2.4.2 与坡度、方位角有关的应用问题 （课件）-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.4 解直角三角形的应用 第2课时　与坡度、方位角有关的应用问题 情景导入 1．如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度是____(即线段____的长)，水平前进的距离是____(即线段____的长度). h MN l PM 2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在缉私艇的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位． 若可疑船只的位置不停移动，能否描述可疑船只的航线，探求其规律呢？ 自学互研 知识模块一　坡度、坡角问题 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？ 观 察 右边的路BD 陡些 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 如图，从坡脚点A上坡走到点B时，升高 的高度 h (即线段BC的长度)与水平前进的距离 l (即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示， 坡度通常写成 1∶m 的形式 坡度越大，山坡越陡． 图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α 坡度等于坡角的正切 = tan α 在情景导入的图中，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度____(即线段____的长)与水平前进的距离____(即线段____的长)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝____． 其中∠MPN叫作____ (即____与____的夹 角)，记作____． 练 习 h MN l PM 坡角 PM PN α 【例1】同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的 坡面角α，坝底宽 AD和斜坡AB的长 (精确到0.1m)． 解：过点B，C分别作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于点E，F， E F 在Rt△ABE和Rt△CDF中，＝，＝， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(m).FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m). ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)， AB＝＝ ＝23 ≈72.7 (m). E F ∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.333 3， ∴α≈18°26′. 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长度约为72.7 m． 知识模块二　方位角问题 例2：如图，一山坡的坡度 i = 1∶2 . 小华从山 脚 A 出发， 沿山坡向上到达点 B. 已知 A，B 两点间的直线距离为 240m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈ 0.5， sin26.57°≈ 0.447，结果精确 到0.1m)？ 解：由于坡度i =1∶2，即tan ∠BAC =0.5， 又 tan26.57°≈ 0.5，于是∠BAC ≈26.57°. 在Rt△ABC中， ∠C =90°，AB=240m ， 所以sin ∠BAC ≈ sin26.57°==, 因此 BC ≈ 240×0.447 ≈ 107.3(m) ． 答：小华从点 A 到点 B 高度上升了约107.3米． 又 sin26.57°≈ 0.447， 你还可以用其他方法求出BC吗？ 试一试：如图，你能准确描述下列方向吗？ OA：___________； OB： ___________ ； OC： ___________ ；OD： ___________ ． 南偏西65° 南偏东60° 北偏东45° 北偏西40° 归纳总结 在正确理解方位角的概念的基础上，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题． 【例2】在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图)，在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向，且与A相距40 km的B处；经过1 h 20 min， 又测得该轮船位于A的北 偏东60°方向，且与A相 距8 km的C处． (1)求该轮船航行的速度(结果保留根号)． (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由． 解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°， ∴∠BAC＝90°. ∴△ABC为直角三角形． ∵AB＝40 km， AC＝8 km， ∴BC＝＝ ＝16(km). ∵1 h 20 min＝ h． ∴16÷＝12(km/h). 答：该轮船航行的速度为12 km/h. (2)过点B作BR⊥l于R，过点C作CS⊥l于S，延长BC交l于T. ∵∠2＝60°， ∴∠4＝90°－60°＝30°. ∵AC＝8 km， ∴CS＝8·sin 30°＝4 km，AS＝8·cos 30°＝8×＝12(km). R S T ∵AB＝40 km， 又∵∠1＝30°， ∴∠3＝90°－30°＝60°. R S T ∴BR＝40×sin 60°＝20 km，AR＝40×cos 60°＝40×＝20(km). 易得△STC∽△RTB， ∴＝，即＝， 解得ST＝8. ∴AT＝12＋8＝20(km). 又∵AM＝19.5 km，MN＝1 km， ∴AN＝20.5 km. ∵19.5<AT<20.5， 故轮船能够正好行至码头MN靠岸． R S T 随堂检测 1. 一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 其中坡角为 α .已知屋顶的宽度 l 为 12m，坡屋顶的高度 h 为4m. 分别求屋顶斜面坡度、斜面 AB 的长度和坡角 α 的正弦值、余弦值. A B C h l α A B C h l α 解：设CB中点为D ，则由题意可知 在Rt△ABD中，AD = h= 4 m，BD= 由勾股定理得 D AB=＝ (m) 答：屋顶斜面坡度为 ，斜面AB的长度为 m，坡角α的正弦值为 ，余弦值为 . i=, , cos A B C h l α D 2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间 的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5.5，∠A=24°， 在Rt△ABC中， cos 所以AB== 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约6.0m． 3.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m， 坝高 23 m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡度i =1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽 AD 和斜坡 AB的长(精确到0.1m)． E F 解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， 所以 AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． =, =, 所以AD = AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． 因为斜坡AB的坡度i= ≈0.3333, 所以 α ≈ 18.43°. 因为 所以 ≈72.7（m） E F 答：斜坡AB的坡面角α为18.43°，坝底宽 AD为132.5m ，斜坡 AB的长为72.7m ． 4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度i=1∶ ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、 AC看成线段，结果保留根号) 解：过点 A 作 AD⊥BC于点D， 在Rt△ADC中，由i=1∶ 得, 所以 ∠C=30°． 所以ADAC=×240=120(m). 在Rt△ABD中，∠B=45°， D 所以AB=AD=120(m). 答：李强以12 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A． 1（240 24）=120 10=12(m/min). D 课堂小结 如图，从坡脚点A上坡走到点B时，升高 的高度 h (即线段BC的长度)与水平前进的距离 l (即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示， 坡度通常写成 1∶m 的形式 坡度越大，山坡越陡． 图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α 坡度等于坡角的正切 = tan α $