10.5 统计初步(讲义)-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 概率与统计 10.5 统计初步 【复习目标】 1.理解总体、个体、样本、样本容量的概念，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，并会解决简单的抽样问题； 2.理解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 3.理解样本平均数、方差、标准差的概念，会用方差、标准差判断数据的离散程度； 4.会用一元线性回归模型进行有关问题的预测. 【知识梳理内容】 考点1 抽样方法 1.总体、样本和样本容量 在统计中，所研究对象全体叫作 ，组成总体的每个对象叫作 ． 被抽取出来的个体的集合叫作总体的 ，样本所含个体的数目叫作 ． 注:在一个实验中，要说出总体、个体、样本时，一定要指明研究对象． 2.随机抽样 (1)随机抽样:总体中的每一个个体都有 的机会被抽到，用这种方法抽得的样本叫随机样本． (2)常用的抽样方法有:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样． ①简单随机抽样(等概率抽样):设一个总体含有N个个体，从中逐个 地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体中的每个个体被抽到的机会 ，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样． 简单随机抽样最常用的方法:抽签法(俗称抓阄法)和随机数法． ②系统抽样:当总体所含的个体较多时，可将总体 地分成几部分，按事先确定的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体，这种抽样方法叫作系统抽样． 步骤:a.先将总体的N个个体编号； b.确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取；当不是整数时，从总体中剔除一些个体使剩下个体个数N′能被n ，这时； c.在第1个号码段用简单随机抽样法确定一个个体编号l(l≤k)； d.依次得到其他的个体编码l＋k， ，···，l＋(n－1)k. ③分层抽样:总体是由有明显差异的几部分组成，可将总体按差异情况分成互不重叠的几部分——层，然后按各层个体总数所占的 来进行抽样的方法． 步骤:a.明确分层； b.计算抽样比例； c.计算各层样本容量； d.合并各层得到样本． 【即时训练】 1.调查一批灯泡的使用寿命，抽取的每只灯泡的使用寿命是(  ) A.总体 B.个体 C.样本容量 D.样本 2.分层抽样中各层抽取比例应(  ) A.相同 B.随意 C.只看最大层 D.均为1 3.系统抽样确定第一个编号时通常采用(  ) A.随机方法 B.按成绩 C.取第一个 D.取最后一个 4.从名学生中抽取名调查，样本容量为(  ) A. B. C. D.全体学生 5.从某专业4个班各抽取名学生参加问卷调查，较合适的抽样方法是(  ) A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.普查 6.编号1至300，间隔15，首号9，第5个样本编号为(  ) A.54 B.60 C.69 D.75 7.某职业学校共有名教职工，其中一线教师人，行政人员人，后勤人员45人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为的样本，则行政人员应抽取(  ) A.人 B.45人 C.人 D.人 8.为践行“健康第一”教育理念，某校为学生制定了“五一”假期体育活动计划.假期结束后，该校从全校1000名学生中随机抽取了200名学生，统计这200名学生“五一”假期的日平均体育活动时长(单位:小时)，并整理得下表： 日平均体育活动时长 频数 20 20 120 40 由表中数据，估计该校学生“五一”假期日平均体育活动时长不低于2小时的人数为(  ) A.40 B.160 C.200 D.800 9.某班学生共有56人，学号分别是1，2，3，，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一名同学的学号是(  ) A.19 B.20 C.24 D.44 10.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为__________石. 【知识梳理内容】 考点2 统计图表 1.频数与频率:将一组数据按要求分成若干个组，各组内数据个数的累计数叫作该组的频数，每组的频数除以 ，得各小组的频率，频率反映每组数据在样本中所占比例的大小． 2.列频率分布表、绘制频率分布直方图的步骤 (1)求极差(极差＝ － )； (2)决定组数与组距(组距＝ )； (3)决定分点； (4)列频率分布表(频率＝频数/样本容量)； (5)绘制频率分布直方图(各个小长方形的面积分别等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于 ). 【即时训练】 11.样本50个，某组频率0.18，该组频数为(  ) A.5 B.9 C.18 D.25 12.一组数据的最大值是100，最小值是，分成组，则组距约为(  ) A. B. C. D. 13.如图所示，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在[6,14)内的频数为(  )    A.68 B.170 C.204 D.240 14.为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间进行适当分组后，画出了如下图所示的频率分布直方图，则月用电量落在[200,250)内的户数为(  )    A.44 B.34 C.22 D.11 15.将容量为100的样本数据分为个组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 15 13 12 9 则第组的频率为(  ) A. B. C. D.0.21 16.为了了解某高校学生的体能情况，随机抽取部分学生进行了一分钟跳绳测试并统计次数，将数据进行分组(每组为左闭右开区间)，绘制频率分布直方图如图所示，若次数在110次以上(含110次)为达标，则估计全校学生的达标率为(  ) A. B. C. D. 17.有一个容量为100的样本，数据分组情况与频数如下:(17,19]，1；(19,21]，1；(21,23]，3；(23,25]，3；(25,27]，18；(27,29]，16；(29,31]，28；(31,33]，30，那么，估计不大于29的数据大约占总体的概率是________． 18.将一组数据分成5组，第一、二、三组共有个数据，第三、四、五组共有个数据，并且第三组的频率为，则第三组的频数为____________. 19.某学校有学生名，其中男生900人，女生600人.为了解学生的运算水平，现用分层抽样的方法抽取100人进行运算能力测试.测试成绩的频率分布表如下： 分数段（成绩） 频数 频率 [0,60) [60,85) 0.6 [85,100] 合计 100 (1)求抽取的女生人数； (2)求a,b的值； (3)若成绩在分以上(含分)为优秀，则估计该校全体学生中数学运算水平为优秀的人数是多少？ 【知识梳理内容】 考点3 集中趋势与离散程度 1.集中趋势 (1)一组数据中出现次数最多的数，叫作 ． (2)将数据从小到大排列，若有奇数个数，则 数是中位数；若有偶数个数，则 是中位数． (3)样本均值:如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝ 叫作这n个数的平均数或者均值，读作“x拔”，均值反映出这组数据的平均水平． 2.离散程度 (1)极差:极差＝ － ，它反映了数据变化的幅度. (2)样本方差:如果样本由n个数x1，x2，x3，…，xn组成，那么样本的方差为s2＝ ，一组数据的方差越大，说明这组数据波动越大． (3)样本标准差:用样本方差的算术平方根来表示个体与样本均值之间的偏离程度，叫作样本标准差，s= ，它也是衡量数据波动大小的重要的量． (4)离散系数:离散系数=标准差/平均数，是用于衡量数据离散程度的相对指标. 【即时训练】 20.数据11,14,17,20中，最大值与最小值的差为(  ) A.9 B.6 C.31 D.4 21.数据2,2,3,3,4,5的众数为(  ) A.2 B.3 C.4 D.2和3 22.一组数据均值为10，每个数乘3，新均值为(  ) A. B. C.13 D. 23.在学校组织的篮球比赛中，甲、乙两位同学各参加了7场比赛，平均得分都为16分，若两人7场比赛得分的标准差分别为5.02，3.96，则甲、乙同学发挥较稳定的是(  ) A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不确定 24.某组数据均值为25，标准差为2，则离散系数为(  ) A. B. C. D. 25.已知数据，，，，a的平均值为，则a的值为(  ) A. B. C. D.9 26.某服务台6天接待人数为42，45，46，48，50，53，表示中间水平时宜看(  ) A.中位数 B.编号 C.总天数 D.最大值 27.某课程成绩由平时分和操作分组成，权重分别为、.平时分，操作分，综合结果为(  ) A. B.84 C. D.86 28.从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加比赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如下表所示，则最佳人选为(  ) 甲 乙 丙 丁 平均成绩 95 95 90 94 标准差 2 3 4 2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 29.已知数据，，…，的平均数为，方差为，则数据，，…，的平均数与方差分别为(  ) A.， B.， C.， D.， 30.甲、乙两名射手在相同条件下各射击10次，命中环数分别是: 甲:7，8，6，8，6，5，9，10，7，4，  乙:8，7，6，10，4，5，9，10，7，4． 则两位射手成绩稳定的是(  ) A.甲 B.乙 C.甲和乙相同 D.无法确定 【知识梳理内容】 考点4 一元线性回归 (1)Y对x的回归方程记为 ，b叫作 ， (2)一般地，a，b满足公式， (3)回归直线一定经过样本中心点 . 【即时训练】 31.散点沿上升直线附近分布，表明(  ) A.负线性相关 B.无相关 C.正线性相关 D.必有因果 32.判断两个变量是否适合用一元线性回归，通常先观察(  ) A.散点图 B.扇形统计图 C.只看最大值 D.只看样本个数 33.下图中的两个变量，具有相关关系的是(  ) A. B. C. D. 34.下列变量之间的关系不是相关关系的是(  ) A.光照时间与大棚内蔬菜的产量 B.某正方形的边长与此正方形的面积 C.每亩施肥量与粮食亩产量 D.人的身高与体重 35.已知某样本点的回归直线方程为，当时，y的实际值为4.5，则当时，预测值与实际值的差值为(  ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 36.已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若y对x的回归直线方程为，且回归系数，则等于(  ) A.0.45 B. C.0.35 D.-0.35 37.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的回归直线方程可能是(  ) A. B. C. D. 38.已知X与Y之间的一组数据如下表所示 X 3 4 5 6 Y 30 40 60 50 若Y与X线性相关，根据上表求得Y与X的线性回归方程为，据此模型预测时，Y的值为(  ) A.70 B.63 C.65 D.66 1.(2026年山东省春季高考数学真题)从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是(  ) A. 0.1 B. 0.18 C. 0.2 D. 0.3 2.(2025年山东省春季高考数学真题)工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为，用系统抽样法抽个样品，若从第个号码段中随机抽取的样本编号是，则第个号码段中抽取的样本编号是___________． 3.(2024年山东省春季高考数学真题)如果除以()所得的余数相同，则称整数关于模同余，记作，若，则可能的取值是(　 ) A.2 B.11 C.22 D.31 4.(2024年山东省春季高考数学真题)一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____. 5.(2023年山东省春季高考数学真题)某企业生产一批内径为25.40 mm的钢管，内径尺寸等级根据其样本在范围内的频率P划分，规定:为优，为良，为合格，为不合格.若样本频率分布直方图如图所示，则这批钢管的内径尺寸等级是(  ) A.优 B.良 C.合格 D.不合格 6.(2022年山东省春季高考数学真题)某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取人进行体检，则抽取操作岗位的人数是___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 概率与统计 10.5 概率初步 【复习目标】 1.理解总体、个体、样本、样本容量的概念，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，并会解决简单的抽样问题； 2.理解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 3.理解样本平均数、方差、标准差的概念，会用方差、标准差判断数据的离散程度； 4.会用一元线性回归模型进行有关问题的预测. 【知识梳理内容】 考点1 抽样方法 1.总体、样本和样本容量 在统计中，所研究对象全体叫作总体，组成总体的每个对象叫作个体． 被抽取出来的个体的集合叫作总体的样本，样本所含个体的数目叫作样本容量． 注:在一个实验中，要说出总体、个体、样本时，一定要指明研究对象． 2.随机抽样 (1)随机抽样:总体中的每一个个体都有同等的机会被抽到.用这种方法抽得的样本叫随机样本． (2)常用的抽样方法有:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样． ①简单随机抽样(等概率抽样):设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体中的每个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样． 简单随机抽样最常用的方法:抽签法(俗称抓阄法)和随机数法． ②系统抽样:当总体所含的个体较多时，可将总体均衡地分成几部分，按事先确定的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体，这种抽样方法叫作系统抽样． 步骤:a.先将总体的N个个体编号； b.确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取；当不是整数时，从总体中剔除一些个体使剩下个体个数N′能被n整除，这时； c.在第1个号码段用简单随机抽样法确定一个个体编号l(l≤k)； d.依次得到其他的个体编码l＋k，，···，l＋(n－1)k. ③分层抽样:总体是由有明显差异的几部分组成，可将总体按差异情况分成互不重叠的几部分——层，然后按各层个体总数所占的比例来进行抽样的方法． 步骤:a.明确分层； b.计算抽样比例； c.计算各层样本容量； d.合并各层得到样本． 【即时训练】 1.调查一批灯泡的使用寿命，抽取的每只灯泡的使用寿命是(  ) A.总体 B.个体 C.样本容量 D.样本 【答案】B 【分析】根据相关概念判断即可. 【详解】总体中的每一个对象称为个体，因此每只被考察灯泡的使用寿命是个体. 故选:B 2.分层抽样中各层抽取比例应(  ) A.相同 B.随意 C.只看最大层 D.均为1 【答案】A 【分析】根据分层抽样的性质求解即可. 【详解】分层抽样中各层抽取比例应相同. 故选:A. 3.系统抽样确定第一个编号时通常采用(  ) A.随机方法 B.按成绩 C.取第一个 D.取最后一个 【答案】A 【分析】根据系统抽样中第一个样本编号的选取原则进行判断. 【详解】在系统抽样中，为了保证抽样的随机性和代表性， 第一个样本编号通常应在第一个间隔内随机确定． 如果固定为最大号、最后一个或者按成绩， 都可能会使样本不具有随机性，不能很好地代表总体. 故选:A. 4.从名学生中抽取名调查，样本容量为(  ) A. B. C. D.全体学生 【答案】A 【分析】根据样本容量是抽取的样本个体数目，即可得出结果. 【详解】一共抽取名学生，因此样本容量为；是总体个体数. 故选:A 5.从某专业4个班各抽取名学生参加问卷调查，较合适的抽样方法是(  ) A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.普查 【答案】B 【分析】根据分层抽样的定义进行判断. 【详解】按班级分层并从各层抽样，属于分层抽样. 故选:B. 6.编号1至300，间隔15，首号9，第5个样本编号为(  ) A.54 B.60 C.69 D.75 【答案】C 【分析】根据系统抽样中样本编号的规律求解. 【详解】采用系统抽样，间隔为15，起始编号为9， 则第5个样本编号为. 故选:C. 7.某职业学校共有名教职工，其中一线教师人，行政人员人，后勤人员45人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为的样本，则行政人员应抽取(  ) A.人 B.45人 C.人 D.人 【答案】C 【分析】先求得分层随机抽样的抽样比，再结合行政人员总数计算应抽取的人数. 【详解】因为分层随机抽样的抽样比为， 所以行政人员应抽取的人数为. 故选:C. 8.为践行“健康第一”教育理念，某校为学生制定了“五一”假期体育活动计划.假期结束后，该校从全校1000名学生中随机抽取了200名学生，统计这200名学生“五一”假期的日平均体育活动时长(单位:小时)，并整理得下表： 日平均体育活动时长 频数 20 20 120 40 由表中数据，估计该校学生“五一”假期日平均体育活动时长不低于2小时的人数为(  ) A.40 B.160 C.200 D.800 【答案】D 【分析】先算样本中符合条件的频率，再根据总人数求解. 【详解】由已知得，样本中平均体育活动时长不低于2小时的人数为:人，其频率为:， 全校1000名学生，估计该校学生“五一”假期日平均体育活动时长不低于2小时的人数为:人， 故选:D. 9.某班学生共有56人，学号分别是1，2，3，，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一名同学的学号是(  ) A.19 B.20 C.24 D.44 【答案】B 【分析】根据系统抽样的定义，求出对应的组距即可得到结论. 【详解】由，得分段间隔为14， 又，， 所以另一名同学的学号是20. 故选:B. 10.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为__________石. 【答案】365 【分析】根据题意求出样本中夹谷的比例即可得解. 【详解】抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒， 则3285石米中夹谷约为石， 故答案为:. 【知识梳理内容】 考点2 统计图表 1.频数与频率:将一组数据按要求分成若干个组，各组内数据个数的累计数叫作该组的频数，每组的频数除以样本容量，得各小组的频率，频率反映每组数据在样本中所占比例的大小． 2.列频率分布表、绘制频率分布直方图的步骤 (1)求极差(极差＝最大值－最小值)； (2)决定组数与组距(组距＝极差/组数)； (3)决定分点； (4)列频率分布表(频率＝频数/样本容量)； (5)绘制频率分布直方图(各个小长方形的面积分别等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1). 【即时训练】 11.样本50个，某组频率0.18，该组频数为(  ) A.5 B.9 C.18 D.25 【答案】B 【分析】根据频率的定义即可得解. 【详解】样本50个，某组频率0.18， 该组频数为， 故选:. 12.一组数据的最大值是100，最小值是，分成组，则组距约为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，先求出该组数据的极差，结合“组距=极差/组数”，即可求解. 【详解】因为一组数据的最大值是100，最小值是，分成组， 所以极差为，组距约为. 故选:B. 13.如图所示，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在[6,14)内的频数为(  )    A.68 B.170 C.204 D.240 【答案】C 【分析】根据频率直方图和频数的求法求解即可. 【详解】由频率直方图可知，样本数据落在[6,14)内的频率， 所以样本数据落在[6,14)内的频数为. 故选:C. 14.为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间进行适当分组后，画出了如下图所示的频率分布直方图，则月用电量落在[200,250)内的户数为(  )    A.44 B.34 C.22 D.11 【答案】C 【分析】由频率分布直方图的意义求出即可. 【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得 ， 解得， 所以用电量落在[200,250)内的户数为. 故选:C. 15.将容量为100的样本数据分为个组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 15 13 12 9 则第组的频率为(  ) A. B. C. D.0.21 【答案】C 【分析】先利用样本总容量求出第3组频数，再根据频率公式计算即可得出结果. 【详解】由频率分布表可得第组的频数为:. 第组的频率为. 故选:C. 16.为了了解某高校学生的体能情况，随机抽取部分学生进行了一分钟跳绳测试并统计次数，将数据进行分组(每组为左闭右开区间)，绘制频率分布直方图如图所示，若次数在110次以上(含110次)为达标，则估计全校学生的达标率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意结合频率分布直方图的性质即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知， 次数在110次以上(含110次)的频率为， 所以估计全校学生的达标率为即， 故选:. 17.有一个容量为100的样本，数据分组情况与频数如下:(17,19]，1；(19,21]，1；(21,23]，3；(23,25]，3；(25,27]，18；(27,29]，16；(29,31]，28；(31,33]，30，那么，估计不大于29的数据大约占总体的概率是________． 【答案】0.42/ 【分析】利用不大于29的数据个数占样本总量的比例，即可得概率. 【详解】因为不大于29的数据个数为， 所以估计不大于29的数据大约占总体的概率是. 故答案为:0.42. 18.将一组数据分成5组，第一、二、三组共有个数据，第三、四、五组共有个数据，并且第三组的频率为，则第三组的频数为____________. 【答案】70 【分析】设第三组的频数为，根据题意列式即可求解. 【详解】设第三组的频数为， 根据题意列方程，解得. 所以第三组的频数是70. 故答案为:70. 19.某学校有学生名，其中男生900人，女生600人.为了解学生的运算水平，现用分层抽样的方法抽取100人进行运算能力测试.测试成绩的频率分布表如下： 分数段（成绩） 频数 频率 [0,60) [60,85) 0.6 [85,100] 合计 100 (1)求抽取的女生人数； (2)求a,b的值； (3)若成绩在分以上(含分)为优秀，则估计该校全体学生中数学运算水平为优秀的人数是多少？ 【答案】(1)人 (2)， (3)人 【分析】(1)根据题意利用分层抽样的定义即可得解. (2)根据频率分布表的性质即可得解. (3)求出成绩在分以上(含分)的频率为，即可估计该校全体学生中数学运算水平为优秀的人数. 【详解】(1)某学校有学生名，其中男生900人，女生600人， 现用分层抽样的方法抽取100人，则抽取比例为， 所以抽取的女生人数为. (2)由频率分布表可知，，解得， ，解得. (3)由(2)可知，成绩在分以上(含分)的频率为， 则估计全体学生中数学运算水平为优秀的人数为人. 【知识梳理内容】 考点3 集中趋势与离散程度 1.集中趋势 (1)一组数据中出现次数最多的数，叫作众数． (2)将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． (3)样本均值:如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫作这n个数的平均数或者均值，读作“x拔”，均值反映出这组数据的平均水平． 2.离散程度 (1)极差:极差＝最大值－最小值，它反映了数据变化的幅度. (2)样本方差:如果样本由n个数x1，x2，x3，…，xn组成，那么样本的方差为s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，一组数据的方差越大，说明这组数据波动越大． (3)样本标准差:用样本方差的算术平方根来表示个体与样本均值之间的偏离程度，叫作样本标准差，即s=，它也是衡量数据波动大小的重要的量． (4)离散系数:离散系数=标准差/平均数，是用于衡量数据离散程度的相对指标. 【即时训练】 20.数据11,14,17,20中，最大值与最小值的差为(  ) A.9 B.6 C.31 D.4 【答案】A 【分析】根据极差的定义求解即可. 【详解】最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为. 故选:A. 21.数据2,2,3,3,4,5的众数为(  ) A.2 B.3 C.4 D.2和3 【答案】D 【分析】根据众数的概念即可求解. 【详解】因为数据2,2,3,3,4,5中2和3都出现两次，所以数据2,2,3,3,4,5的众数为2和3. 故选:D. 22.一组数据均值为10，每个数乘3，新均值为(  ) A. B. C.13 D. 【答案】B 【分析】根据题意结合均值的性质即可得解. 【详解】一组数据均值为10，每个数乘3，新均值为， 故选:. 23.在学校组织的篮球比赛中，甲、乙两位同学各参加了7场比赛，平均得分都为16分，若两人7场比赛得分的标准差分别为5.02，3.96，则甲、乙同学发挥较稳定的是(  ) A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不确定 【答案】B 【分析】根据平均数及标准差的意义判断即可. 【详解】由题意可知， 甲、乙7场比赛的平均数相等．而甲、乙两位同学标准差分别为和， 所以甲的标准差大于乙的标准差，发挥更稳定的是乙. 故选:B 24.某组数据均值为25，标准差为2，则离散系数为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据离散系数的公式求解. 【详解】某组数据均值为25，标准差为2，则离散系数为. 故选:C． 25.已知数据，，，，的平均值为，则的值为(  ) A. B. C. D.9 【答案】A 【分析】利用平均数的计算公式列出关于的方程求解即可. 【详解】已知数据，，，，的平均值为， 则，即，解得. 故选:A. 26.某服务台6天接待人数为42，45，46，48，50，53，表示中间水平时宜看(  ) A.中位数 B.编号 C.总天数 D.最大值 【答案】A 【分析】根据各个统计量所代表的含义进行判断. 【详解】中位数:对于这组数据，已从小到大排列，数据个数为， 中位数为中间两个数和的平均数，即，它能很好地反映数据的中间水平， 编号:只是对数据进行的一种标识，不具有反映数据中间水平的意义， 总天数:是数据的个数，与数据的中间水平没有直接关系， 最大值:是一组数据中的最大数值，它代表的是数据的上限，不能体现数据的中间水平， 故选:A. 27.某课程成绩由平时分和操作分组成，权重分别为、.平时分，操作分，综合结果为(  ) A. B.84 C. D.86 【答案】D 【分析】根据加权平均数的计算公式求解. 【详解】已知平时分，其权重为；操作分，其权重为， 所以综合结果为. 故选:D. 28.从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加比赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如下表所示，则最佳人选为(  ) 甲 乙 丙 丁 平均成绩 95 95 90 94 标准差 2 3 4 2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】A 【分析】根据平均数和标准差的概念和即可解得. 【详解】平均数反映了一组数据的平均水平， 标准差反映了一组数据的离散程度，标准差越小，数据越稳定， 因为选拔一位成绩较稳定的优秀选手，考虑甲和丁的标准差相同且小于乙和丙的标准差， 而甲和丁的平均成绩，所以甲的平均成绩更高， 综合考虑平均成绩和标准差，甲的成绩更稳定且平均成绩较高，所以最佳人选为甲， 故选:A. 29.已知数据，，…，的平均数为，方差为，则数据，，…，的平均数与方差分别为(  ) A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【分析】根据平均数与方差的性质计算即可. 【详解】因为数据，，…，的平均数为2.1，方差为， 所以数据，，…，的平均数，方差. 故选:A. 30.甲、乙两名射手在相同条件下各射击10次，命中环数分别是: 甲:7，8，6，8，6，5，9，10，7，4，  乙:8，7，6，10，4，5，9，10，7，4． 则两位射手成绩稳定的是(  ) A.甲 B.乙 C.甲和乙相同 D.无法确定 【答案】A 【分析】分别求出甲乙两人的平均数和方差，方差越小成绩越稳定，据此即可求解. 【详解】解法一(对应人教版)： 已知甲命中的环数为:7，8，6，8，6，5，9，10，7，4， 则甲的平均数， 乙命中的环数为:8，7，6，10，4，5，9，10，7，4． 乙的平均数， 因为，所以甲成绩更稳定； 解法二(对应高教版)： 已知甲命中的环数为:7，8，6，8，6，5，9，10，7，4， 则甲的平均数， 乙命中的环数为:8，7，6，10，4，5，9，10，7，4． 乙的平均数， 因为，所以甲成绩更稳定， 故选:A 【知识梳理内容】 考点4 一元线性回归 (1)Y对x的回归方程记为，b叫作回归系数， (2)一般地，a，b满足公式， (3)回归直线一定经过样本中心点. 【即时训练】 31.散点沿上升直线附近分布，表明(  ) A.负线性相关 B.无相关 C.正线性相关 D.必有因果 【答案】C 【分析】利用回归分析判断即可得出结果. 【详解】散点沿上升直线附近分布，表明为正线性相关， 故选:C. 32.判断两个变量是否适合用一元线性回归，通常先观察(  ) A.散点图 B.扇形统计图 C.只看最大值 D.只看样本个数 【答案】A 【分析】根据一元线性回归的定义，结合选项即可判断. 【详解】散点图能直观反映两个变量的变化趋势和是否存在线性关系， 而扇形统计图、只看最大值、只看样本个数，这些不能反映两个变量是否存在线性关系， 故选:A. 33.下图中的两个变量，具有相关关系的是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据相关关系的概念逐项分析判断. 【详解】相关关系是一种非确定性关系. 对于A、C:两个变量具有函数关系，是一种确定性关系，故A、C错误； 对于D:图中的散点分布没有什么规律，故两个变量之间不具有相关关系，故D错误； 对于B:图中的散点分布在从左下角区域到右上角区域，两个变量具有相关关系，故B正确； 故选:B. 34.下列变量之间的关系不是相关关系的是(  ) A.光照时间与大棚内蔬菜的产量 B.某正方形的边长与此正方形的面积 C.每亩施肥量与粮食亩产量 D.人的身高与体重 【答案】B 【分析】根据相关关系的概念进行判断. 【详解】B中的两个变量之间是确定的函数关系，A，C，D中的两个变量之间的关系都是相关关系. 故选:B. 35.已知某样本点的回归直线方程为，当时，y的实际值为4.5，则当时，预测值与实际值的差值为(  ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【答案】B 【分析】根据题意，结合样本点的回归直线方程，代入求得预测值，继而求解. 【详解】因为某样本点的回归直线方程为， 所以当时，， 又当时，y的实际值为4.5，所以预测值与实际值的差值为. 故选:B. 36.已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若y对x的回归直线方程为，且回归系数，则等于(  ) A.0.45 B. C.0.35 D.-0.35 【答案】C 【分析】求出代入直线方程中即可得解. 【详解】由题意可知，，， y对x的回归直线方程为，且回归系数， 将代入直线方程中得，解得， 故选:. 37.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的回归直线方程可能是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据变量与正相关，以及线性回归经过点，即可求解. 【详解】对于A:若，则， 直线经过点(3,3.5)，且变量与正相关，故A项正确； 对于B:若，则， 直线不经过点(3,3.5)，故B项不正确； 对于C:若，则， 直线不经过点(3,3.5)，故C项不正确； 对于D:若，则， 直线经过点(3,3.5)，但变量与负相关，不是正相关，故D不正确. 故选:A. 38.已知X与Y之间的一组数据如下表所示 X 3 4 5 6 Y 30 40 60 50 若Y与X线性相关，根据上表求得Y与X的线性回归方程为，据此模型预测时，Y的值为(  ) A.70 B.63 C.65 D.66 【答案】C 【分析】利用数据求出，代入回归方程求出，再将代入即可. 【详解】，， 则，则，则，则； 故选:C. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是(  ) A. 0.1 B. 0.18 C. 0.2 D. 0.3 【答案】A 【分析】根据组距以及频率求解即可. 【详解】组距 = 极差÷组数 = ， 频率 = 频数÷样本容量 = . 所以该组数据频率与组距的比值.故选:A. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为，用系统抽样法抽个样品，若从第个号码段中随机抽取的样本编号是，则第个号码段中抽取的样本编号是___________． 【答案】 【分析】先计算出系统抽样的分段间隔， 【详解】∵共个产品，抽取个样品， ∴分段间隔为， ∵第个号码段中随机抽取的样本编号是017， ∴第个号码段中抽取的样本编号是. 故答案为:. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)如果除以()所得的余数相同，则称整数关于模同余，记作，若，则可能的取值是(　 ) A.2 B.11 C.22 D.31 【答案】B 【分析】根据差的结果的约数特点易得答案. 【详解】因为，所以， 所以为的约数，又， 所以或. 故选:B. 4.(2024年山东省春季高考数学真题)一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____. 【答案】人教版:，高教版:. 【分析】先求出这组数的，然后再减去，最后由这组新数求解平均数和方差即可. 【详解】， 所以每个数都减为， 所以这组数的平均数为， 解法一(针对人教版)： . 故答案为:2.64. 解法二(针对高教版)： . 故答案为:. 5.(2023年山东省春季高考数学真题)某企业生产一批内径为25.40 mm的钢管，内径尺寸等级根据其样本在范围内的频率P划分，规定:为优，为良，为合格，为不合格.若样本频率分布直方图如图所示，则这批钢管的内径尺寸等级是(  ) A.优 B.良 C.合格 D.不合格 【答案】B 【分析】根据样本频率分布直方图，计算样本在范围内的频率即可判断. 【详解】由样本频率分布直方图可知，样本在范围内的频率为 ， 所以这批钢管的内径尺寸等级是良． 故选:B. 6.(2022年山东省春季高考数学真题)某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取人进行体检，则抽取操作岗位的人数是___________. 【答案】 【分析】由分层抽样的方法进行计算即可. 【详解】某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是， 现采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检， 则抽取操作岗位的人数是人. 故答案为:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $