第一章直角三角形的边角关系（期中知识清单）九年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第一章 直角三角形的边角关系　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 锐角三角函数 1.1 正切 在 中，如果锐角 确定，那么 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作 的正切，记作 ，即 示例：在 中，，，，则 。 图1：正切定义中的直角三角形 注意： 是一个完整的符号，它表示 的正切，当用一个大写字母表示角时，记号里习惯省去角的符号”“。后面的 、 也是这样。当锐角 变化时， 的值也随之变化， 的值越大，梯子越陡。 坡度（坡比） 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。 示例：山坡在水平方向上每前进 就升高 ，则坡度 。 1.2 正弦与余弦 在 中，如果锐角 确定，那么 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。 的对边与斜边的比叫作 的正弦，记作 ，即 的邻边与斜边的比叫作 的余弦，记作 ，即 示例：在 中，，，，，则 ，。 注意： 的值越大，梯子越陡； 的值越小，梯子越陡。 1.3 锐角三角函数 锐角 的正弦、余弦和正切都是 的三角函数。当锐角 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。 1.4 30°、45°、60°角的三角函数值 三角函数 图2：一副三角板 注意： 表示 ， 表示 ，其余类推。 1.5 用科学计算器求锐角的三角函数值 用科学计算器求三角函数值，要用到 、、 键。 示例：求 ，依次按键 、、，得 。 注意：本书约定，如无特别说明，用科学计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位。 1.6 已知三角函数值求锐角 已知三角函数值求角度，要用到 、、 键。 示例：已知 ，用 键可得 。 注意：用”度、分、秒”为单位表示角度时，本书中如果没有特别说明，结果一般精确到 。 2. 解直角三角形 2.1 直角三角形的边角关系 一般地，三角形的三个角 、、 和它们的对边 、、 叫作三角形的元素。 在 中， 为直角（本章中，将 三个内角 、、 所对的边分别记为 、、），可得下列边角关系： （1）锐角之间的关系：； （2）三边之间的关系：； （3）角与边之间的关系：，，，。 图3：直角三角形的边角关系 2.2 解直角三角形的定义 利用上面这些关系，如果知道直角三角形中的两个元素（其中至少一个是边），就可以求出其他元素。由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 示例：在 中，，已知 ，，可求出 ，，。 3. 三角函数的应用 3.1 仰角与俯角 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。 图4：仰角与俯角 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同角三角函数关系（平方关系与商数关系） 对于锐角 ：，。 1.2 互余两角的三角函数关系 在 （）中， 与 互余，则 ，即 。 1.3 锐角三角函数值随角度的变化规律 当锐角 由 增大到 时， 与 的值随之增大， 的值随之减小。 1.4 锐角三角函数值的范围 对任意锐角 ：，，。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求锐角三角函数值的方法 先找（或构造）角所在的直角三角形，再确定该角的对边、邻边、斜边，最后按定义写比值。如求 的正弦，先确认 中 ，则 。 2.2 解直角三角形的两类方法 （1）已知两边：先用 求第三边，再用三角函数求角；（2）已知一边一锐角：先用 求另一锐角，再用三角函数求其余两边。如已知斜边 与 ，则 ，。 2.3 一般三角形（四边形）作高化归法 非直角三角形的边角问题，过顶点作高（垂线段）构造直角三角形，再解直角三角形。如等腰三角形作底边上的高，一般三角形过一顶点作对边的垂线；钝角三角形的高可落在边的延长线上。 3. 运算 / 化简 / 比大小小技巧 技巧 要点 示例 特殊角值速记 值 依次为 ； 值倒序； 增减性比大小 同锐角下 、 随角增大而增大， 随角增大而减小 坡度即正切 坡度（坡比） 坡比 ，则 互余转化 ， 平方关系求值 已知 ，由 求 ，再 由 得 ， 4. 常见考试模型 4.1 仰角俯角测高模型 公式：测点与目标底部的水平距离为 、仰角为 时，目标高 ；测点自身高为 时 。 限定：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，须先分清”测点高、视线到目标的高”。 示例：如距塔 、仰角 ，塔高 。 4.2 坡度坡比模型 公式：坡度 ；斜坡长、坡高、水平宽构成直角三角形。 限定：坡比写成 表示”铅直∶水平”，方向不能反。 示例：如坡比 、坡高 ，水平宽 ，斜坡长 。 4.3 方向角与触礁模型 公式：方向角以正南（北）为基准表示，如”北偏东 “；触礁问题比较”航线到危险点（暗礁区）的最短距离”与危险半径。 限定：方向角的顶点在观测点，须先画方位图再标角。 示例：如船距暗礁区的最短距离 大于危险半径，则无触礁危险。 4.4 一般三角形（四边形）作高化归模型 公式：作高把一般三角形（或梯形、四边形）分割为直角三角形，用三角函数求高、底、面积。 限定：钝角三角形作高时高落在边的延长线上，别丢负号或漏讨论。 示例：如 中 、、，过 作 ，把 分成两个直角三角形分别求解。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：对边、邻边、斜边判断错误 典例：在 中，，，，求 。 错解：。 正解： 的对边是 ，邻边是 ，斜边是 。由勾股定理 ，所以 。 原因：概念理解错误。学生看到角的两侧有两条边就分不清哪条是对边、哪条是邻边，常把斜边当邻边（或把邻边当斜边）代入。正切是对边比邻边，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，三者分母不同，关键是先找准角的”对面”那条边。 易错点 2：特殊角三角函数值记错、记反 典例：求 的值。 错解：，，所以原式 。 正解：，，所以原式 。 原因：记忆缺失。学生把 与 的值记反（，），或把 与 记反。根源是缺少”角越大、正弦越大”的直觉： 的正弦应大于 的正弦，据此即可自检。 易错点 3：已知两个锐角就”解直角三角形”，漏”至少一边”前提 典例：在 中，，，，求三边的长。 错解：设 ，则 ，。 正解：此题无解。已知两个锐角只能确定三角形的”形状”，不能确定大小，边长不确定。解直角三角形至少要已知一条边。 原因：忽略隐含条件。学生把”知道两个元素”理解成”知道任意两个元素”，忽略了教材明确强调的”其中至少一个是边”。两个锐角对应的是无数个相似的直角三角形，边长的具体大小必须由某条边的长度来确定。 易错点 4：仰角、俯角方向搞反，漏加测点高度 典例：在离楼 处、高 的测点测得楼顶的仰角为 ，求楼高。 错解：楼高 。 正解：。测点自身有高度，楼高 测点高度 从测点视线到楼顶的铅直高度。 原因：审题遗漏。学生直接用 算出的 是”从测点视线水平线到楼顶”的高度，漏加了测点（测倾器）本身的高度；反过来测俯角时又可能多减。凡测高题先分清”目标高、测点高、视线高”三者的关系，再列式。 易错点 5：坡比方向写反 典例：某斜坡的水平宽度为 ，铅直高度为 ，求坡比和坡角。 错解：坡比 ，即 。 正解：坡比 ，即 ；坡角 满足 。 原因：概念理解错误。学生把坡比理解成”水平宽度比铅直高度”，或把坡比与 的关系记反。坡比（坡度）是铅直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值，铅直在分子、水平在分母，方向一旦写反，坡角就完全错了。 学科网（北京）股份有限公司 $