第52卷 平面向量的内积（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第52卷 平面向量的内积 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若两个非零向量互相垂直，则它们的内积为（　　） A．1 B．0 C． D．等于两模长之和 【答案】B 【分析】依据向量垂直的性质求解． 【详解】若两个非零向量互相垂直，则它们的内积为0， 故选：B． 2．给出下面的关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的内积的运算律逐个分析即可. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，即，故①正确， ，故②正确， ，故③正确， ，故④错误， ，其中为的夹角，故⑤错误. 故选：C. 3．当两个非零向量方向相同时，它们的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的定义求解即可. 【详解】方向相同的非零向量夹角为. 故选：B. 4．若，的夹角为，则（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】由题意，. 故选：A. 5．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积公式计算即可得出结果. 【详解】 ，夹角 ， 故选：. 6．两个非零向量的夹角为，则它们的内积定义式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】向量内积的定义为. 故选：A. 7．已知向量的夹角为，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用，再结合向量内积的定义计算即可. 【详解】解：由题可知：，向量的夹角为， 所以 . 故选：A. 8．已知，的夹角为，则为（　　） A．10 B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义求解． 【详解】由题意，， 故选：C． 9．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量内积公式求出两向量夹角的余弦值，再根据夹角的取值范围确定夹角的大小. 【详解】设向量与的夹角为，已知， 由，可得，解得， 因为，所以， 故选：C. 10．已知，的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】由题意，， 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若两个非零向量的夹角为钝角，则它们的内积的符号为______. 【答案】负 【分析】依据向量内积的定义来判断内积的符号. 【详解】设两个非零向量和，它们的夹角为， 已知两向量的夹角为钝角，即，可得， 又因为，，所以， 故答案为：负. 12．若，则______. 【答案】16 【分析】根据求解. 【详解】由题意，. 故答案为：16. 13．已知，，，则______． 【答案】20 【分析】根据向量内积公式与向量的分配律求解即可； 【详解】因为，，， 所以 ． 故答案为：20 14．已知，则向量的最大值是______. 【答案】8 【分析】将向量先平方后开方，根据向量的运算性质和模的性质，当向量和同向时，二者夹角的余弦值最大，此时取得最大值. 【详解】因为，设向量和向量夹角为， 所以， 所以当与反向时，即时，取得最大值，为. 故答案为：8. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．已知 ， ，两向量夹角为 ， 求 . 【答案】12 【分析】使用向量数量积公式计算即可得出结果. 【详解】因为 ， ，两向量夹角为 ， 所以 . 16．已知，的夹角为. (1)求； (2)判断为正还是负. 【答案】(1)9 (2)正 【分析】（1）根据向量内积公式计算， （2）根据计算结果判断正负. 【详解】（1）已知，与的夹角为， 可得：. （2）由（1）可知，即为正. 17．设，，，当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】12 【分析】由向量内积的性质可得，结合运算规律列方程求参数值即可． 【详解】由已知可得，， ∴． 要使向量与向量互相垂直，必须满足， 即，解得， ∴当为12时，向量与向量互相垂直． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第52卷 平面向量的内积 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若两个非零向量互相垂直，则它们的内积为（　　） A．1 B．0 C． D．等于两模长之和 2．给出下面的关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当两个非零向量方向相同时，它们的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．若，的夹角为，则（　　）. A． B． C． D． 5．若，则等于（　　） A． B． C． D． 6．两个非零向量的夹角为，则它们的内积定义式是（　　） A． B． C． D． 7．已知向量的夹角为，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知，的夹角为，则为（　　） A．10 B．0 C．5 D． 9．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 10．已知，的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若两个非零向量的夹角为钝角，则它们的内积的符号为______. 12．若，则______. 13．已知，，，则______． 14．已知，则向量的最大值是______. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．已知 ， ，两向量夹角为 ， 求 . 16．已知，的夹角为. (1)求； (2)判断为正还是负. 17．设，，，当为何值时，向量与向量互相垂直？ 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $