第二章轴对称（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第二章 轴对称　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 轴对称及其性质 1.1 轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。 示例：等腰三角形、等边三角形、长方形、圆等都是轴对称图形。 1.2 成轴对称 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 示例：沿一条直线对折，两旁的两个图形能够完全重合，这两个图形成轴对称。 注意：轴对称图形是一个图形自身关于某条直线的对称性；成轴对称是两个图形之间的位置关系。 1.3 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 示例：点 与点 关于直线 对称，则直线 垂直平分线段 ；对应线段 与 相等，对应角 与 相等。 注意：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2. 线段的垂直平分线 2.1 线段是轴对称图形 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 示例：线段 关于它的垂直平分线对称。 2.2 线段的垂直平分线 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 示例：直线 垂直且平分线段 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 2.3 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 示例：点 在线段 的垂直平分线上，则 。 注意：性质成立的前提是”点在线段的垂直平分线上”。 3. 角的平分线 3.1 角是轴对称图形 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 示例： 关于它的平分线所在的直线对称。 3.2 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 示例：点 在 的平分线上，且 于点 ， 于点 ，则 。 注意：这里的”距离”是指点到角两边的垂线段的长，必须垂直于角的两边。 4. 等腰三角形 4.1 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形是轴对称图形。 示例：等腰三角形沿其对称轴折叠后，两部分能够完全重合。 4.2 等腰三角形”三线合一” 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称”三线合一“），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 示例：在等腰 中，， 是底边 上的高，则 也是顶角 的平分线和底边 上的中线。 注意：”三线合一”中的”三线”指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条与底边相关的线。 4.3 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的两个底角相等。 示例：在等腰 中，，则 。 5. 等腰三角形的判定 5.1 等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等。 示例：在 中，，则 。 5.2 直角三角形中 30° 角的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 示例：在 中，，，则 。 注意：性质中”30° 角所对的直角边”与”斜边”要对应准确，不要与另一条直角边混淆。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 成轴对称的两个图形全等 两个图形成轴对称，折叠后能够完全重合，故对应边相等、对应角相等，两个图形全等。 1.2 垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（即 时点 在线段 的垂直平分线上）。 1.3 角平分线的判定 在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 1.4 等边三角形 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；三个角都相等，每个角都等于 60°。 1.5 等腰三角形”三线合一”的逆用 等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”知一得三”：知道其中一条是”三线”，它同时也是另外两条。 1.6 等腰三角形两腰上的高、中线、角平分线分别相等 等腰三角形两腰上的高相等、两腰上的中线相等、两底角的平分线相等。 1.7 有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形 等腰三角形只要有一个角等于 60°，则三个角都是 60°，它是等边三角形。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 尺规作图：作线段的垂直平分线 分别以线段两端点为圆心、以大于线段长的一半为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即得。如作线段 的垂直平分线，分别以 、 为圆心、以大于 为半径作弧交于 、，直线 即为所求。 2.2 尺规作图：作已知角的平分线 在角的两边截取相等的线段，再以截得的端点为圆心作弧交于一点，过角的顶点与该点作射线即得。如作 的平分线，在 、 上截取 ，再分别以 、 为圆心、以大于 为半径作弧交于 ，射线 即为所求。 2.3 尺规作图：过一点作已知直线的垂线 以该点为圆心作弧，与直线交于两点，再作这两点所连线段的垂直平分线即得。如过直线 上一点 作 的垂线，以 为圆心作弧交 于两点，作这两点连线的垂直平分线即可。 2.4 画轴对称图形的另一半 先作图形各关键顶点关于对称轴的对称点，再依次连接各对称点。如画出 关于直线 对称的另一半，先作顶点 、、 关于 的对称点 、、，再顺次连接即可。 3. 作图 / 折叠 / 计算小技巧 技巧 要点 示例 折纸判断轴对称 沿某条直线对折，两旁能够完全重合，则这条直线就是对称轴 长方形沿对边中点的连线对折能重合，有 2 条对称轴 对称轴条数 线段 2 条、角 1 条、等腰三角形 1 条、等边三角形 3 条、正 边形 条 正方形有 4 条对称轴 等腰三角形角度计算 两底角相等；已知一个角求其余角，先分”顶角 / 底角”讨论 顶角为 80° 时，底角为 折叠问题求角 折叠前后的角相等（翻折不变性），结合平角 180° 求未知角 沿 折叠使 落到 ，则 4. 常见考试模型 4.1 最短路径（将军饮马）模型 公式：点 、 在直线 同侧，求 上一点 使 最短：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求，此时 最短。 限定：点 必须在直线 上。 示例：如甲、乙两居民楼在道路同侧，作其中一点的对称点后连线，与道路的交点即取货柜的最短位置。 4.2 折叠问题模型 公式：图形沿直线折叠，折叠前后的两部分全等，对应边、对应角相等；折痕垂直平分对应点所连的线段。 限定：折叠后重合的两点关于折痕对称。 示例：如沿 折叠使点 落到点 ，则 垂直平分 ，且 。 4.3 等腰三角形分类讨论模型 公式：等腰三角形已知”一个角”求其余角、已知”两边”求周长时，需分类讨论——角分”顶角 / 底角”，边分”腰 / 底边”。 限定：求周长须再验证三角形三边关系（两边之和大于第三边），不合题意的解舍去。 示例：如等腰三角形一边为 4、另一边为 9：若 4 为腰则 不能构成三角形，舍去，故第三边为 9，周长为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：等腰三角形已知”一个角”求其余角，漏了顶角与底角的分类讨论 典例：等腰三角形的一个角为 70°，求其余两个角的度数。 错解：由等腰三角形两底角相等，另一个底角也是 70°，顶角为 ，所以其余两角为 70° 和 40°。 正解：① 若 70° 是顶角，则两个底角相等，每个为 ；② 若 70° 是底角，则另一个底角也是 70°，顶角为 40°。所以其余两角为 55°、55° 或 70°、40°。 原因：漏分类讨论。学生默认已知角是底角，忽略了它也可能是顶角。等腰三角形只确定了”两腰相等、两底角相等”，仅给”一个角”无法确定它是顶角还是底角。凡等腰三角形”知一求其余”，都要先判断该角是顶角还是底角，分类讨论。 易错点 2：等腰三角形已知”两边”求周长，忽略三角形三边关系 典例：等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，求这个三角形的周长。 错解：三边长为 4、4、9 或 9、9、4，周长分别为 17 或 22。 正解：若腰长为 4、底边为 9，则 ，不能构成三角形，舍去；若腰长为 9、底边为 4，则 ，能构成三角形，周长为 。所以周长为 22。 原因：忽略三角形三边关系。等腰三角形知两边求第三边，要先分类（哪条是腰），再检验”两边之和大于第三边”。学生只按”等腰”列出两种组合，没有过滤掉不合法的解。 易错点 3：30° 角性质用错边，把”30° 所对的直角边”与另一条直角边混淆 典例：在 中，，，斜边 ，求 与 的长。 错解：由”30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，；同理 ，所以 。 正解：30° 角（）所对的直角边是 ，所以 ； 是另一条直角边，不是 所对的边，不能用该性质直接求。 原因：概念理解错误。性质说的是”30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，即与 30° 角相对的那条直角边（本题是 ）。学生把”斜边是直角边的 2 倍”误套到两条直角边上。关键是先找出 30° 角的对边（一定是直角边），再用性质。 易错点 4：角平分线性质漏了”到两边的距离”必须垂直 典例：点 在 的平分线上， 于点 ，连接 交 于点 （ 不垂直于 ）。判断 与 是否相等。 错解：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 。 正解：角平分线的性质是”角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，“距离”指点到直线的垂线段的长。本题中只有 是 到 的距离， 不垂直于 ，不是距离，所以 与 一般不相等。 原因：忽略”距离 = 垂线段”这一隐含条件。学生看到”点到两边”就默认两条线段相等，忘记距离必须是垂直距离。用角平分线性质时，要先确认或构造”垂直”，再谈距离相等。 易错点 5：轴对称图形与成轴对称概念混淆 典例：判断：“两个全等的三角形一定成轴对称。” 错解：正确，因为两个三角形全等，能够完全重合，所以它们成轴对称。 正解：错误。两个三角形全等只说明”能够完全重合”，但不一定存在一条直线使它们”沿这条直线折叠后重合”。成轴对称要求两个图形的对应点所连的线段被同一条直线（对称轴）垂直平分。 原因：概念混淆。学生把”全等”等同于”成轴对称”。轴对称图形是一个图形自身的性质，成轴对称是两个图形之间的位置关系，二者都要求”沿一条直线折叠后重合”这一特定条件，而”全等”只要求”能重合”，条件更弱。 易错点 6：把”到两端点距离相等”误认为”中点” 典例：已知点 满足 ，判断点 的位置。 错解：因为 ，所以点 是线段 的中点。 正解：到线段 两个端点距离相等的点在线段 的垂直平分线上，所以 只能确定点 在线段 的垂直平分线上，点 不一定是中点。 原因：概念理解错误。学生把”到两端点距离相等”误认为”中点”。实际上到 、 距离相等的点有无数个，它们都在线段 的垂直平分线上；只有垂直平分线与线段 的交点（垂足）才是中点。 学科网（北京）股份有限公司 $