第49卷 平面向量的概念及线性运算（教师讲解卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第49卷 平面向量的概念及线性运算 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．两条有向线段长度相等、指向一致，但起点不同.下列判断正确的是（　　）. A．一定不能表示同一个向量 B．可以表示同一个向量 C．只有起点重合才可以 D．只有终点重合才可以 2．要得到向量，可将（    ） A．向量向左平移个单位 B．向量向右平移个单位 C．向量保持方向不变，长度伸长到倍 D．向量的方向反向，长度伸长到倍 3．若以同一点为起点作，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．下列选项中是向量的是（    ） A．温度 B．速度 C．密度 D．湿度 5．沿路线移动，整体位移可写为（　　）. A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 7．已知点是线段的中点，则有（    ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 10．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若，与的方向______. 12．若与同向，且，则__________. 13．如图所示，已知，则用、表示为__________．    14．同一直线上向右与向左合成后，结果向右______. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．计算． (1)； (2)； (3)． 16．化简下列各式 (1) (2) (3) (4) 17．已知在四边形中，且，求证：四边形是菱形． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第49卷 平面向量的概念及线性运算 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．两条有向线段长度相等、指向一致，但起点不同.下列判断正确的是（　　）. A．一定不能表示同一个向量 B．可以表示同一个向量 C．只有起点重合才可以 D．只有终点重合才可以 【答案】B 【分析】根据向量的概念即可求解. 【详解】只要大小相等、方向相同，就可表示同一个自由向量，起点位置可以不同， 所以两条有向线段长度相等、指向一致，可以表示同一个向量. 故选：B. 2．要得到向量，可将（    ） A．向量向左平移个单位 B．向量向右平移个单位 C．向量保持方向不变，长度伸长到倍 D．向量的方向反向，长度伸长到倍 【答案】D 【分析】由向量数乘的概念及几何意义即可得解. 【详解】由数乘向量的几何意义可知，要得到向量，可将向量的方向反向，长度伸长到2倍． 故选：. 3．若以同一点为起点作，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：C. 4．下列选项中是向量的是（    ） A．温度 B．速度 C．密度 D．湿度 【答案】B 【分析】根据向量的概念即可选出正确答案. 【详解】向量指既有大小又有方向的量， 温度、密度和湿度，都只有大小，不存在方向的描述， 而速度既有大小，比如60千米/小时，又有方向，比如向东，故只有B对. 故选：B 5．沿路线移动，整体位移可写为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算求解即可. 【详解】从经过到，整体位移从指向，所以. 故选：A. 6．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，单位向量，共线向量的概念逐个分析即可. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 7．已知点是线段的中点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量数乘运算的几何意义即可得解. 【详解】如图，点是线段的中点，    则，，故ACD项错误，B项正确. 故选：B. 8．在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则和减法法则逐项分析即可. 【详解】在平行四边形中， ，A正确， ，B正确， ，C错误， ，，，D正确. 故选：C. 9．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 10．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算，向量的相等及向量的模的定义即可得解. 【详解】∵在四边形中，. ∴.且. ∴四边形为平行四边形． ∵. ∴. ∴四边形的对角线长度相等. ∴平行四边形为矩形． 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若，与的方向______. 【答案】相反 【分析】根据相反向量概念即可得出结果. 【详解】根据相反向量概念，当不是零向量时，和大小相等，方向相反. 故答案为：相反 12．若与同向，且，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】因为与同向，，则. 故答案为：. 13．如图所示，已知，则用、表示为__________．    【答案】 【分析】根据向量加法、减法、及数乘运算法则求解. 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：. 14．同一直线上向右与向左合成后，结果向右______. 【答案】5 【分析】根据向量的加法运算求解即可. 【详解】同一直线上向右与向左合成后，则有，方向向右. 故答案为：5. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由向量的加法，减法和数乘运算计算即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. 16．化简下列各式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】（1）解：. （2）. （3） （4） 17．已知在四边形中，且，求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】结合向量相等及菱形的特征即可求解. 【详解】证明：在四边形中，因为， 所以，且． 又因为、、、四点不共线， 所以四边形是平行四边形． 又因为， 所以根据邻边相等的平行四边形是菱形可知， 四边形是菱形． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $