第51卷 平面向量的内积（教师讲解卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第51卷 平面向量的内积 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若，的夹角为，则（　　）. A． B． C． D． 2．已知向量，满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．若，则的夹角可能是（　　）. A． B． C． D． 4．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 5．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．两个非零向量互相垂直时，的值为（　　）. A．正数 B． C．负数 D． 7．已知，则（    ） A．6 B．3 C． D． 8．已知是非零平面向量，，且的夹角为，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 9．若两个非零向量的夹角为锐角，则它们的内积（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．一定等于 10．若，的夹角为，则（　　）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若，则两向量夹角的余弦值为______. 12．已知满足，则的形状一定是__________． 13．若且二者均不是，则它们的夹角为______. 14．已知，则向量的最大值是______. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．等边三角形ABC的边长为2，求的值． 16．已知非零向量满足，且，求向量的夹角，并说明理由. 17．已知向量不共线，且，求证：． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第51卷 平面向量的内积 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若，的夹角为，则（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解． 【详解】由题意，. 故答案为：B. 2．已知向量，满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的模长公式计算即可. 【详解】. 故选:D. 3．若，则的夹角可能是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的定义与已知条件确定夹角的范围即可. 【详解】设向量与的夹角为，， 已知，即， 由于，，那么，则， 结合选项可知，ABC不符合，D符合， 故选：D. 4．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积运算即可求解. 【详解】由题意得，，夹角为， 则. 故选：B. 5．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 6．两个非零向量互相垂直时，的值为（　　）. A．正数 B． C．负数 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】两个非零向量互相垂直时，夹角为， 所以，故B正确，AC错误； 是非零向量，则，故，故D错误. 故选：B. 7．已知，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积定义计算即可. 【详解】. 故选：B. 8．已知是非零平面向量，，且的夹角为，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的条件列方程结合内积的运算律求解即可. 【详解】，，， ， 解得（舍去）. 故选：D. 9．若两个非零向量的夹角为锐角，则它们的内积（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．一定等于 【答案】B 【分析】利用向量内积公式以及锐角的范围来确定内积的正负. 【详解】设两个非零向量为和，它们的夹角为， 已知两个非零向量的夹角为锐角，即，则， 又因为和是非零向量，所以且， 那么， 故选：B. 10．若，的夹角为，则（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】由题意， . 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若，则两向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】设两向量夹角为， ， 故答案为： 12．已知满足，则的形状一定是__________． 【答案】直角三角形 【分析】根据向量的内积为0得到线段垂直，进而得到直角三角形. 【详解】由，得，即， ∴的形状一定是直角三角形． 故答案为：直角三角形. 13．若且二者均不是，则它们的夹角为______. 【答案】 【分析】根据非零向量数量积判断即可得出结果. 【详解】由，非零， 则，得，，. 故答案为： 14．已知，则向量的最大值是______. 【答案】8 【分析】将向量先平方后开方，根据向量的运算性质和模的性质，当向量和同向时，二者夹角的余弦值最大，此时取得最大值. 【详解】因为，设向量和向量夹角为， 所以， 所以当与同向时，即时，取得最大值，为. 故答案为：8. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．等边三角形ABC的边长为2，求的值． 【答案】 【分析】先由等边三角形求出和两个向量的夹角，再由向量内积的定义求解即可. 【详解】如图所示，将向量平移，使其与向量的始点相同， 因为等边三角形ABC的边长为2， 所以， 利用向量内积的定义可得， ．    16．已知非零向量满足，且，求向量的夹角，并说明理由. 【答案】夹角为，理由见解析 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】设向量的夹角为， 由题意，， 因为，所以. 17．已知向量不共线，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的内积的运算律和向量垂直的条件证明即可. 【详解】， ， 即， ， ， 又与不共线，， ． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $