3.2.2 公式法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.2　一元二次方程的解法 3.2.2　公式法 旧知回顾 用配方法解一元二次方程2x2－7x＋3＝0. 解：将二次项系数化为1，得x2－x＋＝0. 配方，得x2－x＋()2－()2+＝0， 因此（ x － ）²=， 由此得x－＝±， 解得x1＝3，x2＝. 自学互研 知识模块一　一元二次方程的求根公式 探究: 运用配方法解一元二次方程时,对于每一个具体的方程,都重复使用了一些相同的计算步骤,这启发我们去探索：能不能对一般形式的一元二次方程使用配方法,求出这个方程的根呢？ 对于方程 ① 为了便于配方,在方程①的两边除以,得 . 把方程的左边配方,得 , 因此. ② 当时,方程②可化为: . 思考:为什么要加上? 完全平方式的结构特征:首平方,尾平方,积的二倍在中央. 根据平方根的意义,得 或, 解得:, . 于是,一元二次方程 在的条件下,它的根为: . ③ 叫作一元二次方程的求根公式. 归纳总结 由求根公式可知,一元二次方程的根由方程的系数 决定,这也反映出了一元二次方程的根与系数之间的一个关系. 运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法总结： 将一元二次方程整理成一般形式; 确定公式中的值; 求出 的值; 当时,将的值及的值代入求根公式即可;当时,方程无实数根. 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，探究求根公式： 因为a≠0，方程两边都除以a，得_______________． 做一做 x2+x+＝0 把方程的左边配方，得________________ ________________， x2+x+（）²－ （）²+＝0 即(x +____)2 － _______＝0. (若b2－4ac≥0，请继续完成) 原方程可化为(x ) 2 ＝ () 2. 由此得出：x+＝或x+＝－. x＝或x＝. (若b2－4ac<0，则此方程无解). 用公式法解一元二次方程的一般步骤: 由上可得，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在b2－4ac≥0的条件下， 归纳总结 它的根为：x＝(其中b2－4ac≥0)， 通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式． 用这个公式直接解一元二次方程的方法叫公式法． 知识模块二　用公式法解一元二次方程 解:(1)这里. 例5:用公式法解下列方程: (1); (2). 因而. 所以. 因此,原方程的根 . 解:(2)移项得, 这里. 因而. 所以. 因此,原方程的根. 例6:用公式法解下列方程:. 解:这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根 . 公式法解题标准步骤:化为一般形式→确定→计算判别式→代入公式求解。 方法总结： 判别式作用:有两个不相等实数根;有两个相等实数根;无实数根。 易错提醒:提取时必须保留原有符号,计算根式与分式要化简彻底。 【例】解方程：x(x－6)＋18＝9. 解：将方程化为一般形式，得x2－6x＋9＝0. 这里a＝1，b＝－6，c＝9. 因而b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0， ∴x＝ ＝3. 因此，原方程的根为x1＝x2＝3.0 知识模块三　黄金分割比 解:设,那么. 思考:如图,我们已经知道,若,则称为黄金分割比,且其数值为.问:这个数值是如何求出的? 因为, 所以, 解得, (不合题意,舍去). 即. 所以. 实际问题解题思路:分析题意→列一元二次方程→整理一般式→公式法求解→结合实际取舍根。 方法总结： 解法选择:无特殊要求时,公式法通用性强,适用于所有可解的一元二次方程。 拓展要点:求出方程根后,需结合实际意义舍去不合理的解。 【例】已知线段AB＝10 cm，点C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，求AC的长． 解：由黄金分割比的定义，得AC＝AB· ＝5(－1)≈6.18 cm. 随堂检测 1.用公式法解一元二次方程时,化方程为一般式当中的依次为( ) A. B. C. D. A 2.用公式法解方程,其中求得的值是( ) A.16 B.±4 C.32 D.64 3.当满足时,方程的根是( ) A. B.C. D. D D 4.方程的解是_______________. 5.已知等腰三角形的一腰为,周长为,则方程的根为____________. 6.定义,则方程的解为______________________. . 7.用公式法解下列方程: (1) x2－6x+1=0; (2) 2 x2 －x=6; (3)4 x2 －3x － 1=x－2; (4) 3x (x－3)=2(x－1)(x+1). 解：求根公式：x＝， 先化成标准形式a x2 +bx+c=0（ a ）， 算出判别式 解：（1）a=1，b= － 6，c=1 = = x= = =3 2 ， x1＝3+2，x2＝3 2. 解：（2）整理得2 x2 －x － 6=0 a=2，b= － 1，c= － 6 = x= = x1＝2，x2＝ 解：（3）整理得4 x2 －4x + 1=0 a=4，b= － 4，c= 1 = x= = x1＝ x2 解：（4）整理得 x2 －9x + 2=0 a=1，b= － 9，c= 2 = x= x1＝, x2 8.已知关于的一元二次方程,其中分别为三边的长. (1)若是方程的根,求证:是等腰三角形; (2)若方程有两个相等的实数根,试判断的形状,并说明理由. 解:(1)是一元二次方程的根, , , 是等腰三角形; (2)是直角三角形,理由如下: 方程有两个相等的实数根, , , , 是直角三角形. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 根的判别式 b2 - 4ac x＝ 1.求根公式:由配方法对一元二次方程一般式推导得出,是解方程通用方法。 2.根的判别式:,可直接判断实数范围内方程根的个数。 3.公式法解题流程:先将方程整理为 ,再依次确定系数、计算判别式、代入公式计算。 知识点 4.系数判定要求: a、b、c包含本身正负符号,a 恒不为 0。 5.根的取舍:解决实际问题时,方程的根需符合现实意义,舍去无效解。 6.数学思想:延续配方法的降次、化归思想,同时渗透数学建模思想。 7.解法对比:公式法适用范围更广,是一元二次方程核心解法之一。 $