数学期中模拟卷（二）（人教版拓展模块一1-3章）-2026-2027学年高二上学期《期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以人教版《数学 拓展模块一（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（二） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若成等差数列，则（　　） A．12 B．8 C．10 D．20 2．我国勾股定理最早的证明是东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的赵爽弦图（如图），它是由四个全等的直角三角形拼成的内、外都是正方形的美丽图案.若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （    ） A． B．2 C．4 D．6 4．设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 7．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋ = ，下列结论中正确的是（　　） A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在直线上 D．P在△ABC的外部 8．数列中，，，则是这个数列的第几项（ ） A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 9．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（   ）    A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，角，均以坐标原点为顶点，轴的正半轴为始边．若点在角的终边上，点在角的终边上，则（     ） A． B． C． D． 11．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 12．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 13．若向量，与相等，且，，则x的值为（   ） A．1 B．1或4 C．0 D． 14．已知等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 15．函数的图像与直线的交点个数是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 16．函数的最小正周期为_________. 17．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，…，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为______. 18．如图所示，从地面点看树顶，其仰角为，再向前走5米，到达点看树顶，其仰角为，则树高为_________米.（精确到0.01米） 19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______． 20．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．已知向量，求 (1)； (2) 22．如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）． （1）求路径的长； （2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 23．已知. (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值. 24．如图，在中，已知，是边上的一点，，，. (1)求的面积； (2)求边的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以人教版《数学 拓展模块一（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（二） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若成等差数列，则（　　） A．12 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质求解即可. 【详解】若成等差数列，则， 可得. 故选：C. 2．我国勾股定理最早的证明是东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的赵爽弦图（如图），它是由四个全等的直角三角形拼成的内、外都是正方形的美丽图案.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的几何意义求值. 【详解】由已知， 得，，， 又，所以， 因为， 所以， 又由已知得， 则， 故选：B. 3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以. 故选：D 4．设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因此向量在基下的坐标为. 故选：D. 5．已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】分与讨论项的正负即可求解. 【详解】当时，数列恒为负， 当时，数列恒为正， 所以当时最小. 故选:B. 6．正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【分析】用等比数列基本量列方程组求解. 【详解】由题意，，设公比为q，，. 故选:D. 7．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋ = ，下列结论中正确的是（　　） A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在直线上 D．P在△ABC的外部 【答案】D 【分析】画出图形，根据向量的几何运算判断的位置. 【详解】由＋＝可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形． 可知点P在△ABC的外部．    故选：D. 8．数列中，，，则是这个数列的第几项（ ） A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 【答案】A 【详解】由条件可得，则，进而可求出数列的通项公式，令，求出值即可. 解：由，得， 则， ， 令，得. 故选：A. 【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查数列中某项的项数，是基础题. 9．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图像及性质分析求解即可. 【详解】由函数图像可知，最大值为，最小值为，所以； 则函数的周期满足：， 所以，即，解得：； 所以，又因为图像过点， 所以， 解得：，所以， 因为，所以， 因此该函数的解析式是. 故选：A. 10．在平面直角坐标系中，角，均以坐标原点为顶点，轴的正半轴为始边．若点在角的终边上，点在角的终边上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义以及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由点在角的终边上，则，. 又点在角的终边上，则，. 所以． 故选：B． 11．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，设，则， 因为，则为最大内角， ， 所以，即是钝角三角形. 故选：A. 12．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和. 【详解】，当时，， 当时，，当时，也满足， ∴ 数列的通项公式为， ， 故选：C 13．若向量，与相等，且，，则x的值为（   ） A．1 B．1或4 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据向量相等的概念及向量的坐标表示求解. 【详解】已知，，则， 又向量，与相等， 所以，解得， 故选：A. 14．已知等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意， ，，，则， 可得，解得， 所以. 故选：A. 15．函数的图像与直线的交点个数是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简函数关系式，再求函数最小正周期，即可得到函数图像为函数2个周期内的图像，由函数最值即可得到函数与直线交点个数. 【详解】函数， 其中， 因为函数的最小正周期为：， 所以函数的图像即函数2个周期内的图像， 且有最大值，最小值， 所以函数的图像与直线在2个周期内的交点个数是：. 故选：C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 16．函数的最小正周期为_________. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可得：函数的最小正周期. 故答案为：. 17．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，…，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为______. 【答案】/2.5 【分析】设，，将上式展开，根据向量点积的运算公式得到原式等于，进而得到最终结果. 【详解】设 由图形得到：， 展开得到 向量和向量夹角等于和的夹角等于， 向量和向量夹角等于和的夹角等于， ，当时取得最大值为：. 故答案为：. 18．如图所示，从地面点看树顶，其仰角为，再向前走5米，到达点看树顶，其仰角为，则树高为_________米.（精确到0.01米） 【答案】 【分析】在两个直角三角形中用表示，列出方程求解即可. 【详解】在中，，所以， 在中，，所以，即， 因为，所以， 即. 故答案为：. 19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以．故答案为：． 20．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________. 【答案】 【分析】函数，当，最小，即可求出，将代入，即可求出 【详解】当时，，即； 将代入得，， 故答案为， 【点睛】本题考查数列的函数特性，是基础题． 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．已知向量，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. （2）根据向量线性运算的坐标表示和向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为向量， 所以， 所以. 22．如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）． （1）求路径的长； （2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 【答案】（1）1260；（2）分钟. 【分析】（1）求出，再由正弦定理得出路径的长； （2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，由余弦定理求出，再由的范围得出所求时间. 【详解】（1）在中，由得，由，A为锐角得， ∴ ． ∵， ∴． （2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，则 ． ∵ ∴当时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发分钟． 23．已知. (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用诱导公式化简，再弦化切求值； （2）先求出、的正弦、余弦，再利用两角和与差的三角函数求值. 【详解】（1）原式 . （2）由为第一象限角，且，故：，； 又，且，故. 所以： . 24．如图，在中，已知，是边上的一点，，，. (1)求的面积； (2)求边的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，同角三角函数值之间的关系先求出的正弦值，结合三角形的面积公式即可求解； （2）根据已知结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为在中，，，. 由余弦定理得， 因为，所以， 所以, 所以的面积 （2）由（1）得， 在中，由正弦定理得：, 即 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $