3.3 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.3 一元二次方程根的判别式 旧知回顾 1．一元二次方程的求根公式是_____________________________． x＝(b2－4ac≥0) 2．用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－1＝0；　　　　 解:(1)这里a=2,b=1,c= － 1. 因而b2 － 4ac=12 － 42 (－ 1)=9， ∴ x == 因此，原方程的根为x1=, x2=. (2)2x2－2x＋1＝0. 解:(1)这里a=2,b= － 2,c= 1. 因而b2 － 4ac=(－ 2)2 － 42 1= － 4， 此方程无解 自学互研 知识模块一　一元二次方程的根的判别式 在运用公式法解一元二次方程 时, 总是要求. 这是为什么？ 思 考 将方程配方后得到 由于,所以,因此我们不难发现: (1)当时, . 由于正数有两个平方根, 所以原方程的根为. 此时, 原方程有两个不相等的实数根. . (2)当时, . 由于 0 的平方根为 0, 所以原方程的根为. 此时,原方程有两个相等的实数根. (3)当时, . 由于负数在实数范围内没有平方根, 所以原方程没有实数根. 因此, 若要方程有实数根, 则必须为非负数. 叫作一元二次方程的根的判别式,记作“”, 即 . 归纳总结 综上可知, 一元二次方程的根的情况可由来判断: 当时,原方程有两个不相等的实数 根, ; 当时,原方程有两个相等的实数根, 其根为; 当时,原方程没有实数根. 方法总结： 推导依据:一元二次方程配方结果结合平方根的非负性展开分类讨论。 概念定义:把叫做一元二次方程的根的判别式。 对应关系:,有两个不相等实数根;,有两个相等实数根;,无实数根。 核心前提:研究判别式时,必须保证方程为一元二次方程,即。 观察情景导入中的T2，一元二次方程的根有哪几种情况？ 方程(1)的两个实数根_______(填“相等”或“不相等”)； 方程(2)的两个实数根_______(填“相等”或“不相等”)； 方程(3)____实数根(填“有”或“无”)． 做一做 不相等 相等 无 知识模块二　利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例:不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: (1); (2); (3). 解:(1)∵, ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)将原方程化为一般形式,得. 因为, 所以,原方程有两个相等的实数根. 解:(3)将原方程化为一般形式,得. 注意:要先将方程化为一般形式,才能确定的值. 因为, 所以,原方程没有实数根. 基础应用(判断根的情况):先将方程化为一般形式,确定计算,根据符号判定根的个数。 方法总结： 拓展应用(求参数取值):根据根的情况列出对应不等式(或等式),同时结合求解。 易错提醒:确定系数时包含数字前的符号;含参题型切勿遗漏二次项系数不为这一条件。 解题思想:全程运用分类讨论思想,依据的三种情况分类分析。 【例1】不解方程，判断下列方程根的情况： (1)5x2－4x＋2＝0.　(2)6x＋5＝7x2.　 (3)4x2＋4x＋10＝1－8x. 解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×2＝ －24<0， ∴原方程没有实数根． (2)将原方程化为一般形式，得7x2－6x－5＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×7×(－5)＝176>0， ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)将原方程化为一般形式，得4x2＋12x＋9＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝122－4×4×9＝0. ∴原方程有两个相等的实数根． 运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，再计算b2－4ac的值，从而确定根的情况． 点 拨 知识模块三　利用根的情况求一元二次方程中字母系数的值或取值范围 【例2】已知方程的根的情况，求字母的值(或取值范围)． (1)当m取什么值时，关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？ 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(m－2)＝12－4m＝0. 解得m＝3. (2)已知关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k＞0， 解得k>－1. 随堂检测 1.一元二次方程根的判别式的值是( ) A. B. C. D. C 2.对于一元二次方程,下列说法正确的是( ) A.方程无实数根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程有两个不相等的实数根 D.方程的根无法确定 C 3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则实数的值为( ) A. B. C. D. C 5.方程的根的情况是　　　　　　　　　　　　. 有两个相等的实数根 4.一元二次方程一十1=0的根的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)只有一个实数根 (D)没有实数根 D 6.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: (1) +3 -1=0; (2) -6 +9=0; (3)2y - 3y+4=0; (4) +5=2 . ∵, 解:(1) 有两个不相等的实数根 ∵ 解:(2) 有两个相等的实数根 ∵ (3) 没有实数根 ∵ (4) 有两个相等的实数根 课堂小结 根的判别式：Δ = b2 - 4ac Δ＞0，方程有两个不相等的实数根 Δ＜0，方程没有实根 Δ＝0，方程有两个相等的实根 知识点: 1.根的判别式定义:对于。 2.判别式与实数根的三种对应关系,是本节课核心结论。 3.不解方程判断根的方法:统一化为一般形式,计算判别式后判断。 4.由根的情况求字母参数的思路:根据的取值列不等式(等式),结合求解。 5.解题易错点:系数符号出错、忽略一元二次方程的限制条件。 6.数学思想:分类讨论思想、转化思想、严谨推理意识。 7.综合运用:结合三角形边长、代数式求值等背景,解决判别式拓展题型。 $