4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 等差数列的 前n项和公式 (第1课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养. 通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养． 通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 目录 CATALOG 01.等差数列前n项和公式 03.应用新知 02.等差数列前n项和的性质 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 01 等差数列 前n项和公式 导入新知1：生活情境——高斯求和故事 说到等差数列求和，一定要认识一个人——高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的美誉。200多年前，高斯10岁的时候，他的算术老师提出问题：求1 + 2 + 3 + … + 100的值。高斯同学的算法：逐项相加，1 + 2 = 3，3 + 3 = 6，6 + 4 = 10，……（计算较慢）； 高斯的算法：1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 × 50 = 5050。 思考：高斯算法有何巧妙？ 追问：能否推广？变式题1：求1 + 2 + 3 + … + n的值； 变式题2：求4 + 5 + 6 + … + 10的值。高斯算法能否优化？如何优化？ 导入新知2：生活情境——存钱罐储蓄计划 小明计划养成储蓄的好习惯，第1个月往存钱罐里存10元，以后每个月都比上个月多存2元，即第2个月存12元，第3个月存14元，……，第12个月存32元。 思考：小明一年（12个月）一共能存多少钱？你能用简单的方法算出来吗？ 追问：为什么首尾配对每对和都相等？这对一般等差数列求前n项和有什么启发？ 引入新知 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉. 借助AI看看高斯的正面 引入新知 高斯同学的算法：逐项相加, 思 考 高斯算法有何巧妙？ 高斯算法能否优化？ 能否推广？ 引入新知 思 考 高斯算法如何优化？ 新课探究 操作 倒序相加法求和 新课探究 若是等差数列，若，则. 思考 数列是一个等差数列，那么等差数列的前n项和是否也可以用此方法求？ 新课探究 等差数列前n项和公式 公式辨析 新课探究 联立 思考 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（3）吗？ 牛刀小试 利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 牛刀小试 利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 02 等差数列前n项和的性质 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 新课探究 等差数列前n项和公式推导 新课探究 函数观点 新课探究 等差数列前n项和的性质 思考： 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用、等差数列片段和的性质及应用 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和 牛刀小试 由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 03 应用新知 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 应用新知 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. 题目条件 建立方程（组） 方程（组） 求出未知量 注意整体 代入思想 等差数列的通项公式 等差数列的前n项和公式 (2)利用等差数列的性质解题. 正整数满足， 则 简化计算 04 题型强化训练 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 重要题型专练 题型一 等差数列五个基本量“知三求二” 例题 重要题型专练 题型一 等差数列五个基本量“知三求二” 例题 重要题型专练 题型二 由前n项和判断数列是否是等差数列 例题 重要题型专练 题型二 由前n项和判断数列是否是等差数列 例题 重要题型专练 题型三 公式法求等差数列的和 例题 重要题型专练 题型三 公式法求等差数列的和 例题 重要题型专练 题型三 公式法求等差数列的和 例题 重要题型专练 题型四 等差数列“和比”求“项比” 例题 重要题型专练 题型四 等差数列“和比”求“项比” 例题 重要题型专练 题型五 倒序求和法的应用 例题 重要题型专练 题型五 倒序求和法的应用 例题 重要题型专练 方法总结 方法规律：倒序求和法的适用条件 05 真题感知 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 课堂小结 化归转化思想，方程思想. 等差数列的 前n项和 倒序求和： 应用 等差数列基本量的计算 累加法求通项 倒序求和 作业 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、3题. 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第3题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第3题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第3题.） 详解 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· 200多年前，高斯10岁时，他的算术老师提出问题： 高斯的算法： 变式问题1： 高斯算法： 变式问题2： 变式问题1： 令 ①+②得： 所以 用优化后的方法，解决变式问题2： 令 得： 所以，即 得 等差数列的前项和公式——（1） ①对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项 和末项，就可以求得前项和． ②将（1）变形可得，所以就是等差 数列前项的平均数． 等差数列的前项和公式——（1） 等差数列的通项公式 ——（2） （2）代入公式（1），可得 【详解】根据等差数列的前项和公式，， 所以，解得.故选：A. 1.（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【详解】因为，解得，又， 所以.故选：C. 2.（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）记等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解等差数列中， 由，可得， 由得，两边用首项和公差表示，得，化简可得，因为，所以，故选：C 3.（25-26高二上·湖北·期末）等差数列中（公差不为零），前项和为， 若，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【详解】设公差为，则， 解得，所以.故选：A. 4.（福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 且，则，可得公差，所以.故选：B. 5.（26-27高三上·山西太原·阶段检测）记为等差数列的前项和，，，则（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 ——（3） ——（3） 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数， 简记为：，其中. 将公式（3）整理得： ——（4） 若等差数列的前n项和，则数列为等差数列吗？ 如果是，表示出其首项和公差. 设的首项为，公差为，则， 所以，， 所以， 所以，数列为等差数列，公差为，首项为. 【详解】记数列为，前项和为，则，得，公差，所以.故选：A. 6.（25-26高三上·湖南湘西·期末）若一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，则该数列的首项为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：.故选：D. 7.（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【详解】设等差数列的公差为，， 由及，得，又，所以，化简得（1），又， ， 所以（1）式化简得，由于，故，解得.故选：C. 8.（25-26高二下·广东江门·期中）在公差不为0的等差数列中，若，则（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即，所以.故选：A. 9.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，所以当时，，当时，，所以， 当时，满足，所以，故选：A. 10.（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 例1：已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 对于等差数列的前n项和公式的相关量,,,,中， 已知三个量就可以确定其他量，即知三求二 例1：已知数列是等差数列． （1）若，，求； 对于（1），可以直接利用公式求和. 解：（1）因为，，根据公式， 可得． 例1：已知数列是等差数列． （2）若，，求； （2） 中，可以先利用和的值求出，再利用 公式求和； 解: 因为，，所以．根据公式， 可得． 例1：已知数列是等差数列． （3）若，，，求． （3） 已知公式中的，和， 解方程即可求得． 解：把，，代入， 得 例1：已知数列是等差数列． （3）若，，，求． （3） 已知公式中的，和， 解方程即可求得． 整理，得． 所以． 解得，或(舍去)． 解： 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 解：（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 解：（2）由(1)知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以(倒序)， 又由(1)得，所以，所以. 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可 采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和， 这一求和方法称为倒序相加法. 1.（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 因为等差数列中，，， 所以，即， 所以，故选：A 2.（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 因为， 所以. 故选：C. 3.（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 4.（25-26高二下·广东潮州·期末）已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 由题意得：，所以，解得， 所以. 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （1） 因为等差数列中，，，， 所以，； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （2）因为等差数列中，，，，所以 ，解得； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （3）因为等差数列中，，，，所以 ，整理得， 解得，或（舍去），； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （4）因为等差数列中，，，， ，. 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （1）通项公式为，所以， （2）通项公式为，所以， 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （3） 因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数， 故最小是100，最大是995， 所以， 故和为， 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100， 所以在小于100的正整数中共有13个数被7整除余2， 每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7， 所以. $