号”。纠正要点：牢记“移项必变号”，且移动的是整个项（含符号）。 易错点 3：去括号时括号前是负号，括号内漏变号 典例： 解方程 。 错解： 去括号得 （括号前是负号， 未变号），即 ，。 正解： 去括号得 ，即 ，解得 。 原因： 括号前是“”时，去掉括号后括号内每一项都要变号；学生常只变第一项而漏掉后面的项。纠正要点：括号前是负号，去括号后括号内各项符号全变。 易错点 4：单项式次数漏算指数为 1 的字母 典例： 指出单项式 的系数和次数。 错解： 系数是 ，次数是 （漏算了字母 的指数 ）。 正解： 系数是 ；次数是 （ 的指数 与 的指数 之和）。 原因： 单项式的次数是所有字母的指数之和，学生容易漏掉指数为 的字母（ 即 ）。纠正要点：求次数时把每个字母的指数（包括 ）全部相加。 易错点 5：含绝对值方程漏解 典例： 解方程 。 错解： 由 ，解得 （漏掉 的情况）。 正解： 根据绝对值的意义，得 或 ，分别解得 或 。 原因： 一个正数的绝对值对应两个相反数；学生只考虑正数一侧，漏掉负数一侧的解。纠正要点：解 （）时，务必分 与 两种情况，勿漏解。 易错点 6：方程的解理解不全，漏掉其它解 典例： 判断“方程 的解是 ”是否正确。 错解： 正确，因为 时 。 正解： 不正确。 与 都能使方程左、右两边的值相等，都是方程的解，故方程的解是 或 。 原因： 方程的解是“能使方程成立的未知数的值”，可能有多个；学生以为只要找到一个就算“方程的解”（且是唯一），忽略了其它解。纠正要点：检验并列出所有能使方程成立的未知数的值。 学科网（北京）股份有限公司 $