专题26 抛物线（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题26 抛物线 【复习目标】 1. 掌握抛物线的概念、标准方程和性质； 2. 掌握直线与抛物线的位置关系； 3. 能灵活运用它们解决有关问题. 【考点1 抛物线的定义】 1、平面上与一个定点F和一条不经过点F的定直线l的距离________的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的_______，定直线l叫作抛物线的_______． 2、设直线l为准线，点F为焦点，点P为抛物线上一点，点P到直线l的距离为|PM|，则有_______，其中点F到直线l的距离|KF|＝_______. 【即时训练】 1．若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 4．抛物线上的点到的准线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 7．抛物线的焦点到准线的距离是__________；其准线方程是__________． 8．已知为抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离是到轴的距离的2倍，则点的纵坐标为___________． 【考点2 抛物线的标准方程和几何性质】 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 顶点 _______ 焦点 _______ _______ _______ _______ 准线方程 _______ _______ _______ _______ 离心率 e＝_______ 焦点弦的性质 ①通径公式:|AB|=2p；② 特别提醒：(1)在抛物线的几何性质中，p的几何意义是焦点到准线的距离，p的值恒为正． (2)抛物线的标准方程有四种形式，每种方程对应的焦点坐标、准线方程、抛物线的开口方向等都不相同，在学习过程中，利用数形结合思想，学会分析、总结，而不是死记硬背． (3)抛物线的性质都是通过标准方程体现的，因此，在解题前一定要注意方程是否为标准方程. (4)设点P(x，y)为抛物线上任意一点，则有|PF|＝|x|＋ (焦点在x轴上)或|PF|＝|y|＋(焦点在y轴上). 【即时训练】 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 3．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A． B． C．（1,0） D．（0,1） 5．若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 6．抛物线经过点，其标准方程为_______. 7．平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 8．抛物线焦点坐标是，则______． 9．已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 10．已知抛物线：（）经过点，求抛物线的焦点的坐标； 11．求满足下列条件的曲线的标准方程 (1)顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程 12．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 1、直线与抛物线的位置关系有：_______、_______和_______． 2、判定： （1）当直线与抛物线的对称轴不平行时， 联立直线和抛物线的方程得化为一个关于x或y的一元二次方程， 根据判别式Δ进行判断： ①Δ＞0⇔直线与抛物线_______； ②Δ＝0⇔直线与抛物线_______； ③Δ＜0⇔直线与抛物线_______． （2）当直线与抛物线对称轴平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，尽管此时只有一个解，但直线与抛物线是相交而不是相切． 【即时训练】 1．直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 3．直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 4．已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于M，N点，与、分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN（    ） A．总是互相垂直 B．总是互相平分 C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确 1.（2025·天津·真题T13）抛物线的准线方程是___________. 2.（2024·天津·真题T12）已知抛物线的焦点坐标为，则_______________． 3.（2026·天津·真题T18）椭圆的左顶点为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M是椭圆上一点，求的周长； （3）抛物线的焦点F是椭圆C的右顶点，N是抛物线准线上一点，直线NF与抛物线交于一点Q，且满足，求． 19.（2023·天津·真题T18）已知椭圆方程，点． （1）求离心率及焦点坐标； （2）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （3）写出以椭圆左焦点为焦点的抛物线标准方程，并在抛物线上求一点，使得． 20.（2022·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的焦点坐标 （2）顶点在坐标原点，椭圆右焦点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 （3）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点，求以为直径的圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题26 抛物线 【复习目标】 1. 掌握抛物线的概念、标准方程和性质； 2. 掌握直线与抛物线的位置关系； 3. 能灵活运用它们解决有关问题. 【考点1 抛物线的定义】 1、平面上与一个定点F和一条不经过点F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 2、设直线l为准线，点F为焦点，点P为抛物线上一点，点P到直线l的距离为|PM|，则有|PM|＝|PF|，其中点F到直线l的距离|KF|＝p. 【即时训练】 1．若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 2．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】点到抛物线焦点的距离为4，，. 3．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 4．抛物线上的点到的准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线得，， 准线方程为， 点到的准线的距离为. 5．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 所以点到的焦点的距离等于它到准线的距离即：. 6．下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【分析】根据抛物线的定义逐一判断即可. 【详解】由抛物线的定义易得①②是真命题； 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 7．抛物线的焦点到准线的距离是__________；其准线方程是__________． 【答案】 x=1 【详解】抛物线的焦点，准线方程为；其焦点到准线的距离为2. 8．已知为抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离是到轴的距离的2倍，则点的纵坐标为___________． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】由抛物线得其焦点，准线方程为：， 设．由题意得， 解得或（舍去）， 故答案为：1 【考点2 抛物线的标准方程和几何性质】 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 (0，0) 焦点 准线方程   离心率 e＝1 焦点弦的性质 ①通径公式:|AB|=2p；② 特别提醒：(1)在抛物线的几何性质中，p的几何意义是焦点到准线的距离，p的值恒为正． (2)抛物线的标准方程有四种形式，每种方程对应的焦点坐标、准线方程、抛物线的开口方向等都不相同，在学习过程中，利用数形结合思想，学会分析、总结，而不是死记硬背． (3)抛物线的性质都是通过标准方程体现的，因此，在解题前一定要注意方程是否为标准方程. (4)设点P(x，y)为抛物线上任意一点，则有|PF|＝|x|＋ (焦点在x轴上)或|PF|＝|y|＋(焦点在y轴上). 【即时训练】 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 2．下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 3．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 4．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A． B． C．（1,0） D．（0,1） 【答案】A 【详解】试题分析：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线方程为，焦点坐标为 故选A． 考点：抛物线的简单性质． 5．若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的焦点和准线，再利用抛物线的定义求解． 【详解】 抛物线， 焦点为，准线为， 设点，由抛物线的定义可得， ， ，解得，故B正确． 故选：B． 6．抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 7．平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为． 8．抛物线焦点坐标是，则______． 【答案】2 【分析】根据抛物线的几何性质直接求解可得. 【详解】的焦点坐标为 ，即. 故答案为：2 9．已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可得，，代入计算即可求解； （2）设，则，由平面向量数量积坐标运算可得，因为M，Q均在抛物线上，建立方程组计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 代入抛物线方程得 因为，即，解得， 所以方程为． （2）设，， 因为点为线段的中点，所以，， 即，，则， 所以， 又M，Q均在抛物线上， 所以，解得，即．    10．已知抛物线：（）经过点，求抛物线的焦点的坐标； 【答案】 【分析】将点代入抛物线方程计算求出即可求解； 【详解】抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； 11．求满足下列条件的曲线的标准方程 (1)顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程 【答案】(1) 【分析】（1）先判断抛物线的开口方向，由待定系数法求得其标准方程； 【详解】（1）由题意知，该抛物线开口向左，设其方程为，则，得. 故顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程为. 12．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在y轴正半轴和y轴负半轴，分别设出抛物线标准方程，解出即可. 【详解】当焦点在y轴正半轴时，设方程为， 由题意可得，解得.所以抛物线方程为． 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为， 由题意可得，解得，所以抛物线方程为. 综上，抛物线方程为或． 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 1、直线与抛物线的位置关系有：相交、相切和相离． 2、判定： （1）当直线与抛物线的对称轴不平行时， 联立直线和抛物线的方程得化为一个关于x或y的一元二次方程， 根据判别式Δ进行判断： ①Δ＞0⇔直线与抛物线相交； ②Δ＝0⇔直线与抛物线相切； ③Δ＜0⇔直线与抛物线相离． （2）当直线与抛物线对称轴平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，尽管此时只有一个解，但直线与抛物线是相交而不是相切． 【即时训练】 1．直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程. 【详解】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A 2．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 3．直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 4．已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于M，N点，与、分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN（    ） A．总是互相垂直 B．总是互相平分 C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确 【答案】B 【分析】根据题意分析可得抛物线和关于点成中心对称，结合中心对称分析运算. 【详解】设， 则， 所以关于点成中心对称，即抛物线和关于点成中心对称， 因为和是它们的公切线，和、分别相切于M，N两点，和、分别相切于P，Q两点， 则M，N和P，Q都关于点成对称中心对称， 所以线段PQ与MN互相平分， 故选：B． 1.（2025·天津·真题T13）抛物线的准线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，先确定焦点的位置和的值，再写出准线方程. 【详解】由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且， 因此，准线方程为. 故答案为： 2.（2024·天津·真题T12）已知抛物线的焦点坐标为，则_______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标为可解得. 【详解】对于，焦点坐标为. 因此由，解得. 故答案为：12. 3.（2026·天津·真题T18）椭圆的左顶点为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M是椭圆上一点，求的周长； （3）抛物线的焦点F是椭圆C的右顶点，N是抛物线准线上一点，直线NF与抛物线交于一点Q，且满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的顶点及焦点坐标可得和的值，进而求出，据此可得解； （2）由椭圆的定义可得，结合，据此可求解； （3）由抛物线的焦点坐标公式，可得抛物线方程及准线方程，设，，根据向量的线性运算的坐标表示，求出，再利用抛物线的定义可求解. 【小问1详解】 由题可知：，， 所以， 所以椭圆C的标准方程； 【小问2详解】 根据椭圆的定义，可得， 又因为， 所以的周长为； 【小问3详解】 由（1）可知，椭圆C的右顶点为， 因为抛物线的焦点， 所以，解得， 所以抛物线方程为，其准线为. 设，，已知，则 ，， 由可得， 所以，解得， 所以. 19.（2023·天津·真题T18）已知椭圆方程，点． （1）求离心率及焦点坐标； （2）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （3）写出以椭圆左焦点为焦点的抛物线标准方程，并在抛物线上求一点，使得． 【答案】（1），焦点坐标 （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，结合的关系，离心率的公式即可求解. （2）根据直线点斜式方程，斜率公式即可求解. （3）先由焦点写出抛物线方程，根据抛物线的方程，向量垂直的内积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由椭圆方程得，焦点在轴上，且. 则，解得. 所以焦点坐标为，离心率. 小问2详解】 由题意得，直线的倾斜角为，则斜率为. 又直线经过点，则，即. 所以经过点且倾斜角为的直线的方程. 【小问3详解】 由（1）得，椭圆的左焦点为，即抛物线的焦点为. 所以，解得，所以抛物线的标准方程. 设点，又，， 则. 因为，所以. 解得，所以，即点或. 所以抛物线上的点或使得. 20.（2022·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的焦点坐标 （2）顶点在坐标原点，椭圆右焦点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 （3）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点，求以为直径的圆的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程可得，根据a，b，c的关系即可求出c的值，即可求出椭圆的焦点坐标. （2）由（1）结合题意可知抛物线的焦点为，设抛物线的标准方程为，则，即可求出抛物线的方程. （3）由题可知在抛物线方程中令，即可求出P，Q两点的坐标，根据两点间的距离公式和线段中点坐标公式求出圆心和半径即可求解. 【小问1详解】 由椭圆得，则， 由椭圆方程可知椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 【小问2详解】 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，即抛物线的焦点为， 设抛物线标准方程为，则，即， 所以抛物线的标准方程. 【小问3详解】 椭圆的右焦点坐标为，抛物线的标准方程， 因为过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点， 则令，解得或，则P，Q两点的坐标分别为， 所以，P，Q两点的中点坐标为， 所以以为直径的圆的半径为6，圆心坐标为， 则圆的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $