1.5.1 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 旧知回顾 1．已知＝＝＝2，求的值(b＋d＋f≠0). 解：原式＝2. 2．相似三角形的判定定理有哪些？相似三角形有些什么性质？ 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 3．全等三角形的对应线段(如高、中线、角平分线)有怎样的关系？ 4．相似三角形的对应线段有怎样的关系？ 相等 对应线段的比等于相似比． 自学互研 知识模块一　探究与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质 思 考 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，AH，A'H'分别对应边BC，B'C'上的高，那么 = 吗？ A B C H A' B' C' H' A B C H A′ B′ C′ H′ 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B =∠B′. 又∠AHB =∠A′H′B′ = 90°， 因此△ABH∽∠A′B′H′. 所以 = 相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 归纳总结 类似地，可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，试证明＝k. 读教材，完成下面的内容： 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是BC和B′C′边上的高， ∴∠B＝____，∠ADB= ________ ． ∴_______ ∽_________ ． ∴AD∶A′D′＝AB∶A′B′＝k. 相似三角形对应边上 的高的比等于相似比． ∠B′ ∠A′D′B′ △ABD △A′B′D′ 想一想：相似三角形对应中线、角平分线的比与相似比有怎样的关系？ 相似三角形对应线段的关系： 相似三角形对应线段的关系：相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比． 例1 如图， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离. A B C D E P Q 解 因为 AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 如图 过点C作CD⊥PQ，交PQ的延长线于点D. 设CD交AB的延长线于点E， 典例分析 A B C D E P Q = . 因此 CE⊥AB，DE=40. 又 AB=100，PQ=120，DE=40， 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得， 因此CD = 240. 即点C到直线PQ的距离是240. 于是 = A B C D E P Q 例2 如图， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分 别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证： = 证明 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′. 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， A B C T A' B' C' T' 于是∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′， 因此 △ABT∽△A′B′T′， 所以 = . A B C T A' B' C' T' A B C T A' B' C' T' 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 同样可以证明其余两组对应角平分线的比也等于相似比. 结 论 议一议 A B C D A' B' C' D' 解：如图 由 △ABC∽△A′B′C′可得 ∠B=∠B′， = 又BD== , 已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 = 成立吗？由此你能得出什么结论？ 从而△ABD∽△A′B′D′. 所以 = . 则 = 于是 = A B C D A' B' C' D' A B C D A' B' C' D' 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 结 论 类似地，我们可以得到另外两组对应边上的中线也等于相似比. 【变例】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，矩形EFGH内接于△ABC，其长边FG在BC上，矩形相邻两边长的比为1∶2，AD交EH于点M.若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的面积． 知识模块二　相似三角形性质的应用 解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥FG，即EH∥BC. ∴△AEH∽△ABC. ∵AD⊥BC，EH∥BC， ∴AD⊥EH.易得MD＝EF. ∵矩形两邻边之比为1∶2. ∴设EF＝x cm，则EH＝2x cm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得 = . ∴ = ，解得x＝6， ∴EF＝6 cm，EH＝12 cm， ∴S矩形EFGH＝6×12＝72(cm2). 归纳总结 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 随堂检测 1.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. 所以 DN = 3cm. 解: 因为△ABC∽△DEF， 所以 = ，即 = 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm， 2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4， A′D′=3，BE=6，求B′E′的长. 解：因为 △ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线， A B C D E A' B' C' D' E' 所以 = ， = 因为 AD=4， A′D′=3， BE=6， 所以B′E′=4.5. A B C D E A' B' C' D' E' 所以 = 所以 = 3.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作EF∥CD交AD于点 E，若 AB = 6 cm，EF = 4 cm，求 CD 的长. （1）证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD， 所以∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF， 所以△CDF∽△BGF． （2）由（1）知△CDF∽△BGF， 又因为F是BC的中点， 所以BF=FC， 所以△CDF≌△BGF， 所以DF=FG，CD=BG. 又因为EF∥CD，AB∥CD， 所以 EF∥AG，AB+CD=2EF． 所以 AB+BG=2EF． 所以BG = 2EF－AB=2×4－6=2， 所以CD = BG = 2 cm． 课堂小结 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. $