第三章数据分析（期中知识清单）八年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第三章 数据分析　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平均数与方差 1.1 众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。 示例：甲射击成绩中，出现次数最多的是 环，所以甲射击成绩的众数是 环。 注意：一组数据的众数可能不止一个。如丁射击成绩的众数是 环和 环。 1.2 算术平均数 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数，记为 。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的”中心”。 示例：数据 的平均数为 。 1.3 加权平均数 在很多实际问题中，一组数据中各个数据的”重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的”重要程度”赋一个”权“。 若数据 的权分别为 ，则称 为这组数据的加权平均数。 示例：一碗”全家福”馄饨中，五种馅料的价格分别为 元，对应馄饨个数（权）为 ，则加权平均数 （元）。 注意：当各个数据的权相等时，加权平均数就化为算术平均数。 1.4 离差平方和 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 1.5 方差 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 其中， 是 的平均数。 1.6 标准差 标准差是方差的算术平方根，记为 ，即 。 示例：若一组数据的方差 ，则标准差 。 1.7 数据的稳定性 一般而言，一组数据的离差平方和、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 1.8 组内离差平方和与数据分组 在统计学里，数据分组的方法有很多，其中较常用的方法是使”组内离差平方和达到最小“。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 2. 中位数与箱线图 2.1 中位数 一般地， 个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数。 示例：数据 的中位数是 ，即 。 注意：求中位数前必须先把数据从小到大（或从大到小）排列。 2.2 众数、平均数、中位数的特征 众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量。 统计量 特征 众数 当某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量；但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义 平均数 所有数据都参与运算，能充分地利用数据所提供的信息，较为常用，但容易受极端值的影响 中位数 处于数据”位置的中心”，至少有 的数据小于或等于中位数，至少有 的数据大于或等于中位数；计算简单，受极端值影响小 2.3 百分位数 中位数也称为第 百分位数或 分位数，记为 。通常还可以找出其他 分位数（记为 ），制作百分位数值表，反映数据的分布情况。 2.4 四分位数 把一组数据从小到大排列， 把这组数据分成个数相等的四部分，其中 是前半部分数据的中位数， 是整组数据的中位数， 是后半部分数据的中位数，它们分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 示例：数据 的四分位数为 ，，。 2.5 箱线图 箱线图包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以用来反映一组数据的整体分布情况，特别适用于多组数据整体分布情况的比较。 3. 数据分析的简单应用 3.1 比较两组数据的方法 比较两组数据的整体情况，方法多样。可以借助平均数和方差反映数据的集中趋势和离散程度，也可以借助四分位数和箱线图直观反映数据的分布情况。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 平均数计算的”基准数”简化 当数据较大且都接近某个数 时，可先算各数据与 之差的平均数 ，则 。如数据 都接近 ，取 ，各差为 ，，故 。 1.2 已知平均数求总和或反求数据 平均数 总和 个数，所以总和 平均数 个数。已知平均数和个数可求总和；已知总和与部分数据可反求剩余数据。 1.3 加权平均数与算术平均数的关系 当各数据的权相等时，加权平均数就化为算术平均数；算术平均数是”各数据权都相等”的加权平均数的特例。 1.4 方差计算的第二公式 ，即”各数据平方的平均数减去平均数的平方”。 1.5 数据的”平移”与”伸缩”对平均数、方差的影响 若每个数据都加上（减去）同一个常数 ，则平均数也加（减），方差不变；若每个数据都乘以（除以）同一个常数 ，则平均数也乘（除），方差乘（除）。 1.6 极端值对平均数和中位数的影响 把一组数据中某个数据换成极端值（特大或特小），平均数一定改变，中位数可能不变。据此可判断用哪个数据描述一组数据更合适。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平均数、中位数、众数的方法 求平均数用”总和 个数”；求中位数先从小到大排序，再取中间一个（奇数个）或中间两个的平均数（偶数个）；求众数找出现次数最多的数据。如数据 ：排序得 ，中位数 。 2.2 求方差、标准差的方法 先求平均数 ，再求每个数据与 之差的平方，求这些平方的平均数得方差 ，最后开平方得标准差 。如数据 ：，。 2.3 求四分位数的方法 先从小到大排序，求中位数 ，前半部分数据的中位数即 ，后半部分数据的中位数即 。如数据 ：排序得 ，，，。 2.4 选择统计量描述数据的集中趋势 无极端值、数据分布较均匀时用平均数；有极端值或数据偏斜时用中位数；关注”出现最多的典型水平”时用众数。如公司工资有极高值，用中位数比平均数更能代表一般水平。 2.5 用平均数与方差比较两组数据 先比平均数（集中趋势），平均数相同或相近时再比方差（离散程度），方差小者更稳定。如甲、乙平均成绩都为 环，甲方差为 、乙方差为 ，则乙更稳定。 2.6 用四分位数与箱线图比较两组数据 看箱线图”箱子”的位置（中位数、四分位数反映集中趋势）与”箱子”长短、须状线范围（反映离散程度）。“箱子”越短、范围越集中，数据越稳定。 3. 小技巧 技巧 要点 排序先行 求中位数、四分位数、百分位数的第一步都是从小到大排序 平均数求总和 总和 平均数 个数，可反求个数或总产量 稳定性看方差 方差（或标准差、离差平方和）越小，数据越稳定 标准差开方 标准差 方差的算术平方根，先算方差再开方 借助计算器 数据较多时用计算器的统计功能求平均数、方差、标准差 4. 常见考试模型 4.1 加权平均数（评分、定价、招聘） 公式：，其中 为各数据， 为对应权。 限定：以权的和 作分母；权越大，该数据对平均数的影响越大。 示例：如招考按学历、经验、态度以 计分，甲三项得分为 ，则甲得分 （分）。 4.2 根据平均数、方差选拔（选优、稳定性） 公式：先比平均数 ，再比方差 。 限定：平均数相同或接近时，方差小者更稳定；若追求”拔尖破纪录”，还要结合最高成绩。 示例：如甲、乙跳远平均成绩相同，甲方差为 、乙方差为 ，为求稳定选甲。 4.3 读统计图求统计量 公式：从频数直方图、折线图、箱线图中读出数据或直接比较位置，估计平均数、中位数、方差。 限定：统计图常只给出分组或四分位数，读图时先”还原”数据或直接比较箱线图位置，不能凭空读出精确值。 示例：如箱线图”箱子”更短的一组，四分位距更小、分布更集中。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求中位数前忘记把数据从小到大排列 典例：求数据 的中位数。 错解：直接取原顺序中间的两个数 和 ，中位数 。 正解：先从小到大排列：，中间两个数是 和 ，中位数 。 原因：概念理解错误。中位数的定义以”按大小顺序排列”为前提，学生拿到数据不排序就取”位置在中间”的数，误把”原始顺序的中间”当成”大小顺序的中间”。求中位数（四分位数、百分位数同理）第一步必须排序。 易错点 2：偶数个数据的中位数只取中间一个，漏了”两个数求平均” 典例：求数据 的中位数。 错解：中位数是 （或 ）。 正解：中间两个数是 和 ，中位数 。 原因：概念条件遗漏。数据个数为偶数时，中间位置是两个数据，中位数必须取二者的平均数；学生误以为中位数一定是原数据中的某一个数。中位数是”位置中心”，不一定是数据中的数。 易错点 3：数据有极端值时仍用平均数代表整体水平 典例：某公司 名员工的月工资为 元，用哪个数据描述工资水平较合适？ 错解：用平均数，因为平均数最常用、最准确。 正解：平均数 元，受 这个极端值影响而偏高；中位数是 元，更能代表一般水平。 原因：概念理解片面。平均数”所有数据都参与运算”，因而容易受极端值的影响；学生把”常用”等同于”任何时候都合适”。有极端值时平均数会被拉高或拉低，应改用受极端值影响小的中位数。 易错点 4：加权平均数的”权”理解错误，当成普通平均数直接求和除以个数 典例：某生体育成绩由早锻炼及课外活动、理论测试、技能测试三部分组成，三项成绩依次为 分，分别按 计分，求体育成绩。 错解：体育成绩 （分）。 正解：体育成绩 （分）。 原因：概念混淆。加权平均数要根据”重要程度”赋予权，把各数据乘对应权后求和；学生把它当成普通算术平均数直接”求和除以个数”，忽略了各项权重不同。“权”反映的是各数据所占的比例或重要程度，权越大该数据对平均数的影响越大。 易错点 5：方差计算错误，忘记除以个数或忘记先求平均数 典例：求数据 的方差。 错解：，，所以方差是 。 正解：，。 原因：公式记忆缺失。方差是”平方的平均数”，学生算出”离差平方和”后忘了除以数据个数 ，把离差平方和误当方差。方差 离差平方和 个数；应先求平均数，再求差的平方，求和，最后除以 ，四步缺一不可。 易错点 6：“方差（标准差）越大越稳定”记反 典例：甲、乙两组数据的方差分别为 、，哪组数据更稳定？ 错解：乙更稳定，因为 。 正解：甲更稳定，因为方差越小数据越稳定，。 原因：概念理解错误。方差刻画的是数据偏离平均数的程度，方差越小说明数据越集中、越稳定；学生把”数值大”直觉对应”好、稳定”，记反了方向。记住：方差（标准差、离差平方和）越小，数据越稳定。 学科网（北京）股份有限公司 $