第二章分式与分式方程（期中知识清单）八年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第二章 分式与分式方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 分式及其基本性质 1.1 分式的定义 一般地，用 ， 表示两个整式， 可以表示成 的形式。如果 中含有字母，那么称 为分式，其中 称为分式的分子， 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 示例：，， 都是分式；，， 都是整式，不是分式。 注意：判断一个式子是不是分式，关键是看分母中是否含有字母，而不是看式子中有没有”分数线”或字母。 1.2 分式有意义的条件 当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义。 示例：分式 中，由分母 ，得 。所以当 时，分式 有意义。 1.3 分式的值为零的条件 当分子的值为零，分母的值不为零时，分式的值为零。 示例：分式 中，由分子 ，得 ，此时分母 。所以当 时，分式 的值为零。 1.4 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 这一性质可以用式子表示为： 示例：（因为 ）。 注意：运用分式的基本性质时，分子、分母同乘（或同除）的整式必须不等于零，否则分式的值会改变。 1.5 分式的约分与最简分式 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。 示例：；。 注意：约分的关键是找准分子、分母的公因式。当分子、分母是多项式时，要先因式分解，再约去公因式。 2. 分式的乘除法 2.1 分式的乘法法则与除法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 这一法则可以用式子表示为： 示例：。 注意：进行分式的乘法、除法运算时，结果应当是最简分式或整式；分子或分母是多项式时，应先因式分解，再约分。 3. 分式的加减法 3.1 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 这一法则可以用式子表示为： 示例：。 3.2 异分母分式的加减法法则与通分 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 这一法则可以用式子表示为： 示例：。 注意：通分的关键是确定最简公分母——一般取各分母所有因式的最高次幂的积；分子也要相应乘以各分母所缺的因式，并注意符号。 4. 分式方程 4.1 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 示例：， 都是分式方程。 4.2 解分式方程的基本思路 一般地，解分式方程时，先将方程两边都乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程。 示例：解 ，方程两边都乘 ，得 ，解得 。 4.3 增根与验根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。为了简便，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得到的是原方程的增根，应当舍去。 示例：解 ，两边都乘 ，得 ，解得 ；当 时，原方程中分式的分母的值为零，所以 是原方程的增根，应舍去，因此原方程无解。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 分式的符号法则 分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处，分式的值不变：，。 1.2 分式的值的符号判定 分式 的值为正的条件是 ， 同号；分式 的值为负的条件是 ， 异号。 1.3 分式的乘方 分式的乘方，等于分子、分母分别乘方：（ 是正整数）。 1.4 分式的值为整数的条件 当分式的分子为常数、分母为含字母的整式时，分式的值为整数的条件是分母为分子的约数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 分式乘除法运算的规范步骤 先对分子、分母因式分解，再约去公因式（除法先颠倒除式的分子、分母转化为乘法），最后相乘并化为最简分式或整式。如 。 2.2 分式加减法运算的规范步骤 先确定最简公分母并通分，化为同分母分式，再把分子相加减，最后约分化简。如 。 2.3 分式混合运算的顺序 先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内；整式可看作分母为 的分式参与运算。如 。 2.4 解分式方程的一般步骤 去分母（两边同乘最简公分母，化为整式方程），再解整式方程，然后验根（把根代入原方程各分母，使分母为零的根是增根，舍去），最后作答。如 ：去分母得 ，解得 ，检验 使各分母均不为零，是原方程的根。 2.5 分式化简求值的一般步骤 先把分式化简到最简，再代入数值求值，比直接代入更简便。如 ，当 时其值为 。 2.6 设比求值（设 法） 已知两字母的比 时，设 代入目标式消元求值。如 ，设 ，则 。 2.7 含参数的分式方程增根、无解问题 先按正常步骤去分母、解出含参数的整式方程的根，再令该根等于使最简公分母为零的值（增根），或讨论无解情形，反解参数。如分式方程有增根 ，则把 代入去分母后的整式方程，即可解出参数的值。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 确定最简公分母 各分母先因式分解，取所有不同因式的最高次幂的积 ， 的最简公分母是 符号变形防错 ，通分时分子连同符号一起处理 整式参与加减 整式看作分母为 的分式，与分式通分后再运算 分离常数求整数值 把 拆成”常数 真分式”，再令分母为分子的约数 ，为整数时 分式比较大小 作差通分后看分子符号，或作商与 比较 （同为正分母，分子大者大） 4. 常见考试模型 4.1 行程问题模型 公式：路程 速度 时间，时间 ；顺流速度 静水速度 水流速度，逆流速度 静水速度 水流速度。 限定：时间、速度均为正值，解出的负根舍去。 示例：如轮船顺水航行 与逆水航行 所用时间相同，水流速度为 ，设静水速度为 ，则 。 4.2 工程问题模型 公式：工作总量 工作效率 工作时间；单独完成需 天则每天完成 ，合作效率 各部分效率之和。 限定：时间为正值，负根舍去。 示例：如甲单独 完成、乙单独 完成，两人合作所需时间为 。 4.3 销售利润 / 成本模型 公式：利润率 ，售价 进价 。 限定：售价、进价、销量均为正值，解出的负根舍去。 示例：如每件售价 元可获利 ，设成本价为 元，则 ，解得 。 4.4 比例 / 平均模型 公式：某量为 与 的比例关系可设为 ，再设 ， 处理；平均数 。 限定：比例式中分母不能为零，涉及的人数、件数为正整数。 示例：如团员与非团员人数之比为 ，可设分别为 人、 人，再由”增加 人后之比变为 “列方程求 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求分式值为零时，漏掉”分母不为零”这一条件 典例：当 为何值时，分式 的值为零？ 错解：由 ，得 ，所以当 时，分式的值为零。 正解：分式的值为零须同时满足”分子为零”和”分母不为零”。由 得 ；当 时，分母 ，分式无意义，舍去；当 时，分母 。所以当 时，分式的值为零。 原因：条件遗漏。“分式的值为零”是”分子 “与”分母 “两个条件的叠加，学生只盯着显性的”分子为零”列式求解，忽略了”分母不为零”这个隐性约束，直接把分子方程的根全部当作答案。求分式值为零，务必先求”分子 “的根，再逐一回代检查分母是否为零，把使分母为零的根剔除。 易错点 2：约分时把分子、分母中的”项”约去 典例：化简分式 。 错解：（把分子中的 与分母中的 约去）。 正解： 与 不是因式关系，不能约去公因式。，已是最简形式。 原因：概念理解错误。约分的依据是分式的基本性质——分子、分母同除以一个公因式，而公因式必须是分子、分母”公有的因式”，不是公有的”项”。学生把分数约分（如 ）的经验机械迁移，误以为分子、分母中”相同的一个字母（或数）“都能约掉，忽略了 是一个整体、其中的 与分母的 并不构成因式关系。约分前必须先把分子、分母写成乘积（因式）形式。 易错点 3：通分或加减运算时，分子漏变号 典例：计算 。 错解：。 正解：，所以 。 原因：符号处理失误。分母 与 互为相反数，通分时第二个分式须先变形为 才能同分母相加，学生看到两个分母”很像”就直接把分子相加减，忽略了 的符号转换，也没有把分子相应的符号一起处理。遇到互为相反数的分母，先统一成同分母，分子的符号随之改变。 易错点 4：解分式方程去分母时，整式（常数）项漏乘最简公分母 典例：解方程 。 错解：方程两边都乘 ，得 ，解得 。 正解：方程两边都乘 ，得 ，即 ，，矛盾，所以原方程无解。若按错解 代回，左边 ，右边 ，左右两边不相等， 不是原方程的根。 原因：运算遗漏。去分母是对方程”每一项”都乘最简公分母，学生往往只给分式项乘、漏乘了整式（常数）项，导致方程变形错误。去分母时要把最简公分母”分配”到每一项，常数项、整式项同样要乘。 易错点 5：解分式方程不验根，增根未舍去 典例：解方程 。 错解：方程两边都乘 ，得 ，即 ，解得 。 正解：方程两边都乘 ，得 ，即 ，解得 。检验：当 时，原方程中分式的分母 ， 的值都为零，所以 是原方程的增根，应舍去，因此原方程无解。 原因：检验缺失。去分母时两边同乘了含未知数的整式，可能引入使分母为零的增根，因此解分式方程必须检验。学生沿袭解一元一次方程的惯性，解出整式方程的根就以为大功告成，忽略了分式方程特有的”增根”现象。验根不是可有可无的格式，而是决定根取舍的关键一步。 易错点 6：先约分再判断分式有意义的条件，误以为字母可任意取值 典例：求使分式 有意义的 的取值范围。 错解：，而 可取任意实数，所以分式 中 可取任意实数。 正解：分式 的分母为 ，分母不能为零，所以 ，即 为不等于 的任意实数。虽然约分后 ，但讨论分式有意义的条件时必须看原分式的分母，不能在约分之后再看。 原因：概念理解错误。分式有意义的条件是”分母不为零”，应针对原分式（变形前）的分母来判断；约分后的结果与原分式在字母取值范围上并不完全等价（ 中 ，而 没有限制），学生把”约分后的最简形式”当成判断依据，忽略了约分会”抹去”分母对字母取值的限制。判断分式有意义、值为零，都必须回到原分式。 学科网（北京）股份有限公司 $