专题26 抛物线（练习）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题26 抛物线 1．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据焦半径公式直接代入求解即可. 【详解】由题，抛物线：的焦点为， 因为点到焦点的距离为6，设， 所以，解得， 所以点的横坐标为4. 2．点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得抛物线的焦点为， 由两点间距离公式得距离为，故B正确. 3．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用点坐标计算出，再根据焦点到准线的距离公式即可求解. 【详解】点在抛物线上，代入可得：， 解得：，所以焦点到准线的距离为. 4．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 5．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 6．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于抛物线的准线方程为，抛物线的准线方程即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为， 则的准线方程为：. 故选：B 7．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A． B． C．（1,0） D．（0,1） 【答案】A 【详解】试题分析：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线方程为，焦点坐标为 故选A． 考点：抛物线的简单性质． 8．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用抛物线的焦点坐标为，即可求出的值. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以， 故选：B 9．以原点为顶点，轴为对称轴，并且经过的抛物线的标准方程为________． 【答案】 【解析】设抛物线的标准方程,再代入求解即可. 【详解】由题,设抛物线方程为,代入有. 故抛物线. 故答案为： 10．求过点 的抛物线的标准方程． 【答案】或 【分析】（对于抛物线，需要根据点的位置判断抛物线的开口方向，设出相应的标准方程，再代入点的坐标求出参数. 【详解】因为点 在第二象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或， 将点 代入，得 解得 所以抛物线方程为 将点 代入，得 解得， 所以抛物线方程为， 综上，所求抛物线的标准方程为 或. 11．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【答案】(1) ，准线的方程为； (2) 【分析】（1）对照抛物线标准形式求出，直接推导焦点坐标和准线方程； （2）先写出过焦点的直线方程，与抛物线联立后用韦达定理结合抛物线定义求解弦长. 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 12．已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的定义和点的坐标列方程组，求解方程组即可； （2）设直线方程，联立方程，结合韦达定理可求面积表达式，结合面积的值可求答案. 【详解】（1）因为的准线方程为，由定义可得， 又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得， 所以的方程为. （2）由 （1）知焦点， 设直线 l 的方程为，与抛物线 联立得. 设 ，由韦达定理得：, △OAB 的面积为：, 解得，所以直线 l 的方程为：或. 1．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 2．抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则， 由于，故. 3．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 4．抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将给定抛物线方程转化为开口向上的抛物线标准形式，再结合标准方程对应的焦点坐标公式计算即可． 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式：， 可得，解得， 因此焦点坐标为． 5．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 6．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂直平分线性质和抛物线定义，从而求出交点坐标. 【详解】如图所示： 由题意可知，抛物线的准线为：，点在抛物线的准线上， 设线段的垂直平分线与抛物线的交点为，则有，由抛物线定义可知， ，则，可得，所以交点. 7．抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据抛物线的定义，得到，即可求解. 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即， 由抛物线，可得焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，可得，即，解得， 所以抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是. 故选：A. 8．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 9．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【答案】 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程， 得，解得. 所以抛物线的方程为，即， 其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 10．若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 11．设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． (1)若与有且仅有一个公共点，求的方程； (2)若与交于，两点，且，求的面积． 【答案】(1)或或． (2) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据判别式即可求解， （2）根据韦达定理可得，，进而根据向量数量积的坐标运算求解，由面积关系即可求解. 【详解】（1）由题设得，． 若与轴垂直，此时与只有一个交点． 若与轴不垂直，设．由得． 因为与有且仅有一个公共点，所以，故．此时的方程为或． 综上，的方程为，或． （2）由（1）得，即．设，， 则 ，． 因为，所以，整理可得 ， 代入可得．所以的面积    12．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程及焦点的坐标； (2)求以线段为直径的圆的方程； (3)不过原点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，若为线段的中点，且，求直线的方程． 【答案】(1)，焦点 (2) (3) 【分析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可； （2）利用代入法，结合中点的坐标公式、圆的性质进行求解即可； （3）设出直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）由抛物线的性质可得：，解得， 抛物线的方程为：，焦点； （2）由点在抛物线上，得，，解得，， 又焦点，线段的中点坐标为， 以线段为直径的圆的方程为： 即； （3）是的中点，且，， 由题意设直线的方程为，，，， 联立整理可得， 则，可得，且，， 则， 由，得，即，解得或（舍）， 直线的方程为． 