10.4随机变量及其分布(练习)-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题十 10.4 随机变量及其分布 【考点1 离散型随机变量】 1.袋中3个红球2个白球，不放回取2个，X表示红球数，则X不可能取(  ) A.0 B.3 C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据题意即可求解. 【详解】由题意得，袋中3个红球2个白球，不放回取2个，X表示红球数， 则可能取0,1,2，所以不可能取. 故选:B. 2.质检中抽查件产品，令表示不合格件数．事件“恰有件不合格”可写成(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据表示的含义即可得解. 【详解】随机变量表示不合格件数，则事件“恰有件不合格”可写成. 故选:A. 3.在含有3件次品的100件产品中，任意抽取3件，取到次品的件数的所有可能取值为(  ) A.1，2，3 B.0，1，2 C.0，1，2，3 D.1，2，3，4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念结合题意即可求解. 【详解】100件产品中有3件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量， 用表示，那么的取值可以是0，1，2，3. 故选:C. 4.下列随机变量是离散型随机变量的是(  ) (1)某人的手机在一天内被拨打的次数； (2)某水文站观察到一天中的水位高度(单位:cm)； (3)某首歌曲被点播的次数． A.(1) B.(2) C.(2)(3) D.(1)(3) 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的定义即可求解. 【详解】某人的手机在一天内被拨打的次数和某首歌曲被点播的次数为离散型随机变量，某水文站观察到一天中的水位高度(单位:cm)为连续型随机变量. 故选:D. 5.投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为，那么表示的随机试验结果是(  ) A.一枚是3点，一枚是1点 B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 【答案】B 【分析】根据两枚骰子点数之和为4的所有可能情况来分析. 【详解】投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为， 那么表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”. 故选:B. 6.投篮4次，用X表示命中次数，X的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意即可求解. 【详解】投篮4次，用X表示命中次数，X的值可为，所以X的最小值为. 故答案为:. 【考点2 离散型随机变量的分布列及其数字特征】 7.已知离散型随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 0.02 m 则实数(  ) A.0.21 B. C. D.0.24 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质列方程求解即可. 【详解】因为，所以. 故选:D. 8.已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据所有概率和为 1求出，再求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 即. 故选:B. 9.已知离散型随机变量的分布列： 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则随机变量的数学期望(  ) A.1.4 B.1.6 C.2.1 D.2.4 【答案】D 【分析】先利用离散型随机变量分布列所有概率之和为1的性质求出m的值，再代入数学期望公式计算即可得到结果． 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质，所有取值对应的概率之和为1， 可得，解得. 则随机变量的数学期望， 故选:D. 10.已知离散型随机变量的分布列如下表所示． 1 3 5 则其方差(  ) A.1 B. C. D.2.4 【答案】C 【分析】根据分布列中概率的总和为确定的值，再由数学期望的公式求出，最后由方差公式求值即可. 【详解】已知， 可得，所以， 所以 ． 故选:C． 11.已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 (1)求实数的值； (2)求和的值； (3)求数学期望的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据分布列所有概率之和为1，即可解得. (2)由(1)得，再考虑和的情况，即可解得. (3)由随机变量的分布列和期望公式，即可解得. 【详解】(1)由分布列的性质，得，解得， 所以的值为. (2)， . (3). 【考点3 二项分布】 12.二项分布描述的是n次独立重复试验中(  ) A.每次用时 B.所有结果顺序 C.事件发生次数 D.连续测量值 【答案】C 【分析】根据二项分布的定义即可求解. 【详解】二项分布描述的是n次独立重复试验中事件发生次数. 故选:C. 13.优质树苗的培育是提高植树造林质量的保障，某农科所计划培育种新型树苗用于植树造林，每种新型树苗的培育成功率为，则种新型树苗恰有4种培育成功的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据独立重复实验的概率公式即可解得. 【详解】由题，种新型树苗恰有种培育成功，则种培育不成功， 每种树苗的培育成功率为，则培育不成功率为， 故种新型树苗恰有培育成功的概率为：， 故选:A. 14.若随机变量服从二项分布，则(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式即可得解. 【详解】随机变量服从二项分布， 则， 故选:. 15.若离散型随机变量，则和分别为(  ) A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望和方差公式进行计算即可求解. 【详解】因为，则二项分布 ，； 所以，. 故选:B. 【考点4 正态分布】 16.若，则正态曲线对称轴为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据正态曲线对称轴均值所在直线即可解答. 【详解】已知， 则正态曲线对称轴为， 故选:B. 17.若服从标准正态分布，则其均值和方差分别为(  ) A.0,0 B.1,0 C.1,1 D.0,1 【答案】D 【分析】根据标准正态分布求解即可. 【详解】若服从标准正态分布，则， 则其均值和方差分别为 故选:D. 18.标准差越大，正态曲线越(  ) A.高而窄 B.右移 C.左移 D.矮而宽 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质即可得解． 【详解】标准差越大，正态曲线越矮而宽． 故选:D． 19.已知随机变量服从正态分布，，则等于(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以. 故选:A 20.设随机变量服从正态分布，若，则的值为(  ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质求解即可. 【详解】随机变量服从正态分布，若，则. 进而. 故选:A. 【考点1 离散型随机变量】 21.一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(  ) A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的三个小球的质量之和 D.倒出的三个小球的颜色的种数 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的概念判断即可. 【详解】A中，小球滚出的最大距离不是离散型随机变量，因为它可能是任意一个非负实数，不能一一列举； B中，倒出小球所需的时间不是离散型随机变量，因为所需时间可能是任意一个正实数，不能一一列举； C中，三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，更不是离散型随机变量； D中，倒出的三个小球的颜色的种数可能为1种，2种，3种，可以一一列举，故倒出的三个小球的颜色的种数是离散型随机变量． 故选：D． 22.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是(  ) A.25 B.10 C.9 D.5 【答案】C 【分析】由离散型随机变量分析的可能取值分析即可. 【详解】两个球的号码之和的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个. 故选:C. 23.下列随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某网站1分钟内的访问次数；④一天内的温度.其中为离散型随机变量的是(  ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念求解即可. 【详解】①车辆数是离散的、可变的、能列出的，是离散随机变量； ②质点是连续的、可变的、不能一一列出的，不是离散随机变量； ③访问次数是离散的、可变的、能列出的，是离散随机变量； ④温度是连续的、可变的、不能列出的，不是离散随机变量； 故选:C. 【考点2 离散型随机变量的分布列及其数字特征】 24.已知随机变量的分布列如表所示，且，则(  ) 0 1 2 3 0.1 0.2 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据离散随机变量概率性质以及数学期望公式求解即可. 【详解】由表可得，即， 因为，所以， 所以，解得，， 则． 故选:D． 25.随机变量的分布列如下图，若，则(  ) 0 3 A.6 B.2 C.0 D. 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质和数学期望，列方程组可得的值，再由方差的定义求解即可. 【详解】由题意可得，， 即，解得， . 故选:A. 26.随机变量的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，则(  ) 0 1 P a b c A. B. C. D.不确定 【答案】B 【分析】由等差中项和离散型随机变量分布列的性质即可得解. 【详解】因为a，b，c成等差数列，所以， 又有，解得， 由分布列可得:. 故选:B. 27.现有，两个盒子，盒子装有3个红球，2个黄球；盒子装有1个红球，2个黄球.从盒中任取2个球，盒中任取1个球，用表示取出的红球数. (1)求随机变量的概率分布列； (2)求； (3)求随机变量的数学期望. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用古典概型及离散型随机变量分布即可得解； (2)由结合（1）中的概率分布即可得解； (3)根据离散型随机变量分布的性质即可得解. 【详解】(1)根据题意，的取值为0，1，2，3. ， ， ， . 的概率分布列如下表： 0 1 2 3 (2)； (3). 【考点3 二项分布】 28.已知随机变量X服从二项分布，若，则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合随机变量X服从二项分布的均值和方差的计算，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从二项分布，若， 所以， 所以. 故选:A. 29.在相同条件下依次抛掷4枚质地均匀的硬币，记这4枚硬币正面向上的枚数为随机变量. (1)列出的概率分布列； (2)求的值； (3)求的数学期望值. 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)2 【分析】(1)由题意，随机变量服从二项分布，然后利用二项分布的概率公式进行计算； (2)根据的概率分布列求解； (3)根据二项分布的数学期望公式的求解. 【详解】(1)已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为， 依次抛掷枚质地均匀的硬币，相当于做了次独立重复试验， 所以随机变量，的取值分别为0，1，2，3，4， ； ； ； ， 所以的概率分布列为： 0 1 2 3 4 (2). (3)因为随机变量，所以. 【考点4 正态分布】 30.在日常生活和实践中，我们经常遇到一类随机变量，其概率分布往往服从或近似服从正态分布.关于正态曲线的基本性质，下列说法错误的是(  ) A.曲线关于直线对称 B.曲线在x轴的下方 C.当时，曲线达到最高点 D.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的图象特点和性质逐项判断即可. 【详解】如图所示: 正态曲线关于直线对称，故A正确； 曲线在轴上方，故B错误； 当时，曲线达到最高点，故C正确； 曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状，故D正确. 故选:B. 31.已知随机变量服从正态分布，且，则等于(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意利用正态曲线的对称性即可得解. 【详解】随机变量服从正态分布，则正态曲线关于对称， ，则， 由对称性可知，， 则， 故选:. 32.已知随机变量服从正态分布，若，，则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据正态分布的图像及性质求解即可. 【详解】由正态分布性质可知，图象关于对称， ∴， ∴， ∴，∴. 故选:A. 33.在一次英语考试中，考试成绩X服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是(  ) A.0.683 B.0.317 C.0.954 D.0.997 【答案】C 【分析】由正态分布的概念可知，再由原则计算即可. 【详解】因为考试成绩X服从正态分布， 所以， 又因为， 又因为， 所以考试成绩在区间内的概率是. 故选:C. 1.(2025年山东省春季高考数学真题)已知随机变量的分布列 则实数的值是(  ) A. B.C. D. 【答案】B 【分析】根据随机变量分布列的概率和为求解即可. 【详解】由概率性质可得:，解得. 故选:B. 2.(2026年山东省春季高考数学真题)已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值(  ) X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A.1.8 B.2.0 C.2.6 D.4.8 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算. 【详解】由题意，. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题十 10.4 随机变量及其分布 【考点1 离散型随机变量】 1.袋中3个红球2个白球，不放回取2个，X表示红球数，则X不可能取(  ) A.0 B.3 C.1 D.2 2.质检中抽查2件产品，令表示不合格件数．事件“恰有件不合格”可写成(  ) A. B. C. D. 3.在含有3件次品的100件产品中，任意抽取3件，取到次品的件数的所有可能取值为(  ) A.1，2，3 B.0，1，2 C.0，1，2，3 D.1，2，3，4 4.下列随机变量是离散型随机变量的是(  ) (1)某人的手机在一天内被拨打的次数； (2)某水文站观察到一天中的水位高度(单位:cm)； (3)某首歌曲被点播的次数． A.(1) B.(2) C.(2)(3) D.(1)(3) 5.投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为，那么表示的随机试验结果是(  ) A.一枚是3点，一枚是1点 B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 6.投篮4次，用X表示命中次数，X的最小值为______. 【考点2 离散型随机变量的分布列及其数字特征】 7.已知离散型随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 0.02 m 则实数(  ) A.0.21 B. C. D.0.24 8.已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是(  ) A. B. C. D. 9.已知离散型随机变量的分布列： 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则随机变量的数学期望(  ) A.1.4 B.1.6 C.2.1 D.2.4 10.已知离散型随机变量的分布列如下表所示． 1 3 5 则其方差(  ) A.1 B. C. D.2.4 11.已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 (1)求实数的值； (2)求和的值； (3)求数学期望的值. 【考点3 二项分布】 12.二项分布描述的是n次独立重复试验中(  ) A.每次用时 B.所有结果顺序 C.事件发生次数 D.连续测量值 13.优质树苗的培育是提高植树造林质量的保障，某农科所计划培育种新型树苗用于植树造林，每种新型树苗的培育成功率为，则种新型树苗恰有4种培育成功的概率为(  ) A. B. C. D. 14.若随机变量服从二项分布，则(  ) A. B. C. D. 15.若离散型随机变量，则和分别为(  ) A.， B.， C.， D.， 【考点4 正态分布】 16.若，则正态曲线对称轴为(  ) A. B. C. D. 17.若服从标准正态分布，则其均值和方差分别为(  ) A.0,0 B.1,0 C.1,1 D.0,1 18.标准差越大，正态曲线越(  ) A.高而窄 B.右移 C.左移 D.矮而宽 19.已知随机变量服从正态分布，，则等于(  ) A. B. C. D. 20.设随机变量服从正态分布，若，则的值为(  ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 【考点1 离散型随机变量】 21.一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(  ) A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的三个小球的质量之和 D.倒出的三个小球的颜色的种数 22.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是(  ) A.25 B.10 C.9 D.5 23.下列随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某网站1分钟内的访问次数；④一天内的温度.其中为离散型随机变量的是(  ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【考点2 离散型随机变量的分布列及其数字特征】 24.已知随机变量的分布列如表所示，且，则(  ) 0 1 2 3 0.1 0.2 A. B. C. D. 25.随机变量的分布列如下图，若，则(  ) 0 3 A.6 B.2 C.0 D. 26.随机变量的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，则(  ) 0 1 P a b c A. B. C. D.不确定 27.现有，两个盒子，盒子装有3个红球，2个黄球；盒子装有1个红球，2个黄球.从盒中任取2个球，盒中任取1个球，用表示取出的红球数. (1)求随机变量的概率分布列； (2)求； (3)求随机变量的数学期望. 【考点3 二项分布】 28.已知随机变量X服从二项分布，若，则(  ) A. B. C. D. 29.在相同条件下依次抛掷4枚质地均匀的硬币，记这4枚硬币正面向上的枚数为随机变量. (1)列出的概率分布列； (2)求的值； (3)求的数学期望值. 【考点4 正态分布】 30.在日常生活和实践中，我们经常遇到一类随机变量，其概率分布往往服从或近似服从正态分布.关于正态曲线的基本性质，下列说法错误的是(  ) A.曲线关于直线对称 B.曲线在x轴的下方 C.当时，曲线达到最高点 D.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 31.已知随机变量服从正态分布，且，则等于(  ) A. B. C. D. 32.已知随机变量服从正态分布，若，，则(  ) A. B. C. D. 33.在一次英语考试中，考试成绩X服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是(  ) A.0.683 B.0.317 C.0.954 D.0.997 1.(2025年山东省春季高考数学真题)已知随机变量的分布列 则实数的值是(  ) A. B.C. D. 2.(2026年山东省春季高考数学真题)已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值(  ) X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A.1.8 B.2.0 C.2.6 D.4.8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $