第一章丰富的图形世界（期中知识清单）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第一章 丰富的图形世界　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 生活中的立体图形 1.1 几何体 一般地，对于一个物体，当只研究它的形状、大小而不考虑其他特征时，就得到一个几何体。几何体简称体。 示例：只研究魔方的形状和大小，不考虑它的颜色、材料等特征时，得到的就是一个几何体。 1.2 常见的几何体 正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体（如图1）。 图1：常见的几何体 1.3 棱柱及其有关概念 与笔筒形状类似的几何体称为棱柱。在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱。棱柱的所有侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。 图2：棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面 示例：五棱柱有 5 个侧面，底面是五边形。 1.4 棱柱的分类 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… 长方体、正方体都是四棱柱。 示例：三棱柱的底面是三角形；正方体是四棱柱。 1.5 直棱柱与斜棱柱 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。本书主要讨论直棱柱（简称棱柱）。直棱柱的侧面是长方形。 图3：直棱柱与斜棱柱 示例：生活中常见的包装盒大多是直棱柱。 2. 点、线、面、体 2.1 图形的构成 图形是由点、线、面构成的。面与面相交得到线，线与线相交得到点。 注意：数学上所说的点是没有大小的，线是没有粗细的。 示例：长方体中，面与面相交得到棱（线），棱与棱相交得到顶点（点）。 2.2 点动成线，线动成面，面动成体 点动成线，线动成面，面动成体。 示例：流星划过天空是”点动成线”；汽车雨刮器左右摆动是”线动成面”；直角三角板绕一条直角边旋转是”面动成体”。 2.3 平面与曲面 面有平的和曲的。如果想象将一个平的面向四周无限延展，就得到了平面。数学上所说的平面既没有边界，也没有厚薄。 示例：平静的水面、黑板面可以近似看作平面的一部分；圆柱的侧面是曲面。 2.4 平面图形与立体图形 点、线、面、体及其组合都是几何图形。如果一个几何图形上的所有点都在同一个平面内，那么这样的几何图形是平面图形。三角形、平行四边形、圆等都是平面图形。如果一个几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何图形是立体图形。棱柱、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。 示例：桌面上的图案是平面图形，教室里的粉笔盒是立体图形。 3. 从立体图形到平面图形 3.1 从三个方向看物体——形状图 从正面、左面（或右面）和上面三个不同方向观察同一物体时看到的图形，叫作物体的形状图。 注意：对于用小立方块搭成的几何体，从上面看到的形状图中，小正方形中的数字表示在这个位置小立方块的个数。 示例：同一个圆柱，从正面看是长方形，从上面看是圆。 3.2 正方体的展开图 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形（展开后每个面至少有一条边与其他面相连），得到的图形叫作正方体的展开图。由于剪开的方式不一样，得到的展开图也就不一样。 图4：正方体的两种展开图 3.3 直棱柱的展开图 直棱柱的展开图是由两个相同的多边形（底面）和一些长方形（侧面）按照不同的方式组合而成的。 示例：三棱柱的展开图由 2 个三角形和 3 个长方形组成。 3.4 圆柱与圆锥的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。 图5：圆柱与圆锥的侧面展开图 3.5 截一个几何体与截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。 示例：用刀切西瓜、锯木头锯开的面，都可以看作截面。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 棱柱的面、顶点、棱计数规律 棱柱（）有 个面（ 个侧面加上、下 2 个底面）， 个顶点， 条棱（ 条侧棱，上、下底面各 条）。 