1.（2025·天津·真题T13）抛物线的准线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，先确定焦点的位置和的值，再写出准线方程. 【详解】由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且， 因此，准线方程为. 故答案为： 2.（2024·天津·真题T12）已知抛物线的焦点坐标为，则_______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标为可解得. 【详解】对于，焦点坐标为. 因此由，解得. 故答案为：12. 3.（2026·天津·真题T18）椭圆的左顶点为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M是椭圆上一点，求的周长； （3）抛物线的焦点F是椭圆C的右顶点，N是抛物线准线上一点，直线NF与抛物线交于一点Q，且满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的顶点及焦点坐标可得和的值，进而求出，据此可得解； （2）由椭圆的定义可得，结合，据此可求解； （3）由抛物线的焦点坐标公式，可得抛物线方程及准线方程，设，，根据向量的线性运算的坐标表示，求出，再利用抛物线的定义可求解. 【小问1详解】 由题可知：，， 所以， 所以椭圆C的标准方程； 【小问2详解】 根据椭圆的定义，可得， 又因为， 所以的周长为； 【小问3详解】 由（1）可知，椭圆C的右顶点为， 因为抛物线的焦点， 所以，解得， 所以抛物线方程为，其准线为. 设，，已知，则 ，， 由可得， 所以，解得， 所以. 19.（2023·天津·真题T18）已知椭圆方程，点． （1）求离心率及焦点坐标； （2）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （3）写出以椭圆左焦点为焦点的抛物线标准方程，并在抛物线上求一点，使得． 【答案】（1），焦点坐标 （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，结合的关系，离心率的公式即可求解. （2）根据直线点斜式方程，斜率公式即可求解. （3）先由焦点写出抛物线方程，根据抛物线的方程，向量垂直的内积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由椭圆方程得，焦点在轴上，且. 则，解得. 所以焦点坐标为，离心率. 小问2详解】 由题意得，直线的倾斜角为，则斜率为. 又直线经过点，则，即. 所以经过点且倾斜角为的直线的方程. 【小问3详解】 由（1）得，椭圆的左焦点为，即抛物线的焦点为. 所以，解得，所以抛物线的标准方程. 设点，又，， 则. 因为，所以. 解得，所以，即点或. 所以抛物线上的点或使得. 20.（2022·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的焦点坐标 （2）顶点在坐标原点，椭圆右焦点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 （3）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点，求以为直径的圆的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程可得，根据a，b，c的关系即可求出c的值，即可求出椭圆的焦点坐标. （2）由（1）结合题意可知抛物线的焦点为，设抛物线的标准方程为，则，即可求出抛物线的方程. （3）由题可知在抛物线方程中令，即可求出P，Q两点的坐标，根据两点间的距离公式和线段中点坐标公式求出圆心和半径即可求解. 【小问1详解】 由椭圆得，则， 由椭圆方程可知椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 【小问2详解】 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，即抛物线的焦点为， 设抛物线标准方程为，则，即， 所以抛物线的标准方程. 【小问3详解】 椭圆的右焦点坐标为，抛物线的标准方程， 因为过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点， 则令，解得或，则P，Q两点的坐标分别为， 所以，P，Q两点的中点坐标为， 所以以为直径的圆的半径为6，圆心坐标为， 则圆的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题26 抛物线 1．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A． B． C．（1,0） D．（0,1） 8．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．以原点为顶点，轴为对称轴，并且经过的抛物线的标准方程为________． 10．求过点 的抛物线的标准方程． 11．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 12．已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 1．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 7．抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是（   ） A．4 B．6 C． D． 8．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 9．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 10．若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 11．设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． (1)若与有且仅有一个公共点，求的方程； (2)若与交于，两点，且，求的面积． 12．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程及焦点的坐标； (2)求以线段为直径的圆的方程； (3)不过原点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，若为线段的中点，且，求直线的方程． 1.（2025·天津·真题T13）抛物线的准线方程是___________. 2.（2024·天津·真题T12）已知抛物线的焦点坐标为，则_______________． 3.（2026·天津·真题T18）椭圆的左顶点为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M是椭圆上一点，求的周长； （3）抛物线的焦点F是椭圆C的右顶点，N是抛物线准线上一点，直线NF与抛物线交于一点Q，且满足，求． 19.（2023·天津·真题T18）已知椭圆方程，点． （1）求离心率及焦点坐标； （2）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （3）写出以椭圆左焦点为焦点的抛物线标准方程，并在抛物线上求一点，使得． 20.（2022·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的焦点坐标 （2）顶点在坐标原点，椭圆右焦点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 （3）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点，求以为直径的圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $