第二章二次函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第二章 二次函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 对函数的再认识 1.1 函数的概念 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个值，变量 都有唯一确定的值与它对应，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 示例：正方形的面积 是边长 的函数，，对每一个确定的 ， 都有唯一确定的值与之对应。 1.2 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 ，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 时的函数值。 示例：函数 中，当 时，， 就是当 时的函数值。 1.3 函数的表示方法 表示函数的方法主要有表达式法、列表法和图象法三种。 表示方法 特点 表达式法 用数学式子表示两个变量之间的关系，全面、准确地反映对应关系 列表法 用表格列出部分自变量值与对应的函数值，可直接查出对应值 图象法 用图象表示两个变量之间的关系，直观形象地反映变化趋势 示例：书博会各天零售收入用表格表示是列表法；用温度记录仪描出的气温变化曲线表示是图象法； 用数学式子表示是表达式法。 1.4 自变量的取值范围 函数自变量的取值范围，应使函数表达式有意义。在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义。 示例：函数 中分母不为 ，自变量 的取值范围是 的实数；用总长 的篱笆围矩形场地，一边长 的取值范围是 。 注意：函数是分式时，分母不能为 ；含二次根式时，被开方数不小于 ；实际问题还要结合实际意义确定取值范围。 2. 认识二次函数 2.1 二次函数的定义 一般地，形如 （，， 是常数，）的函数叫作 的二次函数。 示例：、、 都是二次函数；正方形面积 与边长 的关系 、圆面积 与半径 的关系 也是二次函数。 注意：二次函数的定义中，二次项系数 ，但一次项系数 和常数项 可以为 。 3. 二次函数的图象与性质 3.1 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。二次函数 的图象也称为抛物线 。 图1：二次函数 的图象 示例：点 在 的图象上，它关于 轴的对称点 也在图象上。 3.2 二次函数 的图象与性质 二次函数 的图象是一条抛物线。抛物线 的对称轴是 轴，它的顶点坐标是原点。当 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 时，它的开口向下，顶点是它的最高点。 示例： 的图象开口向上，顶点 是最低点； 的图象开口向下，顶点 是最高点。 3.3 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线，它与二次函数 的图象形状相同，只是位置不同。将二次函数 的图象上下平移，就可以得到二次函数 的图象。当 时，将二次函数 的图象向上平移 个单位长度，就得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象向下平移 个单位长度，就得到二次函数 的图象。抛物线 的对称轴为 轴，顶点坐标为 。 示例： 的图象可由 的图象向上平移 个单位长度得到，顶点为 ； 的图象向下平移 个单位长度，顶点为 。 3.4 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线，它的形状与二次函数 的图象形状相同，只是位置不同。将函数 的图象左右平移就可以得到函数 的图象。 示例：将 的图象向右平移 个单位长度，就得到 的图象；向左平移 个单位长度，就得到 的图象。 3.5 二次函数 的图象 一般地，平移二次函数 的图象就可以得到二次函数 的图象。因此，二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示： 项目 特征 开口方向 向上（）；向下（） 对称轴 直线 顶点坐标 示例： 的图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 3.6 二次函数 的图象（配方法） 把二次函数 的右边配方，得 因此，二次函数 的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 图2：把二次函数 的图象先向右平移 个单位长度、再向下平移 个单位长度，得到 的图象 示例：，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 注意：当 时， 取得最值 ； 时是最小值， 时是最大值。 4. 确定二次函数的表达式 4.1 待定系数法 待定系数法可以确定 ，， 的值。 示例：已知二次函数图象的对称轴为直线 、与 轴交点的纵坐标为 、且经过点 ，设 ，由条件列方程解得 ，，，故表达式为 。 4.2 顶点式 若二次函数的图象的顶点坐标为 ，可以设二次函数的表达式为 。 示例：已知二次函数图象的顶点坐标是 ，且经过点 ，设 ，代入点 得 ，故表达式为 ，即 。 5. 二次函数与一元二次方程 5.1 图象与 轴交点和判别式的关系 二次函数 的图象与 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数 的图象与 轴有交点时，交点的横坐标就是当 时自变量 的值，即一元二次方程 的根，此时，判别式 。当二次函数 的图象与 轴没有交点时，一元二次方程 无实数根，此时，判别式 。 图象与 轴的交点 判别式 一元二次方程 的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 无实数根 图3：二次函数 、、 的图象 示例： 的图象与 轴有两个交点，方程 有两个实数根； 的图象与 轴有一个交点，方程 有两个相等的实数根； 的图象与 轴没有交点，方程 无实数根。 5.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 利用二次函数的图象可以求一元二次方程的近似根。本书规定：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位。 示例：利用函数 的图象，方程 的两个根一个在 和 之间、另一个在 和 之间，用计算器探索得近似根为 和 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 系数 决定开口方向与大小 中， 开口向上， 开口向下； 越大开口越小（图象越”窄”）， 越小开口越大； 相同的抛物线形状相同，只是位置不同。 1.2 系数 ，， 与图象的对应关系 定开口方向与大小； 是抛物线与 轴交点的纵坐标（图象经过点 ）； 与 共同决定对称轴 的位置（， 同号时对称轴在 轴左侧，异号时在 轴右侧， 时对称轴是 轴）。 1.3 平移规律”左加右减、上加下减” 由 平移可得顶点式：向右平移 个单位得 ，向左平移得 ；向上平移 个单位得 ，向下平移得 。综合起来，顶点 对应 。 1.4 二次函数的最值公式 在 处取得最值 ： 时是最小值， 时是最大值。如 在 处取得最小值 。 【使用提醒】若题目限定了自变量的取值范围，最值点须结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 1.5 对称轴的另一种求法 若抛物线上两点 、 的纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称，对称轴为 。如抛物线与 轴交于 、，则对称轴为 。 1.6 交点式 若抛物线与 轴交于 、 两点，可设表达式为 ，再由另一个已知点求 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求二次函数最值的步骤 先配方或直接代入顶点坐标公式，得顶点 ，再由 的符号判定最大还是最小。如 ，在 处取最大值 。 2.2 用待定系数法确定二次函数表达式（三式法） 按已知条件选形式：①已知任意三点或一般条件设一般式 ；②已知顶点（或对称轴、最值）设顶点式 ；③已知与 轴两交点设交点式 。代入条件列方程（组）求待定系数。如已知顶点 且过点 ，设 ，代入解得 。 2.3 抛物线平移后求新表达式 先配方化为顶点式 ，再按”左加右减、上加下减”改顶点坐标，最后展开。如 向上平移 个单位、向左平移 个单位，得 ，即 。 2.4 比较函数值大小（增减性判断） 以对称轴 为界： 时，对称轴左侧 随 增大而减小、右侧随 增大而增大； 时相反。比较两点函数值大小时，先看两点在对称轴同侧还是异侧，异侧时借助对称点转化到同侧再比。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方速记 二次项系数不是 先提出来，再配”一次项系数一半的平方”； 顶点坐标直接代入 求顶点不必配方，直接套 顶点为 根据对称轴比较函数值 离对称轴越远， 时函数值越大（开口向上）或越小（开口向下） 上 比 离对称轴 远，故 判别式速判交点 不解方程，由 的正负直接判断抛物线与 轴交点个数 中 ，与 轴无交点 配方法比较大小 / 判断非负性 比较 、 看 的符号：作差后配方写成”平方 常数”判定正负 ，故 ，当 时取等号 4. 常见考试模型 4.1 面积最值模型（篱笆、围墙、窗户） 公式：设一边长为 ，用周长或材料总长表示另一边，面积 长 宽，化为 后用顶点求最大值。 限定： 须使每条边长为正，解得的结果要在自变量取值范围内，不合题意的根舍去。 示例：用长 的篱笆靠墙围矩形，设垂直于墙的边长为 ，则 ，当 时面积最大。 4.2 利润 / 收入最值模型（涨价、降价） 公式：总利润 （原单件利润 变价）（原销量 每变价 元的销量变化 变价次数），即 型，配方求最值。 限定：售价须高于进价、销量须非负，不合题意的根舍去。 示例：每间客房日租金增加 元，收入 ，当 即租金 元时收入最高，为 元。 4.3 抛物线形实际模型（拱桥、喷泉、上抛运动） 公式：先建立适当平面直角坐标系，把已知点坐标代入待定形式求表达式；竖直上抛高度 （ 为抛出时高度， 为抛出时速度）。 限定：自变量的取值范围要结合实际情境（如拱桥宽度、水流落地范围），求”能否通过/能否击中”要把横坐标代入算纵坐标再与临界值比较。 示例：喷头在点 ，最高点在 ，设 ，代入得 ，令 得落水点横坐标 ，故水池半径至少 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参函数是”二次函数”，漏了二次项系数 典例：若 是关于 的二次函数，求 的值。 错解：由 ，得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“二次函数”的定义包含两个缺一不可的条件：自变量的最高次数是 2、二次项系数不为 0。学生只盯着”次数”这个显性条件列式，把”系数不为 0”当成理所当然，忽略了 时二次项消失、函数退化为一次函数。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 0。 易错点 2：平移方向记反，“左加右减”用错 典例：抛物线 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得抛物线的表达式是什么？ 错解：向左平移 3 个单位写成 ，再向下平移 2 个单位写成 。 正解：向左平移 3 个单位长度得 ，再向下平移 2 个单位长度得 。 原因：符号处理失误。平移规律”左加右减、上加下减”中，横坐标的变化与函数式中 的符号相反——向左移（ 变小）反而要在括号内写成”“。学生把”左”直接对应到”“，方向与符号混淆。可代入顶点验证：平移前顶点 ，平移后顶点应为 ，对应 。 易错点 3：求最值时忽略自变量的取值范围 典例：求二次函数 在 范围内的最大值和最小值。 错解：顶点横坐标 ，；又开口向上，无最大值，所以最小值为 ，无最大值。 正解：顶点 不在 内，函数在此区间上随 增大而减小。当 时 ，当 时 ，所以最大值为 ，最小值为 。 原因：忽略隐含条件。求最值不能只看顶点，必须考虑自变量的取值范围：顶点在范围内时最值在顶点处取得，顶点不在范围内时最值在区间端点处取得。学生一看到二次函数就套顶点坐标公式，忘了”最值要在定义域内取”这一前提，没有先判断顶点是否落在给定区间内。 易错点 4：对称轴、顶点坐标公式漏负号 典例：求二次函数 的对称轴和顶点坐标。 错解：对称轴为 ，顶点横坐标为 ，所以顶点坐标为 。 正解：对称轴为 ，顶点横坐标为 ，，所以顶点坐标为 。 原因：记忆缺失、符号失误。对称轴公式 中的负号来自配方法，学生背公式时漏掉负号，或把 与 混为一谈。 本身带符号，代入时要连同符号一起，如 时 。建议用配方验证：。 易错点 5：判别式与图象交点个数的对应关系搞反 典例：已知二次函数 的图象与 轴没有交点，求 的取值范围。 错解：图象与 轴没有交点，则 ，即 ，解得 。 正解：图象与 轴没有交点，则方程 无实数根，，即 ，解得 。 原因：概念理解错误。抛物线与 轴的交点个数和判别式的关系是： 有两个交点、 有一个交点、 没有交点。学生把”没有交点”错配成”“，方向恰好搞反。可借助图象理解：交点个数就是方程 实数根的个数，根的存在性由 的正负决定，两者方向一致，不能颠倒。 易错点 6：实际问题的解不检验，保留不合题意的根 典例：一块长方形木板长 、宽 ，四周锯下等宽 的边框后，剩余部分的面积为 ，求边框的宽度 。 错解：由题意得 ，展开得 ，即 ，解得 ，，所以边框宽度为 或 。 正解：解得 ，。检验：当 时，剩余部分的宽为 ，边长不能为负，不合题意，舍去。所以边框宽度为 。 原因：忽略隐含条件。列方程只保证了”剩余面积为 “这一数量关系，但根必须回到实际情境检验：剩余部分的长、宽都要为正（ 必须小于长、宽的一半）。学生潜意识认为”方程解出来就是对的”，缺少”解方程 检验 作答”的完整意识；一元二次方程有两个根，应用题舍根是常态而不是例外。 学科网（北京）股份有限公司 $