1.2 正方体截面的边数规律 用一个平面去截正方体，截面多边形的每条边分别在正方体的一个面上，边数等于平面与正方体相交的面数，所以截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，最多是六边形，不可能截出七边形；要截出它们，需使平面分别与 3、4、5、6 个面相交。 1.3 圆柱、圆锥的常见截面 平行于底面的平面截圆柱或圆锥，截面都是圆；过旋转轴的平面截圆柱，截面是长方形，截圆锥，截面是等腰三角形。 1.4 圆柱、圆锥侧面展开图中的数量关系 圆柱侧面展开图（长方形）的两边分别等于底面圆的周长 （ 为底面半径）与圆柱的高 ；圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。 1.5 平面图形旋转一周得到的旋转体 长方形绕它的一条边所在直线旋转一周得到圆柱；直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，得到两个底面重合的圆锥的组合体。 长为 、宽为 （）的长方形分别绕长、宽所在直线旋转一周，得到的两个圆柱侧面积相等，都是 。 【使用提醒】两个圆柱体积不同：绕较短的边（宽）所在直线旋转得到的圆柱更粗，体积更大（）。 1.6 棱柱展开图的构成特征 直棱柱的展开图中，侧面长方形的个数等于底面多边形的边数 ，两个相同的多边形（底面）分居侧面展开带的两侧。判断一个图形能否围成 棱柱，先数侧面长方形的个数是否为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 正方体展开图的 11 种类型与快速判断 正方体的展开图共有 11 种：“1-4-1”型 6 种、“2-3-1”型 3 种、“2-2-2”型 1 种、“3-3”型 1 种。判断步骤：先看结构，含”田”字形（2×2 方块）、“凹”字形或一行 5 格连排的必不能围成正方体；再数类型，6 个正方形按四类逐一核对。如中间一行 4 个正方形、上、下各 1 个的”1-4-1”型可以围成正方体。 2.2 正方体展开图中相对面的确定 同一直线（行或列）上中间隔一个正方形的两个面是相对面；“Z”字形两端的面是相对面。先确定一对相对面，再逐一推出其余各对。如”1-4-1”型展开图中间一行四个面中，第 1 与第 3、第 2 与第 4 相对，上、下两个面相对。 2.3 由俯视图（带数字）画另两个形状图 从上面看到的形状图中，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数；从正面看到的形状图的列数等于俯视图的列数，每列层数取该列数字的最大值；从左面看到的形状图的行数等于俯视图的行数，每行层数取该行数字的最大值。如俯视图两行三列，第一行数字为 1、2、1，第二行数字为 2、1、2，则从正面看每列层数为 2、2、2。 2.4 由两个形状图求小立方块个数的最多与最少 以”从正面看＋从上面看”为例：俯视图确定每个位置是否放块，从正面看到的形状图确定每列的最大高度。块数最多时，每个位置都取其所在列的最大高度；块数最少时，每列恰好有一个位置达到最大高度，其余位置在不低于 1 块、不超过限高的前提下尽量少。如某列限高为 3、俯视图该列有 2 个位置，则该列最多 块，最少 块。 3. 计数与判断小技巧 技巧 要点 示例 骰子配对 相对面数字之和为定值时，先按和配对，再检验每对是否互不相邻 相对面之和为 7：1 对 6、2 对 5、3 对 4 分层计数 数搭成的小立方块时从上往下逐层累加，每个块必以其下方块为支撑 上层 2 个、中层 4 个、下层 6 个，共 12 个 组合体拆分 复杂组合几何体拆成常见几何体分别计算再相加 粮仓 = 圆柱 + 圆锥（见 4.3） 4. 常见考试模型 4.1 正方体骰子（标数字、字母）模型 公式：相对面配对唯一，三对相对面互不相邻；常见条件”任意两个相对面上的数字之和为 7”。 限定：每个数字恰好出现在一个面上，不得重复使用。 示例：如正方体六个面分别标 、、、、、，由三个方向看到的相邻面先配出三对相对面，再作答。 4.2 网格中数正方形模型（分类讨论） 公式： 网格中，边长为 的正方形有 个（ 依次取 到 ），正方形总数等于 至 的平方和；（）长方形网格中，边长为 的正方形有 个（ 取 1 到 ），逐类相加。 限定：按边长分类逐一讨论，不重不漏（教材”问题解决策略”栏目：把原问题划分为几种情况，针对每种情况逐一分析、逐一解决）。 示例：如 网格共有 （个）正方形；由 个小正方体搭成的大正方体中，正方体共 （个）。 4.3 圆柱与圆锥的组合体（粮仓）体积模型 公式：上圆锥、下圆柱的组合体体积 （ 为底面半径， 为圆柱高， 为圆锥高；其中 ，）。 限定：先统一单位，再代入计算。 示例：如 ，，，则 。 【使用提醒】圆锥体积等于同底等高圆柱体积的 ，漏掉 是此类题最高频的错误。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：有 6 个正方形就能围成正方体 典例：一个由 6 个大小相同的正方形组成的平面图形中，含有 2×2 的”田”字形排列，判断它能否折叠围成正方体。 错解：能。因为它由 6 个正方形组成，6 个正方形的面积之和恰好等于正方体的表面积，所以一定能围成正方体。 正解：不能。含”田”字形的图形折叠时，“田”中的 4 个正方形必有两个面重叠，同时缺少一个面，无法围成 6 个面的正方体。能围成正方体的展开图只有 11 种，含”田”字形、“凹”字形或一行 5 格连排的图形都不在其中。 原因：概念理解错误——把”面数正确”当成围成正方体的充分条件，忽略了折叠后每个面必须恰好占正方体的一个面，“田”字形折叠必然重叠。判断展开图先查结构特征（有无”田”“凹”、一线五格），再核对类型。 易错点 2：把相邻面当成相对面 典例：正方体展开图的中间一行四个正方形从左到右依次标数字 1、2、3、4，最上面一个标 5，最下面一个标 6。折叠成正方体后，与 1 相对的面上的数字是几？ 错解：与 1 相对的是 2。因为 1 和 2 在展开图中紧挨着，折起来后正好面对面。 正解：同一直线上隔一个正方形的两个面是相对面：1 与 3 相对，2 与 4 相对，5 与 6 相对。所以与 1 相对的面上的数字是 3。 原因：凭”位置靠近”的直觉判断，缺乏”隔一相对”的判定方法。相对面在展开图中一定不相邻——相邻的两个面折叠后必然共用一条棱。先确定一对相对面，再逐一推出其余，最后检验三对是否两两不相邻。 易错点 3：六棱柱有 6 个面 典例：一个六棱柱共有几个面、几个顶点、几条棱？ 错解：6 个面、12 个顶点、12 条棱。 正解：面：6 个侧面加上、下 2 个底面，共 8 个面；顶点：（个）；棱：（条），其中侧棱 6 条，上、下底面的棱各 6 条。 原因：计数遗漏——把”六棱柱”的”六”直接当作面数，漏数了两个底面；数棱时又漏数了底面的棱。记住 棱柱的计数规律： 个面、 个顶点、 条棱，代回检验可避免漏数。 易错点 4：画从正面看到的形状图时照抄俯视图一行的数字 典例：一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状图是两行三列，第一行数字为 1、2、1，第二行数字为 2、1、2。请写出从正面看到的形状图中每列小正方形的层数。 错解：从左到右依次为 1、2、1（照抄了第一行的数字）。 正解：从正面看是沿前后方向的投影，同一列前后几个位置重叠，每列层数取该列数字的最大值，所以从左到右各列层数为 2、2、2。 原因：没有理解”从某方向看”是投影——同一视线上前后的方块在图中重叠为一个位置，层数应取最大值而不是照抄某一行。画形状图前先弄清观察方向与俯视图行列的对应关系，再逐列（行）取最大值。 易错点 5：截面可以是七边形 典例：用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是七边形吗？请说明理由。 错解：可能。只要平面足够斜，截面就可以是七边形。 正解：不可能。截面多边形的每条边分别在正方体的一个面上，截面多边形的边数等于平面与正方体相交的面数；正方体只有 6 个面，所以截面最多是六边形。 原因：忽略隐含条件——只考虑”平面可以任意斜”，没有把截面的边数与”平面穿过几个面”建立联系。分析截面问题时，先数平面与几何体相交的面数，截面边数不可能超过几何体的面数。 易错点 6：直角三角形绕斜边旋转仍得圆锥 典例：将一块直角三角板绕它的斜边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆锥吗？ 错解：是圆锥。三角形绕一条直线旋转一周就得到圆锥。 正解：不是圆锥，得到的是两个圆锥的组合体：斜边上的高把原三角形分成两个小直角三角形，旋转后得到两个底面重合、顶点分别在原三角形两个锐角顶点处的圆锥。 原因：思维迁移错误——把”绕直角边旋转得圆锥”的结论随意推广到斜边。旋转体问题要先想清楚旋转过程中每个点到轴的距离如何变化：绕直角边时各点到轴的距离规律单一，绕斜边时距离随位置变化，必须分别讨论两部分。 学科网（北京）股份有限公司 $