3.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.2 一元二次方程的解法 3.2.3 因式分解法 旧知回顾 1．一元二次方程的一般形式是： ________________ ． 2．因式分解常用的方法有哪些？将下列多项式因式分解． 　x2－2x＝________，2x(x－2)＋(x－2)＝ ___________ ． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) x(x－2) (2x＋1)(x－2) 3．我们已经学习了哪几种解一元二次方程的方法？说说各有什么特点？ 解：我们已经学过的一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法． 直接开平方法：根据平方根的意义直接求解． 配方法：先把方程中二次项系数变为1，左边加一次项系数绝对值一半的平方，配成一个完全平方式后，再求解． 公式法：当b2－4ac的值为非负数时，可用求根公式求解，当b2－4ac的值小于零时，无实根． 4．解一元二次方程的基本思路是什么？ 将一元二次方程转化为 两个一元一次方程，即降次． 自学互研 知识模块一　用因式分解法解一元二次方程 解方程:. 对于方程,用已学过的配方法,公式法都能求出它的解.由于该方程右边为0,左边的多项式可以进行因式分解,于是还可以采用下述方法求解: 做一做 原方程可写成. 像上面这样,利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 由此得或, 即 若ab=0，则a=0或6=0. 试用公式法解方程,并与因式分解法进行比较,你觉得用哪种方法更简单? 公式法: 则, 代入求根公式. 解得 解:, 因式分解法: 原方程可写成. 由此得或, 即 对比两种解法,因式分解法步骤更少、计算量更小,解题更加简便。 公式法需要确定系数、计算判别式、代入公式,流程相对繁琐; 该方程结构适合因式分解,优先选择因式分解法。 方法总结： 理论依据：两个因式的积为,则至少其中一个因式为0,即或。 01 因式分解法定义：将一元二次方程左边因式分解、右边化为 0,进而转化为一元一次方程求解的方法。 02 核心思想：降次转化,把二次方程转化为两个一元一次方程,简化运算。 03 适用场景：方程左边易因式分解、结构简洁的一元二次方程。 04 例7:用因式分解法解下列方程： (1); 解:(1)移项可得, 把方程左边因式分解可得, 即, 由此得或。 因此,原方程的根 . 解:(2)移项可得, (2); 把方程左边因式分解可得, 由此得或。 因此,原方程的根. 解:(3)原方程可化为. (3). 把方程左边因式分解可得, 由此得或. 因此,原方程的根 . 例8:用因式分解法解方程：. 解：配方,得, 因而 把方程左边因式分解可得, 即, 由此得或。 因此,原方程的根. 由例8可以看出, 若我们能把方程的左边进行因式分解后,写成,则 和 就是方程的根. 反过来, 如果 和是方程的根, 则方程的左边就可以分解成. 标准解题步骤：移项（右边化为 0）→因式分解→分别令因式为 0→解一元一次方程。 常用分解技巧：优先使用提公因式法、平方差公式,简单二次三项式可尝试十字相乘法。 方法总结： 易错警示：解方程时严禁两边直接除以含未知数的因式,避免丢失根;注意符号书写规范。 解法选择：方程易分解时,因式分解法相比配方法、公式法更简便快捷。 (1)若p·q＝0，则_______或_______； (2)若x(x－2)＝0，则_______或__________，解得x1＝____，x2＝____； (3)若(2x＋1)(x－2)＝0，则__________或_________，解得x1＝____，x2＝____． 做一做 p＝0 q＝0 x＝0 x－2＝0 0 2 2x＋1＝0 x－2＝0 － 2 因式分解法解一元二次方程的方法:　 归纳总结 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法． 因式分解法解一元二次方程的基本思路是降次，也就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程． 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)3x2－6x＝0； 解：把方程左边的多项式因式分解， 得3x(x－2)＝0， 由此得3x＝0或x－2＝0. 解得x1＝0，x2＝2. (2)x(2x＋3)－4x＝0； 解：原方程可化为2x2－x＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得x(2x－1)＝0， 由此得x＝0或2x－1＝0. 解得x1＝0，x2＝. (3)2x(x－3)＋x＝3. 解：原方程可化为2x(x－3)＋(x－3)＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得(x－3)(2x＋1)＝0， 由此得x－3＝0或2x＋1＝0. 解得x1＝3，x2＝－； 知识模块二　选择适当的方法解一元二次方程 前面已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程,但在具体问题中,要根据方程的特点,选择合适的方法来求解. 做一做:下列方程用哪种方法求解较简便?说说你的理由. (1); (2); (3). 解:(1):因式分解法:把方程左边因式分解可得, 由此得或。 因此,原方程的根. 公式法:这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根. 配方法:配方,得, (1)采用因式分解法更简便,因为计算更简便. 因此. 由此得 或. 解得. 解:(2)公式法:这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根. 配方法:将二次项系数化为1,得:, 移项得. 配方,得, 因此. 由此得或. 解得,. (2)采用公式法更简便,只需要将对应的系数代入求解即可。 解:(3)因式分解法: 解:移项可得, 把方程左边因式分解可得 , 由此得或。 因此,原方程的根为 . 公式法:解:移项可得, (3)采用因式分解法更简便,因为计算更简便. 这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根. 解题总原则:先观察方程结构特征,优先选择简便解法,遵循“由简到繁”的选用顺序。 方法总结： 解法选用顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。 结构判断技巧:方程形如,首选直接开平方法；左边易因式分解、右边为0,首选因式分解法；无明显分解特征,选用公式法；特定系数结构可选用配方法。 核心思想:所有解法本质均为降次,将二次方程转化为一元一次方程求解。 例9:选择合适的方法解下列方程: (1); (2); (3). 解:(1)将方程左边因式分解可得, 由此得或 解得. 解:(2)这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根为. 解:(3)原方程可化为, 即, 由此得或. 解得,. 议一议:用自已的语言总结解一元二次方程的基本思路,并与同学交流. 解一元二次方程的基本思路都是: 将一元二次方程转化为一元一次方程,即降次,其本质是把方程的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积,即, 于是原方程可以写成. 由此得出,或. 于是和是方程的两个根. 通用解题流程:先整理方程,将右边化为0；再观察结构选择解法,最后规范求解并检验。 高频易错点:严禁方程两边直接除以含未知数的因式,避免丢失根；移项、因式分解时注意符号变化。 拓展技巧:遇到整体重复的代数式,可采用整体思想简化因式分解与计算。 补充说明:配方法一般用于配方求值、推导公式,日常解方程较少作为首选。 你打算用什么方法解下列一元二次方程？ ①(2x＋1)2＝3；________________ ②t2－3t＝0；___________________ ③y2－6y＋1＝0；________________ ④(5x－1)2＝3(5x－1)._____________ 做一做 直接开平方法 因式分解法 公式法或配方法 因式分解法 归 纳 若给定的方程易化为(mx＋n)2＝a(a≥0)的形式，可用直接开平方法； 若给定的方程易于因式分解，可用因式分解法； 公式法和配方法适合所有一元二次方程，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙． 怎样才能找到解一元二次方程的最佳方法？ 【例2】解一元二次方程x2＋x－3＝0最合适的方法是 ( ) A．直接开平方法　　　　　　　　 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 D 在解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法解一元二次方程； 点 拨 其次考虑因式分解法，因为这种方法最快捷； 再次考虑配方法和公式法． 而在使用直接开平方法求解和因式分解法时，经常用到整体思想． 【例3】用适当的方法解下列方程： (1)4x2－3x＝0； 解：把方程左边的多项式因式分解，得x(4x－3)＝0. 由此得x＝0或4x－3＝0， 解得x1＝0，x2＝. (2)3(x＋1)2＝3.63； 解：原方程左右两边同除以3，得(x＋1)2＝1.21. 根据平方根的意义，得x＋1＝1.1或x＋1＝－1.1. 因此，原方程的根为x1＝0.1，x2＝－2.1. (3)x2＋4x－1＝0； 解：配方，得x2＋4x＋22－22－1＝0， 因此(x＋2)2＝5. 由此得x＋2＝或x＋2＝－， 解得x1＝－2＋，x2＝－2－. (4)x2－5x＋1＝0. 解：这里a＝1，b＝－5，c＝1. 因而b2－4ac＝(－5)2－4×1×1＝21＞0， ∴x＝＝， 因此，原方程的根为x1＝，x2＝. 在解一元二次方程时，应注意： 点 拨 ①我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选取合适的方法解一元二次方程，有利于减少计算量，从而提高计算的正确性． ②在用公式法求解时，先计算b2－4ac的值，若它小于0，则此方程无实根． 随堂检测 1.方程的解是( ) A. B. C. D. 2.方程的解是( ) A. B. C. D. B A 3.下列方程中适宜用配方法解的是(　　) A. B. C. D. A 4.方程的解是( ) A. B. C.或 D.或 5.一元二次方程的两根分别为 . D 6.用因式分解法解下列方程: (1) x2-7x=0; (2) x(x-3)=5x; (3) 4x2-20x+ 25=0; (4)(x+1) 2-4=0. 解：（1）x （x-7）=0 解得x1=0, x2=7 （2）x （x-3）-5x=0 x （x-8）=0 解得x1=0, x2=8 解：（3）（ 2x -5 ）²=0 解得x1= x2= （4）（ x +1+2 ）（ x +1-2 ）=0 解得x1= -3, x2= （ x +3 ）（ x -1）=0 7用因式分解法解下列方程: (1)2x (x-1)=1- x; (2) 5x (x+2)=4x+8; (3)(x-3) 2-2=0; (4) x2 +6x+8=0. 解:（1） 2x（ x -1）+（ x -1 ）=0 解得x1= 1, x2= （ x -1）（ 2x +1）=0 解:（2） 5x（ x +2）-4（ x +2）=0 解得x1= -2, x2= （ x +2）（ 5x -4）=0 解得x1=3 -, x2= （3） （ x -3+）（ x -3-）=0 解得x1=-2, x2= （4） （ x +2）（ x +4）=0 8.选择合适的方法解下列方程: (1) 3 x2 -4x=2x; (2) (x+3)=1; (3) x2 +(+1) x=0; (4) x(x-6)=2(x-8); (5) (x+1)(x-1)=2x; (6) x(x+8)=25; (7) (x+2)(x一5)=1; (8) (2x+1) 2 =2(2x+1). 解:（1） 3 x2 -6x =0 解得x1= 0, x2= 3x （ x -2）=0 （2） （ x +3） 2 =3 解得x1= , x2= x +3 = （3） x （ x ++1） =0 解得x1= 0, x2=-1 （4）整理 x2+16=0 （ x -4） 2 =0 解得x1 = x2= （5）整理 x2-1=0 公式法： 解得x1 = ，x2= 得x= （6）整理 x2-25=0 公式法： 得x= 解得x1 = ，x2= （7）整理 x2-11=0 公式法： 解得x1 =，x2= （8）整理 （2x+1）2=0 （2x+1）=0 解得x1 =-，x2= 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 一元二次方程的解法 方法 配方法 因式分解法 基本思路：降次 直接开平方法 公式法 $