第六章 电磁感应定律 章末小结（举一反三·讲义）物理沪科版选择性必修第二册

第六章 电磁感应定律 章末小结 【新教材沪科版】 模块二 知识精讲 情景导入 电磁感应现象中，我们学习了哪些内容？会解答几种问题呢? 知识归纳 【知识点1 动生问题】 一、动生电动势 1．导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E＝Blv的理解 (1)直接使用E＝Blv的条件是：在匀强磁场中，B、l、v三者互相垂直．如果不相互垂直，应取垂直分量进行计算． (2)有效长度 公式E＝Blv中的l为导体两端点连线在垂直于速度、磁场方向上的投影长度． (3)相对速度 E＝Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系． 2．导线转动切割的三种情况 (1)以中点为轴时，E＝0(不同两段的代数和)。 (2)以端点为轴时，大小E＝Bl2ω(平均速度取中点位置的线速度ωl)。 (3)以任意点为轴时，大小E＝Bω(l－l)(l1、l2分别为转轴到两端点的距离，l1大于l2，E为导体两端间的电势差)。 二、“单杆＋导轨”模型 “单杆＋导轨”模型的四种典型情况(不计单杆的电阻) v0≠0、轨道水平光滑 v0＝0、轨道水平光滑 示意图 运动分析 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力F＝ILB＝，做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 S闭合时，ab杆受安培力F＝，此时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝ILB↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝ 开始时a＝，以后杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝ILB↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，以后杆ab速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv 电流I＝＝CBL＝CBLa 安培力F安＝ILB＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度做匀加速运动 速度图像 能量分析 动能全部转化为内能Q＝mv 电源输出的电能转化为杆的动能W电＝mv F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生焦耳热WF＝Q＋mv F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能WF＝mv2＋EC 三、“双杆＋导轨”模型 1.初速度不为零，不受其他水平外力 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2 杆MN、PQ间距足够长 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝2L2 杆MN、PQ间距足够长且只在各自的轨道上运动 规律 分析 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力 光滑的平行导轨 不光滑平行导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2 摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2 规律 分析 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动，MN杆静止。若F＞2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同 【例1】如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场，当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为(　　) A.BRv B.BRv C.BRv D.BRv 答案　D 解析　当圆环运动到题图所示位置时，圆环切割磁感线的有效长度为R，产生的感应电动势为E＝BRv，a、b两点的电势差Uab＝E＝BRv，故选D. 【变式1-1】如图所示，倾角为α＝37°的绝缘斜面体固定在水平面上，顶端放有一“U”形导体框HEFG，导体框质量为M＝2kg，电阻忽略不计且足够长，导体框EF边长度为L＝0.2m，与斜面底边平行，导体框与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.75。质量为m＝1kg、电阻为R＝2Ω的光滑金属棒CD的两端置于导体框上，构成矩形回路。整个装置处在磁感应强度大小为B＝10T、方向垂直于斜面向下的匀强磁场中。t＝0时刻金属棒CD与EF边间距为x0＝1m，且金属棒与导体框均以初速度v0＝2m/s沿斜面向下运动。t＝2s以后金属棒的运动可视为匀速运动，导体框仍沿斜面向下运动，金属棒与导体框始终接触良好且平行EF边，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）在0＜t＜2s时间内，任意时刻金属棒与导体框的加速度大小之比； （2）t＝2s时金属棒和导体框的速度； （3）t＝2s时金属棒CD与EF边的距离d。 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】（1）在0~2s内，金属棒向下做加速运动，导体框向下做减速运动，根据牛顿第二定律 对金属棒 对导体框 解得， 代入数据可求得 （2）2s时金属棒做匀速直线运动，设速度为v1，导体框速度为v2，对金属棒可得 得 得 因金属棒和导体框组成的系统所受摩擦力等于重力沿斜面向下的分力，安培力等大、反向，等效为内力，故整体受力平衡，根据动量守恒 联立得， （3）对金属棒，由动量定理 设2s内金属棒与EF边的相对位移为x，则 解得 2s时金属棒与EF间距为 【变式1-2】如图所示，光滑绝缘的水平桌面上有一直角三角形导线框ABC，其中AB＝L，BC＝2L，两平行虚线间有一垂直于桌面向下的匀强磁场，磁场宽度为L，导线框BC边与虚线边界垂直．现让导线框从图示位置开始沿BC方向匀速穿过磁场区域．设线框中产生顺时针方向的感应电流为正，则在线框穿过磁场的过程中，产生的感应电流与线框运动距离x的函数关系图象正确的是(　　) 答案　D 解析　在线框进入0～L范围时，线框内产生的感应电流为逆时针方向；切割磁感线的有效长度从0均匀增加到，可知感应电流均匀增加；从L～2L，线框切割磁感线的有效长度为不变，感应电流不变，方向为逆时针方向；从2L～3L，线框切割磁感线的有效长度从逐渐增加到L，则感应电动势增加到原来的2倍，感应电流增加到原来的2倍，方向为顺时针方向，故选D. 【变式1-3】如图，直角三角形金属框放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于边向上。当金属框绕边以角速度ω逆时针转动时，三点的电势分别为。已知边的长度为l。下列判断正确的是( ) A.，金属框中无电流 B.，金属框中电流方向沿 C.，金属框中无电流 D.，金属框中电流方向沿 答案：C 解析：在三角形金属框内，有两边切割磁感线，其一为边，电动势大小为；其二为边，边有效的切割长度为l，电动势大小也为。由右手定则可知金属框中无电流，且，选项ABD错误。，选项C正确。 【知识点2 感生问题】 对公式E＝n的理解 1．若已知Φ－t图像，则图线上某一点的切线斜率为. 2．当ΔΦ仅由B的变化引起时，E＝n，其中S为线圈在磁场中的有效面积．若B＝B0＋kt，则＝k. 3．当ΔΦ仅由S的变化引起时，E＝nB. 4．当B、S同时变化时，则E＝n≠n. 【例2】轻质细线吊着一质量为m＝0.42 kg、边长为L＝1 m、匝数 n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1 Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10 m/s2) (1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针； (2)求线圈的电功率； (3)求在t＝4 s时轻质细线的拉力大小。 解析：(1)由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向。 (2)由法拉第电磁感应定律得 E＝n＝n·L2＝0.5 V 则P＝＝0.25 W。 (3)通过线圈的电流I＝＝0.5 A，由题图乙可知当t＝4 s时，B＝0.6 T，线圈受到的安培力F安＝nBIL 由平衡条件得F安＋F线＝mg 联立解得F线＝1.2 N。 答案：(1)逆时针　(2)0.25 W　(3)1.2 N 【变式2-1】用导线绕一圆环，环内有一用同样导线折成的内接正方形线框，圆环与线框绝缘，如图甲所示．圆环的半径R＝2 m，导线单位长度的电阻r0＝0.2 Ω/m.把它们放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆环平面(纸面)向里．磁感应强度B随时间t变化如图乙所示，求： (1)正方形线框产生的感应电动势； (2)在0～2.0 s内，圆环产生的焦耳热； (3)若不知道圆环半径数值，在0～2.0 s内，圆环中的电流与正方形线框中的电流之比． 答案　(1)4 V　(2)31.75 J　(3) 解析　(1)正方形线框的面积为S＝2R2， 根据法拉第电磁感应定律得： E＝S＝×2×22 V＝4 V. (2)圆环面积为S′＝πR2，圆周长为L＝2πR， 圆环的电阻为： r′＝2πRr0＝2×3.14×2×0.2 Ω≈2.5 Ω 根据法拉第电磁感应定律得： E′＝S′＝×π×22 V≈6.3 V 在0～2.0 s内，圆环产生的焦耳热为： Q＝t＝×2.0 J≈31.75 J (3)正方形线框中的电流为： I＝＝·， 圆环中的电流为：I′＝＝· 圆环中的电流与正方形线框中的电流之比：＝. 【变式2-2】管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化并焊接。则下列说法正确的是(　 ) A．该焊机也能焊接塑料圆管的接缝 B．线圈的电阻越大，焊接效果越好 C．线圈的电源换成直流电源也能进行焊接 D．圆管的接缝处电阻较大，产生的电热较无接缝处大 解析：选D　塑料圆管在焊接时，管内无法产生交变磁场，塑料圆管中无电流，不能焊接，A错误；圆管通过的高频交流电源一定时，产生的感应电动势一定，线圈的电阻越大，则产生的电流越小，焊接时产生的电热越少，焊接效果不好，B错误；将线圈的电源换成直流电源，线圈不能产生交变磁场，圆管中不产生电流，不能进行焊接，C错误；通过圆管的高频交流电源一定，产生的感应电动势一定，电流一定，圆管的接缝处电阻较大，产生的电热较大，D正确。 【变式2-3】学生饭卡其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，在线圈处引起电磁感应，产生电信号。其原理可简化为如图甲所示，设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10－4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一电阻R＝0.3 Ω组成闭合回路，其余部分电阻不计。线圈处的磁场可视作匀强磁场，其大小按如图乙所示规律变化(设垂直纸面向里为正方向)，求： (1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势E的大小； (2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热Q； (3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电流方向和电荷量q。 答案　(1)0.024 V　(2)1.08×10－4 J　 (3)由N到M　0.006 C 解析　(1)在0～0.1 s内，由乙图可得 ＝ T/s＝0.2 T/s 由法拉第电磁感应定律有E＝N＝NS 解得E＝0.024 V。 (2)根据闭合电路欧姆定律有I＝＝0.06 A 再由焦耳定律得Q＝I2Rt 解得Q＝1.08×10－4 J。 (3)根据楞次定律可以判断，0.1～0.4 s流过R的电流方向由N到M 根据q＝Δt 又＝，＝N 可得q＝N＝N 由乙图可知，0.1～0.4 s内磁感应强度变化大小ΔB＝0.02 T 解得q＝0.006 C。 【知识点3 动生、感生综合问题】 【例3】如图甲所示，在光滑绝缘水平面上的0≤x≤1.0 m区域内存在方向垂直平面向外的匀强磁场。一电阻值R＝0.5 Ω、边长L＝0.5 m的正方形金属框abcd，右边界cd恰好位于磁场边界。若以cd边进入磁场时作为计时起点，线框受到一沿x轴正方向的外力F作用下以v＝1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。在0≤t≤1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图乙所示，在0≤t≤1.3 s内线框始终做匀速运动。 (1)在1.0 s≤t≤1.3 s内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系式； (2)求在0≤t≤1.3 s内流过导线横截面的电荷量q。 [解析]　(1)根据题意，线框匀速离开磁场，电流为0，磁通量不变，则有Φ1＝Φ t＝1.3 s时，B1＝0.5 T，磁通量Φ1＝B1L2 t时刻，磁通量Φ＝BL[L－v(t－t1)] 得B＝。 (2)根据q＝ 可得0≤t≤0.5 s电荷量q1＝＝0.125 C 0．5 s≤t≤1.0 s电荷量q2＝＝0.125 C 故0≤t≤1.3 s电荷量q＝q1＋q2＝0.25 C。 [答案]　(1)B＝　(2)0.25 C 【变式3-1】（2026·贵州遵义市仁怀市·一模）（多选）如图甲，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd，置于虚线AB左侧始终竖直向下的磁场中，bc边与虚线AB重合，虚线AB右侧为的匀强磁场。导体框的质量，电阻、边长，磁感应强度随时间t的变化图像如图乙所示。在时，导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，下列说法正确的是（　　） A. 时流过ad边的电流方向由a到d B. 时流过ad边的电流大小为0.2A C. 当线框速度减为时，ad边和bc边受到的安培力方向相同 D. 当线框速度减为时ad边移动的距离为 【答案】BCD 【解析】A．由图乙可知在时间内导体框所在区域磁场随时间均匀减小，根据楞次定律可知，导体框将形成顺时针方向的电流，即流过ad边的电流方向由d到a，故A错误； B．根据法拉第电磁感应定律可知，时导体框的感应电动势大小为 流过ad边电流大小满足,故B正确； C．当线框速度减为时，线框的边处于右侧的磁场中，根据右手定则可知，产生的感应电流方向由b到c；线框的边处于左侧的磁场中，根据右手定则可知，产生的感应电流方向由d到a。因此线框的电流流向为顺时针方向，由左手定则，边与边受到的安培力均向左，故C正确； D．由上述分析可知，边与边切割产生的感应电动势为叠加关系，感应电动势的大小为 线框的电流大小为 当线框速度减时，设线框移动距离为，由动量定理 其中 解得，故D正确。 故选BCD。 【变式3-2】(多选)如图所示，两根间距为L的光滑平行金属导轨，OO′左侧向上弯曲，右侧水平，水平导轨处在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中。两根金属棒MN、PQ始终垂直导轨，与导轨接触良好，MN、PQ棒的长度均为L、质量均为m、阻值均为R。金属棒MN从竖直高度h处由静止释放沿导轨下滑。导轨电阻不计，整个过程中金属棒MN和PQ未相碰，则(　 ) A．释放后金属棒MN最终停在水平轨道上 B．金属棒MN刚进入磁场时，金属棒PQ两端电压大小 C．整个过程中流过金属棒PQ的电荷量为 D．整个过程中金属棒MN产生的焦耳热为mgh 解析：选BD　释放后金属棒MN最终与PQ金属棒在水平轨道上，一起做匀速直线运动，A错误；金属棒MN刚进入磁场时，根据机械能守恒定律有mgh＝mv2，根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得感应电动势为E＝BL，金属棒PQ两端电压大小为U＝E＝，B正确；金属棒MN、PQ组成的系统动量守恒，有mv＝2mv′，整个过程中对金属棒PQ分析，由动量定理有BLt＝mv′，流过金属棒PQ的电荷量为q＝t，联立解得q＝，C错误；设整个过程中闭合回路产生的焦耳热为Q，对系统由能量守恒定律得mgh＝·2mv′2＋Q，解得Q＝mgh，则整个过程金属棒MN产生的焦耳热为QMN＝Q＝mgh，D正确。 【变式3-3】如图甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d＝0.5 m，电阻不计，左端通过导线与阻值R＝2 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值RL＝4 Ω的小灯泡L连接．在CDFE矩形区域内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，CE长l＝2 m，有一阻值r＝2 Ω的金属棒PQ放置在靠近磁场边界CD处(恰好不在磁场中)．CDFE区域内磁场的磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示．在t＝4 s时使金属棒PQ以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动．已知从t＝0开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求： (1)通过小灯泡的电流； (2)金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小． 答案　(1)0.1 A　(2)1 m/s 解析　(1)在t＝0至t＝4 s内，金属棒PQ保持静止，磁场变化导致电路产生感应电动势，等效电路为r与R并联，再与RL串联，电路的总电阻R总＝RL＋＝5 Ω，此时感应电动势：E＝＝dl＝0.5×2×0.5 V＝0.5 V，通过小灯泡的电流I＝＝0.1 A. (2)当金属棒在磁场区域中运动时，由金属棒切割磁感线产生电动势，等效电路为R与RL并联，再与r串联，此时电路的总电阻R总′＝r＋＝ Ω＝ Ω，由于灯泡中电流不变，所以灯泡的电流IL＝I＝0.1 A，则流过金属棒的电流为I′＝IL＋IR＝IL＋＝0.3 A，电动势E′＝I′R总′＝Bdv，解得金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小为v＝1 m/s. 【知识点4 电磁感应中的图像问题】 1．解题关键 弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键． 2．解题步骤 (1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图像或判断图像． 3．常用方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项． (2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断． 4．感生类图像问题 (1)问题类型 ①给定电磁感应过程，选出或画出正确的图像。 ②由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应物理量。 (2)分析方法 ①电动势大小：E＝n，取决于磁通量的变化率。 ②电动势方向：用楞次定律和安培定则判断。 5．动生类图像问题 (1)问题类型 由闭合线圈的运动过程画出i－t图像或E－t图像。 (2)分析方法 ①电动势大小：E＝Blv。 要注意是单边切割还是双边切割(感应电流同向相加、反向相减)，等效长度为在磁场中导线首尾相连在垂直于速度方向的投影长度。 ②电动势方向：用右手定则判断。 【例4】(多选)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R.质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为F安，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有(　　) 答案　BC 解析　设金属棒在某一时刻速度为v，由题意可知，感应电动势E＝BLv，回路电流I＝＝v，即I∝v；安培力F安＝BIL＝v，方向水平向左，即F安∝v；R两端电压UR＝IR＝v，即UR∝v；感应电流功率P＝EI＝v2，即P∝v2. 分析金属棒运动情况，由牛顿运动第二定律可得F0＋kv－v＝ma，即F0＋(k－)v＝ma.因为金属棒从静止开始运动，所以F0>0 . (1)若k＝，金属棒水平向右做匀加速直线运动．所以在此情况下没有选项符合； (2)若k>，F合随v增大而增大，即a随v增大而增大，说明金属棒在做加速度增大的加速运动，根据四个物理量与速度的关系可知B选项符合； (3)若k<，F合随v增大而减小，即a随v增大而减小，说明金属棒在做加速度减小的加速运动，直到加速度减小为0后金属棒做匀速直线运动，根据四个物理量与速度关系可知C选项符合． 综上所述，选项B、C符合题意． 【变式4-1】如图甲所示，两根与水平面成θ＝30°角的足够长的光滑金属导轨平行放置， 导轨间距为L，导轨的电阻忽略不计。整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中， 磁感应强度为B，现将质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b垂直于导轨放置，不可伸长 的绝缘细线一端系在金属棒b的中点。另一端N通过轻质小滑轮与质量为M的物体相连， 细线与导轨平面平行。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，不计一切摩擦，物体 始终未与地面接触，重力加速度g取10m/s2。 （1）若金属棒a固定，M＝m，由静止释放b，求释放瞬间金属棒b的加速度大小； （2）若金属棒a固定，L＝1m，B＝1T，m＝0.2kg，R＝1Ω，改变物体的质量M，使金属棒b沿斜面向上运动，请推导出金属棒b获得的最大速度v与物体质量M的关系式，并在乙图中画出v﹣M图象； （3）若将N端的物体去掉，并对细线的这一端施加竖直向下的恒力F＝mg，同时将金属棒a、b由静止释放。从静止释放到棒a恰好开始匀速运动的过程中，棒a的位移大小为x，求这个过程中棒a产生的焦耳热。 解析：（1）设释放瞬间金属棒b的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得： 对物体M：Mg﹣T＝Ma 对金属棒b：T﹣mgsinθ＝ma 解得：a 代入数据解得 a＝2.5m/s2。 （2）当金属棒b速度达到最大时， 对物块M有：T＝Mg 对金属棒b有：mgsinθ+BIL＝T 对电路分析有：E＝BLv 根据闭合电路欧姆定律有： 解得：v＝20M﹣2 v﹣M图象如图所示。 （3）对两棒受力分析可知，在任一时刻： 对a棒：mgsinθ﹣F安＝ma1 对b棒：F﹣mgsinθ﹣F安＝ma2 结合 F＝mg 解得：a1＝a2 即任一时刻两棒的速度、加速度、位移总是大小相等、方向相反，同时达到匀速运动状态，此时的速度最大。设此时a、b棒的速度均为v1，则 电路中的总电动势：E1＝2BLv1 电路中的总电流 对a棒：mgsinθ＝BI1L 解得： 从静止释放到a刚开始匀速运动的过程中，a、b的位移大小均为x，产生的焦耳热均为Q，则由功能关系可得 Fx﹣mgx•sinθ+mgx•sinθ 解得：。 答案：（1）若金属棒a固定，M＝m，由静止释放b，释放瞬间金属棒b的加速度大小为2.5m/s2。 （2）金属棒b获得的最大速度v与物体质量M的关系式是v＝20M﹣2，v﹣M图象如图所示； （3）这个过程流过金属棒a的电量为。 【变式4-2】一个边长为2L的等边三角形磁场区域，一个底边长为L的直角三角形金属线框，线框电阻为R，二者等高，金属线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则线框中感应电流i随位移x变化的图像正确的是(　 ) 解析：选B　当x＜L时，感应电动势为E＝Bvx，感应电流为I＝＝Bvx，由楞次定律可知电流为正向且逐渐增大，当L≤x＜2L时，感应电动势为E＝B(2L－x)v，感应电流为I＝＝BvL－Bvx，由楞次定律可知电流为正向且逐渐减小，当2L≤x＜3L时，感应电动势为E＝Bv(3L－x)，感应电流为I＝＝BvL－Bvx，由楞次定律可知电流为负向且逐渐减小，B正确。 【变式4-3】将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab边置于垂直纸面向里为匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是(　　) 答案　B 解析　根据B－t图象可知，在0～时间内，B－ t图线的斜率为负且为定值，根据法拉第电磁感应定律E＝nS可知，该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的，由楞次定律可知，ab中电流方向为b→a，再由左手定则可判断ab边受到向左的安培力，且0～时间内安培力恒定不变，方向与规定的正方向相反；在～T时间内，B－t图线的斜率为正且为定值，故ab边所受安培力仍恒定不变，但方向与规定的正方向相同．综上可知，B正确． 【知识点5 电磁感应中的电路问题】 1．电磁感应中的电源 (1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源． 电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻． (2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极． (3)对路端电压的理解：“电源”两端的电压为路端电压，不是电源的感应电动势。 2．电磁感应中电路知识的关系图 3．分析电磁感应电路问题的基本思路 4．电磁感应中电荷量的计算 电磁感应中电荷量的计算公式：q＝n 推导：根据法拉第电磁感应定律＝n，电路中的平均电流为＝＝，所以q＝Δt＝n。 结论：电磁感应过程中产生的感应电荷量由线圈的匝数、磁通量的变化量及电路的总电阻共同决定，与时间Δt无关。 【例5】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中(　　) A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 答案　C 解析　设PQ左侧电路的电阻为Rx，则右侧电路的电阻为3R－Rx，所以外电路的总电阻为R外＝，外电路电阻先增大后减小，再根据闭合电路欧姆定律可得PQ中的电流I＝先减小后增大，路端电压先增大后减小，故A、B错误；由于导体棒做匀速运动，拉力等于安培力，即F＝BIl，拉力的功率P＝BIlv，故先减小后增大，所以C正确；外电路的总电阻R外＝，最大值为R，小于导体棒的电阻R，又外电阻先增大后减小，由电源的输出功率与外电阻的关系图象可知，线框消耗的电功率先增大后减小，故D错误． 【变式5-1】如图所示，两根电阻不计且足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角α＝37°，导轨间距L＝1m，顶端用电阻R＝2Ω的定值电阻相连。虚线上方存在垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T．质量m1＝0.1kg、电阻R1＝4Ω的导体棒M在磁场中距虚线的距离d＝2m，M与导轨间的动摩擦因数μ1＝0.25，质量m2＝0.3kg、电阻R2＝2Ω的导体棒N在虚线处，N与导轨间的动摩擦因数μ2＝0.8．将导体棒M、N同时从导轨上由静止释放，M到达虚线前已经匀速，重力加速度g取10m/s2，运动过程中M、N与导轨始终接触良好，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）求M、N相碰前，M上产生的焦耳热； （2）求M、N相碰前M运动的时间； （3）M、N相遇发生弹性碰撞，碰后瞬间对M施加一个沿斜面方向的作用力F，使M、N同时匀减速到零，求M棒在减速到零的过程中作用力F的大小随时间变化的表达式。 【解答】解：（1）M棒匀速时，有：m1g sin37°＝μ1m1g cos37°+BIL…① 因为E＝BLv0…② 根据欧姆定律有：I③ 因为R总④ M棒从开始到达虚线位置，根据能量守恒有：⑤ M棒、N棒、电阻R产生的焦耳热之比为：QM：QN：QR＝8：1：1…⑥ QM总…⑦ 由①～⑦式解得：QM＝0.48J （2）对M棒由动量定理有：（m1g sin37﹣μ1m1g cos37°﹣BL）t＝m1v0…⑧ qt⑨ △Φ＝BLd …⑩ 联立解得：t＝1.5s （3）对M、N棒碰撞过程，根据动量守恒以及能量守恒有：m1 v0＝m1 v1+m2 v2…⑪ ⑫ 碰后对N棒有：μ2m2g cos37°﹣m2g sin37＝m2a2…⑬ v2＝a2t0…⑭ 碰后对M棒有：m1g sin37+μ1m1g cos37°+BI′L﹣F＝m1a1…⑮ v1＝a1t0…⑯ 根据欧姆定律有：⑰ t0＝2.5s…⑱ 由⑪～⑱式解得…F＝0.96﹣0.08t （t≤2.5s）。 答：（1）M、N相碰前，M上产生的焦耳热为0.48J； （2）M、N相碰前M运动的时间为1.5s； （3）M、N相遇发生弹性碰撞，碰后瞬间对M施加一个沿斜面方向的作用力F，使M、N同时匀减速到零，M棒在减速到零的过程中作用力F的大小随时间变化的表达式为F＝0.96﹣0.08t （t≤2.5s）。 【变式5-2】如图所示，一个边长为a、电阻为R的等边三角形线框，在外力作用下，以速度v匀速穿过宽度均为a的两个匀强磁场。这两个磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反。线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直。取逆时针方向的电流为正。若从图示位置开始，线框中产生的感应电流i与沿运动方向的位移x之间的函数图象，下面四个图中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 解析：线框从开始进入到全部进入第一个磁场时，磁通量向里增大，则由楞次定律可知，电流方向为逆时针。因切割的有效长度均匀增大，故由可知，时间内，切割的有效长度均匀增大，电动势也均匀增加，感应电流均匀增加；时间内，切割的有效长度均匀减小，电动势也均匀减小，感应电流均匀减小；时间内，垂直向外的磁通量增多，垂直向内的磁通量减少，由楞次定律可知，电流方向为顺时针，由于分处两磁场的线圈两部分产生的电流相同，且有效长度是均匀变大的，所以在时刻感应电动势是时刻的两倍，故B项正确。 综上所述，本题正确答案为B。 【变式5-3】如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动，在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是(　 ) A．棒产生的电动势为Bl2ω B．微粒的电荷量与质量之比为 C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为CBr2ω 解析：选B　由法拉第电磁感应定律可知棒产生的电动势为E＝Br·ωr＝Br2ω，A错误。金属棒电阻不计，故电容器两极板间的电压等于棒产生的电动势，微粒的重力与其受到的电场力大小相等，有q＝mg，可得＝，B正确。电阻消耗的电功率P＝＝，C错误。电容器所带的电荷量Q＝CU＝CBr2ω，D错误。 【知识点6 电磁感应中的平衡、动力学问题】 1．导体的两种运动状态 (1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件列式分析． (2)导体的非平衡状态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析． 2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤 【例6】如图所示，MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d，导轨所在平面与水平面成θ角，M、P间接阻值为R的电阻．匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B.质量为m、阻值为r的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动．已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g.求： (1)金属棒产生的感应电动势E； (2)通过电阻R的电流I； (3)拉力F的大小． 答案　(1)Bdv　(2)　(3)mgsin θ＋ 解析　(1)根据法拉第电磁感应定律得E＝Bdv. (2)根据闭合电路欧姆定律得I＝＝ (3)导体棒的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有F－F安－mgsin θ＝0，又因为F安＝BId＝，所以F＝mgsin θ＋. 【变式6-1】（2026·河北省五个一联盟·一模）如图所示，间距为L的两平行光滑的足够长金属导轨固定在绝缘水平面上，两长度为L、质量为m、阻值为R 的金属棒垂直导轨放置，匀强磁场垂直导轨平面向下，磁感应强度大小为 B。初始时B棒固定，A棒静止，用一水平向右的恒力作用在A棒上，A的瞬时加速度大小为a，恒力持续作用一段时间后，A棒做匀速直线运动，然后在B棒上施加一同样的恒力，释放B棒。导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　） A. 释放B 棒瞬间，A棒的速度大小为 B. 释放B 棒瞬间，加速度大小也为a C. A、B两棒最终运动时速度差恒定且不为零 D. A、B两棒最终运动时加速度均恒定且大小相等 【答案】D 【解析】A．A棒释放瞬间，则有 A棒匀速运动时，则有 解得，故A错误。 B．释放B棒时，B棒受到的安培力大小为 对B棒有 解得，故B错误。 CD．释放B棒后，B棒向右加速运动，两棒都产生电动势，很短时间内电路中电流为 释放B棒瞬间，A棒加速度为零，B棒加速度为，B棒速度增加使速度差减小，则减小，对A棒有 A棒的加速度从零增加，对B棒有 B棒的加速度从逐渐减小，在A、B棒加速度相等前，B棒的加速度大于A棒的加速度，B棒速度的增加量大于A棒的速度增加量，两者的速度差减小，电流减小，安培力减小，直到两者的速度差为零，电流为零，安培力为零，两者的加速度都为，故C错误.D正确。 故选D。 【变式6-2】（2026·河北省保定市涿州市第二中学·一模）（多选）如图所示，在竖直平面（纸面）内存在方向垂直纸面向里的磁场。一质量为m、边长为L、电阻为R的正方形导体框（底边水平），从高度为L、磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ上方由静止释放。导体框释放后，恰好匀速通过区域Ⅰ，随即进入高度为、磁感线均匀分布的变化磁场区域Ⅱ。从导体框释放开始计时，区域Ⅱ内磁场的磁感应强度B随时间t按的规律变化，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 导体框在区域Ⅰ中匀速下落的速度大小为 B. 导体框释放时，其底边距区域Ⅰ上边界的高度为 C. 导体框在穿过区域Ⅰ的过程中，产生的焦耳热为 D. 导体框完全在区域Ⅱ中运动的过程中，通过导体框的电流恒为 【答案】AD 【解析】AB．设导体框释放时，其底边距区域Ⅰ上边界的高度为h，导体框在区域Ⅰ中匀速下落的速度大小为v，有 对导体框，根据物体的平衡条件有 其中 解得，，故A正确，B错误； C．根据能量守恒定律可知，导体框在穿过区域Ⅰ的过程中，产生的焦耳热，故C错误； D．导体框完全在区域Ⅱ中运动的过程中，产生的感应电动势恒为 感应电流恒为，故D正确。 故选AD。 【变式6-3】如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1 m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2 Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度B＝0.4 T．质量m＝0.2 kg、电阻r＝1 Ω的金属棒ab，以初速度v0从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一与棒垂直且平行于导轨平面的外力F的共同作用下做匀变速直线运动，速度—时间图象如图乙所示．设金属棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数μ＝0.25.已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)金属棒产生的感应电动势的最大值； (2)当金属棒速度为向上3 m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率； (3)金属棒在0<t<2 s、2 s<t<4 s内外力F随时间t变化的函数关系式． 答案　(1)2.4 V　(2)3.48 W　(3)见解析 解析　(1)当金属棒速度最大时，感应电动势最大，故有E＝BLv0＝0.4×1×6 V＝2.4 V. (2)当金属棒速度为v＝3 m/s时，加速度大小为a＝＝ m/s2＝3 m/s2，FA′＝BIL＝＝0.16 N， 由牛顿第二定律得：－μmgcos θ－mgsin θ－FA′＋F＝－ma 解得F＝μmgcos θ＋mgsin θ＋FA′－ma＝1.16 N 故有P＝Fv＝3.48 W. (3)由题图乙可知速度大小v＝6－3t (m/s) 上滑阶段安培力大小FA上＝BIL＝＝0.32－0.16t 上滑阶段由牛顿第二定律得－mgsin θ－μmgcos θ－FA上＋F＝－ma 代入得F＝1.32－0.16t (N)(0<t<2 s) 下滑阶段，摩擦力和安培力方向改变，下滑阶段的安培力大小FA下＝0.16t－0.32 有－mgsin θ＋μmgcos θ＋FA下＋F＝－ma 可得F＝0.52－0.16t (N)(2 s<t<4 s)． 【知识点7 电磁感应中的动量、能量问题】 一、动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解． 二、动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便． 三、电磁感应中的能量问题 1．电磁感应中的能量转化 2．求解焦耳热Q的三种方法 3．解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化； (3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解． 【例7】(多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图5甲所示，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．以下说法正确的是(　　) A．在0～2 s时间内，I的最大值为0.01 A B．在3～5 s时间内，I的大小越来越小 C．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 C D．第3 s内，线圈的发热功率最大 答案　AC 解析　0～2 s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，I＝＝＝0.01 A，A正确；3～5 s时间内电流大小不变，B错误；前2 s内通过线圈某截面的电荷量q＝＝＝0.01 C，C正确；第3 s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误． 【变式7-1】（2026·贵州省贵阳市·一模）磁力制动系统是目前大型过山车进站减速的首选制动方式，其原理简化俯视图如图所示，间距为d的平行金属导轨固定在水平地面上，其右端连接一可变电阻，过山车可简化为一根质量为m、垂直于导轨且与导轨接触良好的导体棒，垂直导轨的两虚线与导轨围成的矩形区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当可变电阻阻值为R时，过山车以速度v进入磁场，离开磁场时速度为。除可变电阻外其余电阻不计，忽略摩擦及空气阻力。 （1）求过山车刚进入磁场时所受安培力的大小和方向； （2）求过山车穿过磁场区域的过程中可变电阻产生的焦耳热； （3）当可变电阻的阻值为多少时，可使过山车以速度v进入磁场，以的速度离开磁场？ 【答案】（1），方向水平向左 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 过山车进入磁场时回路电流为 右手定则可知电流方向向上。此时过山车所受安培力大小为 左手定则可知安培力方向水平向左。 【小问2详解】 过山车从进入磁场到离开磁场的过程满足能量守恒定律，设可变电阻产生的焦耳热为Q，则 【小问3详解】 当过山车以速度v进入磁场，以离开磁场时，设磁场区域长度为x，规定向右为正方向，根据动量定理有 当过山车以速度v进入磁场，以离开磁场时，设可变电阻为，同理，根据动量定理有 联立解得 【变式7-2】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，间距为L，电阻不计。AB左侧、CD右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。在AB、CD之间的区域内，垂直两根导轨水平放置了两根质量分别为m、2m、电阻分别为r、R的导体棒a、b。在a、b棒之间用一锁定装置将一轻质弹簧压缩安装在a、b棒之间(弹簧与两棒不拴接)，此时弹簧的弹性势能为Ep。现解除锁定，当弹簧恢复到原长时，a、b棒均恰好同时进入磁场。试求： (1)a、b棒刚进入磁场时的速度大小； (2)a、b棒分别在磁场中滑行的距离。 [解析]　(1)以a、b棒为系统，动量守恒，机械能守恒，以a棒运动的方向为正方向，设a、b棒刚要进入磁场时的速度分别为va、vb，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得Ep＝mva2＋×2mvb2 mva－2mvb＝0 联立解得va＝2，vb＝ 。 (2)a、b棒分别进入磁场后，相互背离切割磁感线，感应电动势为正负串接，且a、b棒流过的电流时刻相等，磁感应强度B相等，L也相等，故a、b棒的安培力等大反向，矢量和为零，其余的力矢量和也为零，系统动量始终守恒，故有mva′－2mvb′＝0 则有a、b棒运动中的任意时刻有＝ 设a、b棒在磁场中的位移分别为xa、xb，故＝ 由法拉第电磁感应定律可得＝ 由闭合电路的欧姆定律可得＝ 而两棒在运动过程中ΔΦ＝BL(xa＋xb) 对a棒，由动量定理可得 －安·Δt＝0－mva，安＝BL 联立方程，解得xa＝， xb＝。 [答案]　(1)2　 (2)　 【变式7-3】(多选)如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻相等，两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.75，导轨电阻忽略不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触，下列说法正确的是(　 ) A．导体棒cd中产生的焦耳热为mv02 B．导体棒cd中产生的焦耳热为mv02 C．当导体棒cd的速度为v0时，导体棒ab的速度为v0 D．当导体棒ab的速度为v0时，导体棒cd的速度为v0 解析：选BD　由题意可知：mgsin 37°＝μmgcos 37°，则两棒组成的系统沿轨道方向动量守恒，当最终稳定时：mv0＝2mv，解得v＝0.5v0，则回路产生的焦耳热为Q＝mv02－·2mv2＝mv02，则导体棒cd中产生的焦耳热为Qcd＝Q＝mv02，A错误，B正确；当导体棒cd的速度为v0时，则由动量守恒定律：mv0＝m·v0＋mvab，解得vab＝v0，C错误；当导体棒ab的速度为v0时，则由动量守恒定律：mv0＝m·v0＋mvcd，解得vcd＝v0，D正确。 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示的匀强磁场中有一根弯成45°的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时OA＝l0 ，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，MN匀速水平向右运动的速度为v，使MN匀速运动的外力为F，则外力F随时间变化的规律图象正确的是(　　) 答案　C 解析　设经过时间t，则N点距O点的距离为l0＋vt，直导线在回路中的长度也为l0＋vt，此时直导线产生的感应电动势E＝B(l0＋vt)v；整个回路的电阻为R＝(2＋)(l0＋vt)r，回路的电流I＝＝＝；直导线受到的外力F大小等于安培力，即F＝BIL＝B(l0＋vt)＝(l0＋vt)，故C正确． 2．(多选)如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有(　 ) [解析]　a棒以速度2v0先进入磁场切割磁感线产生的感应电流为i0＝，a棒受安培力做加速度变化的减速直线运动，感应电流也随之减小，即i­t图像的斜率逐渐变小；设当b棒刚进入磁场时a棒的速度为v1，此时a棒产生的感应电动势为E1＝Blv1；若v1＝v0，即E1＝Blv0，此时b棒产生的感应电动势E2＝Blv0，双棒双电源反接，电流为零，不受安培力，a棒匀速运动离开磁场，i­t图像中无电流，故A正确，C错误；若v1＜v0，即a棒产生的感应电动势E1＝Blv1＜Blv0，此时双棒双电源的电动势不相等要抵消一部分，因b棒的速度大，电流方向同b棒产生的感应电流的流向，与原a棒的流向相反即为负，大小为i＝，b棒受安培力要减速，a棒受安培力要加速，则电流逐渐减小，故B正确，D错误。 [答案]　AB 3．(多选)边长为a的闭合金属正三角轻质框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直于框架平面向里的匀强磁场中，现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图所示，则下列图象与这一拉出过程相符合的是(　　) 答案　BC 解析　设正三角形轻质框架开始出磁场的时刻t＝0，则其切割磁感线的有效长度L＝2xtan 30°＝x，则感应电动势E电动势＝BLv＝Bvx，则C项正确，D项错误；框架匀速运动，故F外力＝F安＝＝∝x2，A项错误；P外力功率＝F外力v∝F外力∝x2，B项正确． 4．(多选)如图所示，在0≤x≤L和2L≤x≤3L的区域内存在着匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里，具有一定电阻的正方形线框abcd边长为2L，位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，ab边在t0时刻到达x＝L位置，则线框中的感应电流I(取逆时针方向的电流为正)、bc两端的电势差Ubc与时间t的函数图像大致是下列图中的(　 ) [解析]　线框ab边从x＝0运动到x＝L的时间为t0，由运动学规律可得L＝at02，解得t0＝ ，感应电流I＝＝，电流随时间均匀增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向；设线框ab边从x＝L运动到x＝4L的时间为t1，则由运动学公式得t1＝ －t0＝2t0－t0＝t0，这段时间内穿过线框的磁通量不变，线框内没有感应电流；设线框ab边从x＝4L运动到x＝5L的时间为t2，则由运动学公式得t2＝ － ＝t0－2t0≈0.236t0，根据楞次定律得，感应电流方向沿顺时针方向，为负值，线框做匀加速直线运动，感应电流为I＝－＝－，故A正确，B错误；bc两端电势差Ubc＝IR，bc为外电路，故电势差变化和电流变化相同，故C正确，D错误。 [答案]　AC 5．(多选)如图甲，固定在光滑水平面上的正三角形金属线框，匝数n＝20，总电阻R＝2.5 Ω，边长L＝0.3 m，处在两个半径均为r＝的圆形匀强磁场区域中．线框顶点与右侧圆心重合，线框底边中点与左侧圆心重合．磁感应强度B1垂直水平面向上，大小不变；B2垂直水平面向下，大小随时间变化．B1、B2的值如图乙所示，则(　　) A．通过线框的感应电流方向为逆时针方向 B．t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.1 Wb C．在0.6 s内通过线框中的电荷量约为0.13 C D．经过0.6 s线框中产生的热量约为0.07 J 答案　ACD 解析　磁感应强度B1垂直水平面向上，大小不变，B2垂直水平面向下，大小随时间增大，故线框向上的磁通量减小，由楞次定律可得，线框中感应电流方向为逆时针方向，选项A正确．t＝0时刻穿过线框的磁通量Φ＝B1×πr2＋B2×πr2≈－0.005 2 Wb，选项B错误．在0.6 s内通过线框的电荷量q＝n＝ C≈0.13 C，选项C正确．经过0.6 s线框中产生的热量Q＝I2RΔt＝≈0.07 J，选项D正确． 6．(多选)如图是金属圆盘发电机的原理图。匀强磁场垂直于金属圆盘，电阻R通过导线与两块铜片电刷D、C连接，D、C分别与转动轴和圆盘的边缘良好接触。圆盘绕通过圆心O的固定转动轴按图示顺时针方向转动，电阻R中就有电流通过。则(　 ) A．电流方向由D经过电阻R流向C B．通过电阻R的电流大小与铜盘的半径成正比 C．通过电阻R的电流大小与磁感应强度成正比 D．通过电阻R的电流大小与圆盘转动的角速度成正比 [解析]　金属圆盘按题图所示方向转动，切割磁感线，产生感应电动势，根据右手定则可判断圆盘边缘电势比轴心电势高，故电流方向由C经过电阻R流向D，A错误；根据法拉第电磁感应定律有感应电动势E＝BLv＝BωR2，结合欧姆定律可知，B错误，C、D正确。 [答案]　CD 7．(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　 ) A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动 C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动 解析：选AB　由题意知，两线圈体积相同，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的电阻的4倍；两线圈到达磁场上边界时两线圈的速度相同，设乙线圈的匝数为n，两线圈的边长均为l，两线圈进入磁场后，乙受到的安培力F乙＝nBIl＝，甲受到的安培力F甲＝＝，可见，甲、乙受到的安培力大小相同，重力也相同，则运动情况相同，A、B正确。 8．（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1:4，高为线框在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是( ) A.边刚进入磁场时，线框的速度为 B.边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为 C.边刚进入磁场时，线框加速度的大小为 D.从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为 答案：BD 解析：A.设边刚进入磁场时速度为，线框的电阻为，则，根据动能定理解得A错误； 边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，则此时安培力的大小为 线框中感应电流的瞬时电功率为B正确； 刚进入磁场时加速度为0，则有设边刚进入磁场前匀速运动时速度为，线框切割磁感应线的有效长度为线框匀速运动时有 联立解得从线框开始到边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得 联立解得D正确； 刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为 由闭合电路欧姆定律得 由牛顿第二定律得 解得 C错误； 故选BD。 9．(多选)如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，倾角为θ，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现由静止释放金属棒ab，假定电容器不会被击穿，忽略一切电阻，则下列说法正确的是(　　) A．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势 B．金属棒ab匀加速下滑 C．金属棒ab最终可能匀速下滑 D．金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能 答案　AB 解析　金属棒ab下滑过程中，金属棒ab切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可判断出金属棒a端为正极，所以M板电势高于N板电势，选项A正确；金属棒ab下滑过程中由于产生感应电动势和感应电流，对电容器充电，由I＝，C＝，ΔU＝BLΔv，金属棒ab受到安培力F＝BIL，对金属棒受力分析，有mgsin θ－F＝ma，联立解得a＝，加速度为恒量，说明金属棒ab下滑时做加速度恒定的匀加速直线运动，选项B正确，C错误；金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能和电容器储存的电场能之和，选项D错误． 10．(多选)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后(　　) A．金属框的速度大小趋于恒定值 B．金属框的加速度大小趋于恒定值 C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值 答案　BC 解析　当金属框在恒力F作用下向右加速运动时，bc边产生从c向b的感应电流i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1；MN中感应电流从M流向N，MN在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则有Bil＝ma2，当金属框和MN都运动后，金属框速度为v1，MN速度为v2，则电路中的感应电流为i＝，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从开始减小，加速度差值减小．当a1＝a2时，得F＝(M＋m)a，a＝恒定，由F安＝ma可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，据i＝知金属框与MN的速度差保持不变，v－t图象如图所示，故A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框的速度，则MN到金属框bc边的距离越来越大，故D错误． 11．(多选)如图所示，两根水平固定的足够长平行光滑金属导轨上，静止放着两根质量为m、长度为L、电阻为R的相同导体棒ab和cd，构成矩形回路(ab、cd与导轨接触良好)，导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B.现给cd一个初速度v0，则(　　) A．ab将向右做匀加速运动 B．ab、cd最终具有相同的速度 C．通过ab杆的电荷量为q＝ D．回路产生的焦耳热最多为mv02 答案　BC 解析　根据法拉第电磁感应定律可知，只有在两棒速度不相等时回路中才有感应电流，感应电流使两棒都产生加速度，然后受到的安培力发生变化，有效电动势发生变化，感应电流、安培力、加速度也随之变化，所以ab不可能向右做匀加速运动，故A错误；当两棒速度相等后，穿过回路的磁通量不变，回路中将不再有感应电流，ab、cd最终具有相同的速度，两棒的系统所受合外力为零，则根据动量守恒定律有mv0＝2mv，最终两棒的速度均为v＝，故B正确；选向右的方向为正，对ab棒根据动量定理有t＝m，＝BL，联立可以得到q＝t＝，故C正确；根据能量守恒定律，在运动过程中产生的热量为Q＝mv02－·2m()2＝mv02，故D错误． 12．(多选)如图所示，水平面上足够长的光滑平行金属导轨，左侧接定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属杆MN以某一初速度沿导轨向右滑行，且与导轨接触良好，导轨电阻不计。则金属杆MN在运动过程中，速度大小v、流过的电荷量q与时间t或位移x的关系图像正确的是(　 ) 解析：选ABD　金属杆在前进过程中，所受安培力大小F＝BIL＝，可知随速度的减小，安培力逐渐减小，加速度逐渐减小，最后停止运动，因此在v­t图像中，斜率的绝对值逐渐减小，A正确；根据动量定理F·Δt＝m·Δv可得－·Δt＝m·Δv，而Δx＝v·Δt，因此－·Δx＝m·Δv，速度随位移均匀变化，可知v­x图像为一条倾斜的直线，B正确；根据I＝＝，可知随着速度的减小，q­t图像是一条斜率逐渐减小的曲线，C错误；由于I＝，两边同时乘以Δt可得I·Δt＝·Δt，而Δq＝I·Δt，整理得Δq＝·Δx，可知q­x图像为一条过坐标原点的倾斜直线，D正确。 13．如图所示，变化的匀强磁场垂直穿过金属框架MNQP，金属杆ab在恒力F作用下沿框架从静止开始运动，t＝0时磁感应强度大小为B0，为使ab中不产生感应电流，下列能正确反映磁感应强度B随时间t变化的图像是(　 ) 解析：选C　金属杆ab中不产生感应电流，则穿过闭合回路的磁通量不变，设金属杆ab长为L，金属杆ab到MP的距离为l1，金属杆ab的质量为m，则有a＝，x＝at2，B0Ll1＝BL(l1＋x)，联立可得＝＋，随着时间增加，是增大的，且增大的速度越来越快，故C正确。 14．如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有 E1＝＝ 根据闭合电路欧姆定律，有I1＝ 且q1＝I1Δt1 在过程Ⅱ中，有 E2＝＝ I2＝ q2＝I2Δt2 又q1＝q2，即＝ 所以＝. 15．[多选]如图，光滑平行金属导轨固定在水平面上，左端由导线相连，导体棒垂直静置于导轨上构成回路。在外力F作用下，回路上方的条形磁铁竖直向上做匀速运动。在匀速运动过程中外力F做功WF，磁场力对导体棒做功W1，磁铁克服磁场力做功W2，重力对磁铁做功WG，回路中产生的焦耳热为Q，导体棒获得的动能为Ek。则(　　) A．W1＝Q B．W2－W1＝Q C．W1＝Ek D．WF＋WG＝Ek＋Q 解析：选BCD　由能量守恒定律可知：磁铁克服磁场力做功W2，等于回路的电能，电能一部分转化为内能，另一部分转化为导体棒的机械能，所以W2－ W1＝Q，故A错误，B正确；以导体棒为对象，由动能定理可知，磁场力对导体棒做功W1＝Ek，故C正确；外力对磁铁做功与重力对磁铁做功之和为回路中的电能，也等于焦耳热和导体棒的动能，故D正确。 16．（2026·福建泉州市·一模）（多选）如图，一正方形导线框在足够长的绝缘平板小车上，与车一起在水平面上匀速运动。矩形区域内存在竖直向上的匀强磁场，小车以速率匀速通过该区域过程中，线框相对车滑动，线框边始终平行于，边刚离开磁场时速率恰好为。已知线框边长为、质量为、电阻为，磁场的磁感应强度大小为，长为，且，线框与车之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，则线框（ ） A. 刚进入磁场时产生的感应电动势大小为 B. 受到安培力的总时间为 C. 穿过磁场的过程中产生的总焦耳热一定为 D. 穿过磁场的过程中因摩擦产生的总热量一定为 【答案】AB 【解析】A．进入磁场前，线框与小车一起匀速运动，线框对地速度等于小车的速度。刚进入磁场的瞬间，线框还未发生明显减速，切割磁感线的边对地速度为，磁场静止，根据导体切割磁感线的感应电动势公式，可得感应电动势大小为，故A正确。 B．小车匀加速阶段，由运动学公式：  整理得：  对两个有安培力的阶段（进入和离开），每个阶段线框位移为，平均速度为，因此单个阶段的时间为：  总安培力时间：  故B正确； C．题干说明小车始终以匀速运动，线框刚进入磁场时速度为，边刚离开磁场时速度也为，因此线框整个过程的动能变化。 对线框应用动能定理：滑动摩擦力对线框做正功，安培力做负功，安培力做功的绝对值等于线框产生的总焦耳热，因此有：  其中是线框从进入到离开磁场过程的对地位移。 从边刚进入磁场到边刚离开磁场，匀速运动的小车对地位移为（磁场沿运动方向长度为，线框边长为）；线框速度始终不大于，因此，可得：  题干已知，因此，焦耳热不可能达到；即使线框在完全进入磁场后提前和车共速，总焦耳热也远小于该值。 故C错误。 D． 摩擦生热公式为 ，其中线框与小车间滑动摩擦力 ， 是全过程线框与小车总相对位移： 进入磁场阶段：线框速度小于小车，相对小车滑动，相对位移 ；离开磁场阶段同理，相对位移 。 完全进入磁场到开始离开磁场阶段：因，该段沿运动方向长度为 ，线框无感应电流、安培力消失，仅受向右滑动摩擦力做匀加速运动： 若线框在该段结束（开始离开磁场）前就加速到与小车共速，之后相对静止，无额外相对滑动，总相对位移为  ，摩擦生热为 ； 若线框直到开始离开磁场时速度仍小于 ，则整个该段都存在相对滑动，总相对位移 ，摩擦生热 。 因此穿过磁场过程中摩擦生热不一定为 ，故D错误。 故选AB。 17．（2026·广东汕头市潮阳实验学校·一模）如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两条相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒a、b分别以初速度和同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】AC．a棒以速度2v0先进入磁场切割磁感线产生的感应电流为 a棒受安培阻力做变加速直线运动，感应电流也随之减小，安培力随之减小，速度大小的变化率减小，i的变化率减小，即图像的斜率逐渐变小；设当b棒刚进入磁场时a棒减速的速度为，此时的瞬时电流为 若，即 此时双棒双电源反接，电流为零，不受安培力，两棒均匀速运动离开，图像中无电流的图像，故A正确，C错误； BD．若，即 此时双棒双电源的电动势不等要抵消一部分，因b棒的速度大，电流方向以b棒的流向，与原a棒的流向相反，即为负，大小为 b棒通电受安培力要减速，a棒受安培力而加速，则电流从小于的值逐渐减小，故BD错误。 故选A。 18．如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大小(　　) A．大于 B．等于 C．小于 D．以上均有可能 答案　B 解析　通过线圈横截面的电荷量： q＝Δt＝·Δt＝， 由于线圈进入和穿出磁场过程，线圈磁通量的变化量相等，则进入和穿出磁场的两个过程通过线圈横截面的电荷量q相等，由动量定理得，线圈进入磁场过程： －Bat＝mv－mv0， 线圈离开磁场过程：－Bat＝0－mv， 由于q＝t，则－Baq＝mv－mv0，Baq＝mv， 解得v＝，故选B. 19．(多选)如图(a)所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则(　 ) A．在t＝时，金属棒受到安培力的大小为 B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为 C．在t＝时，金属棒受到安培力的方向竖直向上 D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右 解析：选BC　由题图可知在0～t0时间段内产生的感应电动势为E＝＝，根据闭合电路欧姆定律可知此时间段的电流为I＝＝，在时磁感应强度为，此时安培力为F＝BIL＝，故A错误，B正确；由图可知在t＝时，磁场方向垂直纸面向外并逐渐增大，根据楞次定律可知产生顺时针方向的电流，再由左手定则可知金属棒受到的安培力方向竖直向上，故C正确；由图可知在t＝3t0时，磁场方向垂直纸面向外，金属棒向下运动的过程中磁通量增加，根据楞次定律可知金属棒中的感应电流方向向左，故D错误。 20．（2026·河北承德市强基联盟·一模）（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左右两侧导轨间距分别为d、2d，并处于竖直向下的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。半圆弧形导体棒ab、cd恰好分别与两侧导轨相切，材料相同，电阻率为ρ，横截面积均为S。初始时两棒静止，两棒中点连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两导体棒在所处磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。导体棒始终与导轨相切，且接触良好。导轨足够长且电阻不计，则（　　） A. 弹簧伸展过程中回路中产生顺时针方向的电流 B. ab速率为v时，cd所受安培力大小为 C. 整个运动过程中，ab和cd的路程之比为2：1 D. 整个运动过程中，通过ab的电荷量为 【答案】BCD 【解析】A．弹簧伸展过程中，左移、右移，根据右手定则可知，回路中产生逆时针方向的电流，故A错误； B．棒有效切割长度为，半圆弧长为，质量，处于磁场中，电阻 棒有效切割长度为，半圆弧长为，质量，则 处于磁场中，电阻 和受到的安培力大小分别为， 两力大小相等、方向相反，对和组成的系统，总合外力为0，系统动量守恒，有 代入，得 总感应电动势 总电阻 电流 的安培力，故B正确； C．任意时刻满足动量守恒 对等式两边乘时间，并求和可得 解得，故C正确； D．任意时刻回路中的电流为 在极短的时间内，有 对等式两边求和，可得 由， 代入得，故D正确。 故选BCD。 21．(多选)如图，水平固定的光滑U型金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L.一金属棒从导轨右端以大小为v的速度滑上导轨，金属棒最终停在导轨上，已知金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R，金属棒与导轨始终接触良好，不计导轨的电阻，则(　　) A．金属棒静止前做匀减速直线运动 B．金属棒刚滑上导轨时的加速度最大 C．金属棒速度为时的加速度是刚滑上导轨时加速度的 D．金属棒从滑上导轨到静止的过程中产生的热量为 答案　BC 解析　导体棒切割磁感线产生的电动势为E＝BLv，产生的电流为I＝＝，则导体棒受水平向右的安培力，产生的加速度为a＝＝＝，故导体棒做加速度减小且速度减小的变加速直线运动，而金属棒刚滑上轨道时速度最大，加速度最大，故A错误，B正确；金属棒的加速度a＝＝，a∝v，当速度变为时，加速度变为原来的，故C正确；金属棒从滑上导轨到静止，仅受安培力作用，安培力做负功，则减少的动能转化为增加的电能，转变为热能，故由能量守恒定律有Q＝mv2，故D错误． 22．（2026·河北省石家庄市第一中学·一模）如图所示，水平固定的足够长平行光滑金属导轨和间连接定值电阻，金属棒在两导轨间的距离为，电阻为，整个运动过程中金属棒与导轨垂直且接触良好，整个装置处在竖直向上的匀强磁场（图中未画出）中，磁场的磁感应强度大小为，金属棒的质量为，现用一水平向右的恒力作用在金属棒上使金属棒由静止开始运动，其他电阻不计，下列说法正确的是（　　） A. 金属棒做匀加速直线运动 B. 点电势比点电势高 C. 金属棒达到的最大速度为 D. 金属棒从静止到速度最大的过程，恒力对金属棒做的功为 【答案】C 【解析】A．设导体棒速度v时，根据电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和牛顿第二定理得 ，， 联立可得 解得 由上式可知，随着速度v的增加，加速度a逐渐减小。因此，金属棒做加速度减小的加速运动，故A错误； B．根据右手定则可知通过电阻的电流方向由向，因此，点电势比点电势低，故B错误； C．当a=0时，速度达到最大值，即 解得 故C正确； D．设金属棒从静止到速度最大的过程中，安培力所做的功为，由动能定理得 把代入上式可得 即 故D错误； 故选C。 23．（2026·湖北省·一模）（多选）如图所示，两条间距为d平行光滑金属导轨（足够长）固定在水平面上，导轨的左端接电动势为E内阻为R的电源，右端接定值电阻，其阻值也为R。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面竖直向上，足够长的金属棒质量为m，斜放在两导轨之间，与导轨的夹角为30°，导线、导轨、金属棒的电阻均忽略不计，当开关断开，开关合上，给金属棒一个沿水平方向垂直金属棒的恒力，经过一段时间金属棒获得最大速度，金属棒与导轨始终接触良好且与导轨夹角不变，下列说法正确的是（ ） A. 金属棒的最大加速度为 B. 定值电阻的最大功率为 C. 金属棒从静止开始运动的一段时间内，流过定值电阻某一横截面的电荷量为 D. 若开关断开，开关合上，则金属棒稳定运行的速度为 【答案】BC 【解析】A．金属棒刚施加外力时，速度为0，还未切割磁感线（不受安培力的作用）。金属棒受到的合力为，有 所以最大加速度为，故A错误； B．金属棒在导轨之间的长度为 设金属棒运动的最大速度为，此时产生的最大感应电动势为 回路中的最大电流为 金属棒做匀速直线运动，有 联立以上公式，可解得 所以定值电阻的最大功率为，故B正确； C．在的时间段内对金属棒列动量定理，有 其中安培力的平均冲量为 代入可解得通过金属棒的电荷量为 金属棒与定值电阻是串联关系，通过定值电阻的电荷量也为q，故C正确； D．若开关断开，开关闭合，当金属棒稳定运行时金属棒切割磁感线产生的感应电动势大小为 回路中的电流值为 此时金属棒受力平衡，有 联立可解得，故D错误。 故选BC。 24．（2026·湖南怀化市·一模）（多选）如图，在粗糙绝缘的固定斜面上（斜面足够大）有一质量为m粗细均匀的矩形线框abcd，线框由两种金属材料组成，ad、bc长为L、电阻均为2R，ab、cd长为、电阻不计，线框处在方向垂直斜面向下的足够大的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。一质量也为m的导体棒PQ紧挨ad放置（不接触ad），PQ接入电路电阻为R，时刻，同时静止释放导体棒PQ以及矩形线框abcd，经时间恰好运动到矩形线框的中心处，此时对棒施加沿斜面向上的力，最终棒PQ恰好不从线框掉下。已知运动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，矩形线框与斜面间的动摩擦因数为，棒PQ与矩形线框间的动摩擦因数为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒PQ刚释放瞬间，线框的加速度大小为 B. 时间内通过ad边的电荷量为 C. 时导体棒的速度为 D. 若时导体棒下降的高度为h，则整个过程中棒PQ上产生的热量为 【答案】AB 【解析】A．对线框受力分析有 解得 由于 故结果成立，故A正确； B．由电量 因为， 通过ad边电量为总电量的一半，联立解得，故B正确； 对棒，规定沿斜面向下为正方向，由动量定理有 其中，代入解得，故C错误； D．由全过程动量定理有 由全过程能量守恒 联立解得 这里Q为焦耳热，应还存在摩擦产生的热量，故D错误。 故D错误。 故选AB。 25．（2026·山东德州市·一模）（多选）如图所示，两根固定的足够长的光滑平行金属导轨、的间距为，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角。杆、杆是两根用轻绳连接的金属杆，质量分别为和，两杆长度均为，两杆垂直导轨放置，两杆的两端均有装置使其不会脱离导轨，只能沿导轨无摩擦运动，两杆的总电阻为，两杆在沿导轨向上的外力作用下保持静止（作用在杆上）。整个装置处在磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向水平向左。某时刻将轻绳烧断，保持不变，两杆从开始运动到刚达到最大速度经历的时间为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 细线烧断后，杆和杆组成的系统沿导轨方向动量不守恒 B. 杆的最大速度为 C. 杆达到最大速度时，上滑的距离为 D. 杆达到最大速度时，下滑的距离为 【答案】BD 【解析】A．初始两杆静止，对整体沿导轨方向受力平衡：  烧断细线后，对两杆系统，外力沿导轨方向合力： 两杆安培力沿导轨方向大小相等、方向相反，安培力合力为零（安培力为系统内力）。因此系统沿导轨方向合外力为零，动量守恒，故A错误。 B．达到最大速度时，系统加速度为零，由动量守恒（初始动量为0）：  即： 感应电动势：磁场水平向左，垂直导轨平面的磁感应强度分量为 总感应电动势 电流。 对杆1受力平衡（沿导轨方向）：   代入 化简得：  即： 故 B正确。 CD．由动量守恒定律得： 即。 对杆1用动量守恒定律：   总电荷量 代入 化简得：  因此杆1上滑距离 与C选项不符，故C错误； 杆2下滑距离 与D选项一致，故D正确。 故选BD。 二、计算、问答题 26．如图甲所示，两根间距L＝1.0m、电阻不计的足够长平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0Ω的电阻相连。质量m＝0.2kg的导体棒ef在恒定外力F作用下由静止开始运动，已知导体棒与两根导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f＝1.0N，导体棒电阻为r＝1.0Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场B中，导体棒运动过程中加速度a与速度v的关系如图乙所示（取g＝10m/s2）。求： （1）当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小（用题中字母表示）； （2）磁场的磁感应强度B； （3）若ef棒由静止开始运动距离为s＝6.9m时，速度已达v′＝3m/s，求此过程中产生的焦耳热Q。 【解答】（1）当导体棒速度为v时，导体棒上的电动势为E，电路中的电流为I. 由法拉第电磁感应定E＝BLv 由欧姆定律I 导体棒所受安培力F＝BIL 联合解得：F （2）由图可以知道：导体棒开始运动时加速度a1＝5m/s2，初速度v0＝0，导体棒中无电流. 由牛顿第二定律知F﹣f＝ma 计算得出：F＝2N 由图可以知道：当导体棒的加速度a＝0时，开始以v＝3m/s 做匀速运动 此时有：F﹣f﹣F安＝0 解得：B＝1T （3）设ef棒此过程中，产生的热量为Q， 由功能关系知（F﹣f）s＝Q： 代入数据计算得出Q＝6.0J 答案：（1）当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小为； （2）磁场的磁感应强度B为1T； （3）产生的焦耳热为6J。 27．如图所示，间距为L＝0.8m、倾角为θ＝37°的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为CF的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B＝0.5T的匀强磁场（图中未标注）将长度比导轨间距略大、质量均为m＝0.4kg、电阻均为R＝0.1Ω的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t0＝2s时间，导体棒A恰好以v0＝3m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始所在位置离倾斜导轨末端be的距离x＝0.5m，试求： （1）外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式； （2）从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热QB； （3）最终稳定时，电容器所带电量q。 【解答】解：（1）由加速度的定义可得：a1.5m/s2 根据牛顿第二定律得：F+mgsin37°ma 解得：F＝0.768t﹣1.8（N） 故外力F的大小为F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s （2）对A棒有：mvA﹣mv0 而因为：ΣΔv•Δt＝x而：vA＝2m/s 对B棒有：mvB﹣0 而：vB＝1m/s 根据能量守恒可得：Q热＝EkB0.8J 又：0.4J （3）弹性碰撞，两棒质量等，故速度互换，即有vB′＝2m/s 最终稳定时，导体棒B向右匀速滑行，则有：BLvm＝Um 又因为：﹣ΣBiL•Δt＝mvm﹣mvB′ 又因为：q＝Σi•Δt＝CUm 得到：vm＝1.6m/s，q＝0.4C 答案：（1）外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式为F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s； （2）从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热QB为0.4J； （3）最终稳定时，电容器所带电量q为0.4C。 28．如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求： (1)作用在金属棒ab上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小． 答案　(1)mg(sin θ－3μcos θ) (2)(sin θ－3μcos θ) 解析　(1)由于ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是相等，cd也做匀速直线运动．设导线的张力的大小为FT，右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为FN2，对于ab棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得 　 甲　　　　　　　乙 2mgsin θ＝μFN1＋FT＋F ① FN1＝2mgcos θ ② 对于cd棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得 mgsin θ＋μFN2＝FT′＝FT ③ FN2＝mgcos θ ④ 联立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ) ⑤ (2)设金属棒运动速度大小为v，ab棒上的感应电动势为E＝BLv ⑥ 回路中电流I＝ ⑦ 安培力F＝BIL ⑧ 联立⑤⑥⑦⑧得： v＝(sin θ－3μcos θ). 29．如图甲所示，水平面内的直角坐标系的第一象限内有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，沿x轴方向的变化趋势如图乙所示，B与x的函数关系为B＝。顶角θ＝45°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨接触良好。已知t＝0时，导体棒位于顶点O处，导体棒的质量m＝2 kg，OM、ON接触处O点的接触电阻R＝0.5 Ω，其余电阻不计。导体棒产生的感应电动势E与时间t的关系如图丙所示，图线是过原点的直线，求： (1)t＝2 s时流过导体棒的电流I2的大小； (2)1～2 s时间内回路中流过的电荷量q的大小； (3)导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式。 解析：(1)根据E­t图像分析可知t＝2 s时，感应电动势E2＝4 V，I2＝＝ A＝8 A。 (2)由题意可知，回路中电流与电动势成正比，故可判断I­t图线是一条过原点的直线，由题图可知，当t＝1 s时，E1＝2 V，I1＝＝ A＝4 A，则q＝Δt＝6 C。 (3)因θ＝45°，可知任意t时刻回路中导体棒切割磁感线的有效长度L＝x，故电动势E＝BLv＝Bxv，因电动势E与时间t成正比，分析可知导体棒做匀加速直线运动，由题图知Bx＝1 T·m，E＝2t V，故有v＝2t m/s，可知导体棒运动的加速度a＝2 m/s2，导体棒受到的安培力F安＝BIL＝BIx＝Bx·＝＝，导体棒做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F－F安＝ma， 则F＝F安＋ma＝＋ma＝(4＋4)N。 答案：(1)8 A　(2)6 C　(3)F＝(4＋4)N 30．如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R＝2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度为a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求： (1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零； (2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率； (3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系． 答案　(1)　(2) (3)F＝m(gsin θ＋a)＋t 解析　(1)棒ab对挡板的压力为零时，受力分析可得 BIabL＝mgsin θ 设经时间t0棒ab对挡板的压力为零，棒cd产生的电动势为E，则E＝BLat0 I＝ R外＝＝r Iab＝I 解得t0＝ (2)棒ab对挡板压力为零时，cd两端电压为 Ucd＝E－Ir 解得Ucd＝ 此时电阻R的电功率为P＝ 解得P＝ (3)对cd棒，由牛顿第二定律得 F－BI′L－mgsin θ＝ma I′＝ E′＝BLat 解得F＝m(gsin θ＋a)＋t. 31．如图所示，间距为L的水平平行金属导轨上连有一定值电阻，阻值为R，两质量均为m的导体棒ab和cd垂直放置导轨上，两导体棒电阻均为R，棒与导轨间动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。现用某一水平恒力向右拉导体棒ab使其从静止开始运动，当棒ab匀速运动时，棒cd恰要开始滑动，(重力加速度为g)求： (1)棒ab匀速运动的速度大小； (2)若棒ab从开始运动到匀速的过程中流过的电荷量为q，这一过程经历的时间是多少？ 解析：(1)设棒ab速度为v，则棒ab中的感应电流I＝＝ 棒cd中的感应电流为＝ cd受安培力F1＝BL＝ 当棒cd恰要滑动时，F1＝μmg，即＝μmg 得v＝。 (2)设棒ab受恒定拉力为F，匀速运动时棒ab中的电流为I，棒ab所受安培力F2＝BIL 对棒cd: F1＝BL＝μmg 棒ab: F＝F2＋μmg＝2F1＋μmg 得F＝3μmg 对棒ab从开始运动到匀速过程，设运动时间为t； 由动量定理：(F－μmg)t－BLt＝mv 而t＝q 故2μmgt－BLq＝mv 解得t＝＋。 答案：(1)　(2)＋ 32．电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问： (1)磁场的方向； (2)MN刚开始运动时加速度a的大小； (3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少． 答案　(1)垂直于导轨平面向下　(2) 　(3) 解析　(1)将S接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S接2时，电容器放电，流经MN的电流由M到N，又知MN向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下． (2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有 I＝① 设MN受到的安培力为F，有F＝IlB② 由牛顿第二定律，有F＝ma③ 联立①②③式得a＝④ (3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q0，有 Q0＝CE⑤ 开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vmax时，设MN上的感应电动势为E′，有E′＝Blvmax⑥ 依题意有E′＝⑦ 设在此过程中流经MN的平均电流为，MN上受到的平均安培力为，有＝lB⑧ 由动量定理，有Δt＝mvmax－0⑨ 又Δt＝Q0－Q⑩ 联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q＝. 33．如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求： (1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值； (2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小． 答案　(1) 　(2)B0lv0(t－t0)＋kSt　(B0lv0＋kS) 解析　(1)在金属棒未越过MN之前，穿过回路的磁通量的变化量为 ΔΦ＝ΔBS＝kΔtS① 由法拉第电磁感应定律有 E＝② 由欧姆定律得 I＝③ 由电流的定义得 I＝④ 联立①②③④式得 |Δq|＝Δt⑤ 由⑤式得，在t＝0到t＝t0的时间间隔内即Δt＝t0，流过电阻R的电荷量q的绝对值为 |q|＝⑥ (2)当t>t0时，金属棒已越过MN.由于金属棒在MN右侧做匀速运动，有 F＝F安⑦ 式中，F是外加水平恒力，F安是金属棒受到的安培力．设此时回路中的电流为I， F安＝B0lI⑧ 此时金属棒与MN之间的距离为s＝v0(t－t0)⑨ 匀强磁场穿过回路的磁通量为 Φ′＝B0ls⑩ 回路的总磁通量为 Φt＝Φ＋Φ′⑪ 其中Φ＝B1S＝ktS⑫ 由⑨⑩⑪⑫式得，在时刻t(t>t0)，穿过回路的总磁通量为Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt⑬ 在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量ΔΦt为 ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt⑭ 由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为 Et＝⑮ 由欧姆定律得 I＝⑯ 联立⑦⑧⑭⑮⑯式得 F＝(B0lv0＋kS). 34．（2026·广东梅州市·一模）如图所示，两条光滑的足够长的平行金属直导轨、的间距为，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ的结点处、为绝缘材料。、段的轨道倾斜放置，与水平方向夹角，轨道上端固定一个阻值为的电阻，存在磁感应强度、方向垂直轨道Ⅰ向下的匀强磁场。、段的轨道Ⅱ水平放置，存在磁感应强度、方向竖直向上的匀强磁场。质量为、边长为的匀质等边三角形金属框水平放置在轨道Ⅱ上，边的中线与轨道Ⅱ的中轴线重合，每条边的电阻均为。现有一根质量为、长度为、电阻也为的金属棒从轨道Ⅰ某处静止释放，在到达底端前已经达到最大速度。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属框可能的形变，金属棒、金属框均与导轨始终接触良好，重力加速度取。求： （1）ab棒在轨道Ⅰ上达到稳定后的速度及此时棒两端的电势差；（） （2）框在轨道Ⅱ上到达稳定后的速度及棒在轨道Ⅱ上产生的焦耳热（棒与金属框不接触）； （3）为使棒不与金属框碰撞，框的边初始位置与的最小距离。 【答案】（1）6m/s， （2）1m/s，4.5J （3） 【解析】 【小问1详解】 ab棒在倾斜轨道上速度稳定时，由平衡关系可得 安培力 稳定的电流，其中 联立可得 根据欧姆定律 解得 【小问2详解】 从ab棒滑入轨道Ⅱ到与cde框达到共速，此时电路结构如图 除AB段和CD段接入电路中其余部分均被短路，由于系统所受外力的合力为零，系统的动量守恒 根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒 金属框接入电路的电阻 金属棒ab上产生的热量为 【小问3详解】 对ab棒，从进入轨道Ⅱ到速度稳定，以向右为正，根据动量定理 其中 解得最初的最小距离 35．（2026·广东汕头市·一模）某学校科技社团为图书馆自动还书系统设计了电磁缓冲装置，用以保护还书箱及降低噪音，装置简化后如图所示。的光滑斜面固定在水平地面，其底端固定2根劲度系数均为的轻弹簧，弹簧静止时上端恰好处于虚线处，以下区域存在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。还书箱放在斜面上，底边与距离为，边长为L的正方形底面上装有匝数为n、边长为L、阻值为R的正方形线圈，还书箱与线圈的总质量为m，将还书箱静止释放。已知弹簧弹性势能表达式为，其中k为劲度系数，为形变量，弹簧始终没有超出弹性限度，还书箱最终静止。重力加速度为g。求： （1）线圈刚进入磁场时所受安培力大小； （2）还书箱从释放到最终静止的过程中，线圈产生的热量。 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 从静止释放到线圈刚进入磁场过程，由动能定理可得 解得线圈刚进入磁场时的速度大小为 线圈刚进入磁场时有，， 联立解得线圈刚进入磁场时所受安培力大小为 【小问2详解】 还书箱最终静止时，由受力平衡可得 解得弹簧的压缩量为 还书箱从释放到最终静止过程，由能量守恒可得 解得线圈产生的热量为 36．如图所示，两根相距L＝1 m的足够长的光滑金属导轨，一组导轨水平，另一组导轨与水平面成37°角，拐角处连接一阻值R＝1 Ω的电阻．质量均为m＝2 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，导轨电阻不计，两杆的电阻均为R＝1 Ω.整个装置处于磁感应强度大小B＝1 T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆静止．g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)水平拉力的功率； (2)现让cd杆静止，求撤去拉力后ab杆产生的焦耳热． 答案　(1)864 W　(2)864 J 解析　(1)cd杆静止，由平衡条件可得mgsin θ＝BIL，解得I＝12 A 由闭合电路欧姆定律得2I＝，得v＝36 m/s 水平拉力F＝2BIL＝24 N，水平拉力的功率P＝Fv＝864 W (2)撤去外力后ab杆在安培力作用下做减速运动，安培力做负功，先将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为整个电路产生的焦耳热，即焦耳热等于杆的动能的减小量，有Q＝ΔEk＝mv2＝1 296 J 而Q＝I′2·R·t，ab杆产生的焦耳热Q′＝I′2·R·t，所以Q′＝Q＝864 J. 37．（2026·河北省唐山市·一模）双轨滑草项目多数采用机械制动装置，在特定区域安装金属摩擦片或橡胶制动块使滑车减速，摩擦时摩擦片会快速升温，影响制动性能，为了避免安全事故发生，唐山市多玛乐园景区欲采用电磁制动装置，某次研究方案如图所示。滑车经过磁场区域时，嵌入滑车底部的线圈受到磁场作用，使滑车在短时间内速度发生明显的变化。滑车与游客总质量，滑车底部单匝矩形线圈的边和边长度分别为、，线圈由粗细均匀的金属丝绕成，其总电阻。滑车到达水平滑道位置时速度为，滑动距离时线圈的边进入条形磁场区域Ⅰ，磁场边界与滑道垂直，磁场宽度，磁感应强度，方向竖直向下。滑车与轨道间动摩擦因数，重力加速度取。滑车从位置开始共滑行了193.7m。求： （1）滑车滑行过程中产生的电能； （2）线圈的边刚进入磁场时两点间的电压； （3）若区域Ⅰ中磁感应强度保持不变，并在区域Ⅰ右侧相邻处新增磁场区域Ⅱ（未画出），区域Ⅱ与区域Ⅰ宽度相同，磁感应强度大小为4T，方向与区域Ⅰ磁场方向相反。通过计算分析滑车从位置开始能否在160m内停止滑行。 【答案】（1） （2） （3）可以 【解析】 【小问1详解】 滑车从位置开始共滑行了193.7m，该过程中摩擦生热 由能量守恒定律得 可得 【小问2详解】 设线圈边进入磁场瞬间速度为，根据动能定理有 解得 边切割磁感线产生的感应电动势 感应电流 两点间的电阻 两点间的电压 【小问3详解】 线圈从边进入磁场到边离开磁场过程中，设边离开磁场时的速度为，忽略滑动摩擦力，根据动量定理有 感应电动势的平均值，， 感应电流的平均值，， 可得，， 代入动量定理方程可得 令滑车离开磁场后运动的距离为，根据动能定理有 解得 滑车总共滑行的距离 考虑到滑车穿过磁场的摩擦力，该过程的距离为 考虑到摩擦力的影响，可知，滑车总的位移减小约为3m，可知，滑车的总位移 可知，滑车可以在160m内停止运动。 38．（2026·河南焦作市·一模）如图所示，两根足够长、间距的光滑平行金属导轨倾斜固定，倾角，空间存在磁感应强度大小、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根金属棒、放置在导轨上，并将用绝缘轻绳绕过光滑定滑轮和物块连接，滑轮左侧轻绳与导轨平行，右侧轻绳竖直。已知、棒的长度均为，电阻均为，、的质量分别为、，物块的质量为，重力加速度取，距离地面足够高，、棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。 （1）若固定导体棒，由静止释放，当的速度为时，求轻绳的拉力为多大； （2）若同时由静止释放和，求和最终的速度分别为多大； （3）在（2）问的基础上，求从释放两棒开始到棒位移为的过程，通过棒的电量为多大。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 固定导体棒，当的速度为时，导体棒产生的感应电动势 回路的感应电流 导体棒受到的安培力为 设轻绳的拉力为，根据牛顿第二定律可知，金属棒的加速度满足 物块的加速度满足 两式联立解得， 【小问2详解】 设和最终的速度分别为和，由楞次定律可知回路产生的感应电流沿顺时针方向，根据左手定则可知导体棒受到的安培力方向沿斜面向上，设任意时刻导体棒受到的安培力为，则导体棒的加速度满足 解得 对导体棒和物块整体分析，加速度满足 解得 可知任意时刻 因此最终和匀速运动时， 此时回路的感应电动势 此时安培力的大小为 由受力平衡可知此时 联立解得， 【小问3详解】 因任意时刻 可知当棒位移为时，棒位移为，通过棒的电量满足 39．（2026·吉林延边朝鲜族自治州·一模）如图，水平面内有两根电阻不计、间距为足够长的光滑平行导轨，一质量为、电阻不计的导体棒置于导轨上，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮与一质量为的物块连接，导体棒通过轻绳连接物块，利用重力势能转化为系统的动能与电能。系统可通过单刀双掷开关选择接入电阻回路或电容器回路。已知，电阻，电容器的电容。空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。由静止释放物块，从而牵引导体棒向左运动，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，忽略绳与定滑轮间的摩擦。重力加速度，（导体棒运动过程中电容器未被击穿）求： （1）开关S接1 ①物块速度时，导体棒上电流方向及轻绳对物块的拉力大小； ②物块下落高度时恰好达到最大速度，求这段时间电阻上产生的焦耳热。 （2）开关S接2，物块下落高度时，求物块的速度大小。 【答案】（1）①导体棒中电流方向为 ， ② （2） 【解析】 【小问1详解】 [1]根据右手定则，导体棒中电流方向为 。 导体棒切割磁感线产生的感应电动势 由闭合电路欧姆定律得感应电流 则安培力，方向向右 对整体由牛顿第二定律 代入得加速度 对物块受力分析 解得拉力  [2]速度最大时加速度为0，同理得 解得最大速度 由能量守恒 代入得 【小问2详解】 电容器充电电流 安培力 对整体由牛顿第二定律 整理得  故系统做匀加速直线运动，由 解得 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 电磁感应定律 章末小结 【新教材沪科版】 模块二 知识精讲 情景导入 电磁感应现象中，我们学习了哪些内容？会解答几种问题呢? 知识归纳 【知识点1 动生问题】 一、动生电动势 1．导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E＝Blv的理解 (1)直接使用E＝Blv的条件是：在匀强磁场中，B、l、v三者互相 ．如果不相互垂直，应取垂直分量进行计算． (2)有效长度 公式E＝Blv中的l为导体两端点连线在垂直于速度、磁场方向上的投影长度． (3)相对速度 E＝Blv中的速度v是导体相对 的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系． 2．导线转动切割的三种情况 (1)以中点为轴时，E＝0(不同两段的代数和)。 (2)以端点为轴时，大小E＝Bl2ω(平均速度取中点位置的线速度ωl)。 (3)以任意点为轴时，大小E＝Bω(l－l)(l1、l2分别为转轴到两端点的距离，l1大于l2，E为导体两端间的电势差)。 二、“单杆＋导轨”模型 “单杆＋导轨”模型的四种典型情况(不计单杆的电阻) v0≠0、轨道水平光滑 v0＝0、轨道水平光滑 示意图 运动分析 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力F＝ILB＝，做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 S闭合时，ab杆受安培力F＝，此时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝ILB↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝ 开始时a＝，以后杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝ILB↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，以后杆ab速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv 电流I＝＝CBL＝CBLa 安培力F安＝ILB＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度做匀加速运动 速度图像 能量分析 动能全部转化为内能Q＝mv 电源输出的电能转化为杆的动能W电＝mv F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生焦耳热WF＝Q＋mv F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能WF＝mv2＋EC 三、“双杆＋导轨”模型 1.初速度不为零，不受其他水平外力 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2 杆MN、PQ间距足够长 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝2L2 杆MN、PQ间距足够长且只在各自的轨道上运动 规律 分析 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力 光滑的平行导轨 不光滑平行导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2 摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2 规律 分析 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动，MN杆静止。若F＞2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同 【例1】如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场，当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为(　　) A.BRv B.BRv C.BRv D.BRv 【变式1-1】如图所示，倾角为α＝37°的绝缘斜面体固定在水平面上，顶端放有一“U”形导体框HEFG，导体框质量为M＝2kg，电阻忽略不计且足够长，导体框EF边长度为L＝0.2m，与斜面底边平行，导体框与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.75。质量为m＝1kg、电阻为R＝2Ω的光滑金属棒CD的两端置于导体框上，构成矩形回路。整个装置处在磁感应强度大小为B＝10T、方向垂直于斜面向下的匀强磁场中。t＝0时刻金属棒CD与EF边间距为x0＝1m，且金属棒与导体框均以初速度v0＝2m/s沿斜面向下运动。t＝2s以后金属棒的运动可视为匀速运动，导体框仍沿斜面向下运动，金属棒与导体框始终接触良好且平行EF边，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）在0＜t＜2s时间内，任意时刻金属棒与导体框的加速度大小之比； （2）t＝2s时金属棒和导体框的速度； （3）t＝2s时金属棒CD与EF边的距离d。 【变式1-2】如图所示，光滑绝缘的水平桌面上有一直角三角形导线框ABC，其中AB＝L，BC＝2L，两平行虚线间有一垂直于桌面向下的匀强磁场，磁场宽度为L，导线框BC边与虚线边界垂直．现让导线框从图示位置开始沿BC方向匀速穿过磁场区域．设线框中产生顺时针方向的感应电流为正，则在线框穿过磁场的过程中，产生的感应电流与线框运动距离x的函数关系图象正确的是(　　) 【变式1-3】如图，直角三角形金属框放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于边向上。当金属框绕边以角速度ω逆时针转动时，三点的电势分别为。已知边的长度为l。下列判断正确的是( ) A.，金属框中无电流 B.，金属框中电流方向沿 C.，金属框中无电流 D.，金属框中电流方向沿 【知识点2 感生问题】 对公式E＝n的理解 1．若已知Φ－t图像，则图线上某一点的切线斜率为. 2．当ΔΦ仅由B的变化引起时，E＝n，其中S为线圈在磁场中的有效面积．若B＝B0＋kt，则＝ . 3．当ΔΦ仅由 的变化引起时，E＝nB. 4．当B、S同时变化时，则E＝n≠n. 【例2】轻质细线吊着一质量为m＝0.42 kg、边长为L＝1 m、匝数 n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1 Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10 m/s2) (1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针； (2)求线圈的电功率； (3)求在t＝4 s时轻质细线的拉力大小。 【变式2-1】用导线绕一圆环，环内有一用同样导线折成的内接正方形线框，圆环与线框绝缘，如图甲所示．圆环的半径R＝2 m，导线单位长度的电阻r0＝0.2 Ω/m.把它们放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆环平面(纸面)向里．磁感应强度B随时间t变化如图乙所示，求： (1)正方形线框产生的感应电动势； (2)在0～2.0 s内，圆环产生的焦耳热； (3)若不知道圆环半径数值，在0～2.0 s内，圆环中的电流与正方形线框中的电流之比． 【变式2-2】管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化并焊接。则下列说法正确的是(　 ) A．该焊机也能焊接塑料圆管的接缝 B．线圈的电阻越大，焊接效果越好 C．线圈的电源换成直流电源也能进行焊接 D．圆管的接缝处电阻较大，产生的电热较无接缝处大 【变式2-3】学生饭卡其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，在线圈处引起电磁感应，产生电信号。其原理可简化为如图甲所示，设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10－4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一电阻R＝0.3 Ω组成闭合回路，其余部分电阻不计。线圈处的磁场可视作匀强磁场，其大小按如图乙所示规律变化(设垂直纸面向里为正方向)，求： (1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势E的大小； (2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热Q； (3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电流方向和电荷量q。 【知识点3 动生、感生综合问题】 【例3】如图甲所示，在光滑绝缘水平面上的0≤x≤1.0 m区域内存在方向垂直平面向外的匀强磁场。一电阻值R＝0.5 Ω、边长L＝0.5 m的正方形金属框abcd，右边界cd恰好位于磁场边界。若以cd边进入磁场时作为计时起点，线框受到一沿x轴正方向的外力F作用下以v＝1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。在0≤t≤1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图乙所示，在0≤t≤1.3 s内线框始终做匀速运动。 (1)在1.0 s≤t≤1.3 s内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系式； (2)求在0≤t≤1.3 s内流过导线横截面的电荷量q。 【变式3-1】（2026·贵州遵义市仁怀市·一模）（多选）如图甲，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd，置于虚线AB左侧始终竖直向下的磁场中，bc边与虚线AB重合，虚线AB右侧为的匀强磁场。导体框的质量，电阻、边长，磁感应强度随时间t的变化图像如图乙所示。在时，导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，下列说法正确的是（　　） A. 时流过ad边的电流方向由a到d B. 时流过ad边的电流大小为0.2A C. 当线框速度减为时，ad边和bc边受到的安培力方向相同 D. 当线框速度减为时ad边移动的距离为 【变式3-2】(多选)如图所示，两根间距为L的光滑平行金属导轨，OO′左侧向上弯曲，右侧水平，水平导轨处在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中。两根金属棒MN、PQ始终垂直导轨，与导轨接触良好，MN、PQ棒的长度均为L、质量均为m、阻值均为R。金属棒MN从竖直高度h处由静止释放沿导轨下滑。导轨电阻不计，整个过程中金属棒MN和PQ未相碰，则(　 ) A．释放后金属棒MN最终停在水平轨道上 B．金属棒MN刚进入磁场时，金属棒PQ两端电压大小 C．整个过程中流过金属棒PQ的电荷量为 D．整个过程中金属棒MN产生的焦耳热为mgh 【变式3-3】如图甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d＝0.5 m，电阻不计，左端通过导线与阻值R＝2 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值RL＝4 Ω的小灯泡L连接．在CDFE矩形区域内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，CE长l＝2 m，有一阻值r＝2 Ω的金属棒PQ放置在靠近磁场边界CD处(恰好不在磁场中)．CDFE区域内磁场的磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示．在t＝4 s时使金属棒PQ以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动．已知从t＝0开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求： (1)通过小灯泡的电流； (2)金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小． 【知识点4 电磁感应中的图像问题】 1．解题关键 弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键． 2．解题步骤 (1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图像或判断图像． 3．常用方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项． (2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断． 4．感生类图像问题 (1)问题类型 ①给定电磁感应过程，选出或画出正确的图像。 ②由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应物理量。 (2)分析方法 ①电动势大小：E＝n，取决于磁通量的变化率。 ②电动势方向：用楞次定律和安培定则判断。 5．动生类图像问题 (1)问题类型 由闭合线圈的运动过程画出i－t图像或E－t图像。 (2)分析方法 ①电动势大小：E＝Blv。 要注意是单边切割还是双边切割(感应电流同向相加、反向相减)，等效长度为在磁场中导线首尾相连在垂直于速度方向的投影长度。 ②电动势方向：用右手定则判断。 【例4】(多选)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R.质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为F安，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有(　　) 【变式4-1】如图甲所示，两根与水平面成θ＝30°角的足够长的光滑金属导轨平行放置， 导轨间距为L，导轨的电阻忽略不计。整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中， 磁感应强度为B，现将质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b垂直于导轨放置，不可伸长 的绝缘细线一端系在金属棒b的中点。另一端N通过轻质小滑轮与质量为M的物体相连， 细线与导轨平面平行。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，不计一切摩擦，物体 始终未与地面接触，重力加速度g取10m/s2。 （1）若金属棒a固定，M＝m，由静止释放b，求释放瞬间金属棒b的加速度大小； （2）若金属棒a固定，L＝1m，B＝1T，m＝0.2kg，R＝1Ω，改变物体的质量M，使金属棒b沿斜面向上运动，请推导出金属棒b获得的最大速度v与物体质量M的关系式，并在乙图中画出v﹣M图象； （3）若将N端的物体去掉，并对细线的这一端施加竖直向下的恒力F＝mg，同时将金属棒a、b由静止释放。从静止释放到棒a恰好开始匀速运动的过程中，棒a的位移大小为x，求这个过程中棒a产生的焦耳热。 【变式4-2】一个边长为2L的等边三角形磁场区域，一个底边长为L的直角三角形金属线框，线框电阻为R，二者等高，金属线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则线框中感应电流i随位移x变化的图像正确的是(　 ) 【变式4-3】将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab边置于垂直纸面向里为匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是(　　) 【知识点5 电磁感应中的电路问题】 1．电磁感应中的电源 (1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于 ． 电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为 ． (2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极． (3)对路端电压的理解：“电源”两端的电压为路端电压，不是电源的感应电动势。 2．电磁感应中电路知识的关系图 3．分析电磁感应电路问题的基本思路 4．电磁感应中电荷量的计算 电磁感应中电荷量的计算公式：q＝ 推导：根据法拉第电磁感应定律＝n，电路中的平均电流为＝＝，所以q＝Δt＝n。 结论：电磁感应过程中产生的感应电荷量由线圈的匝数、磁通量的变化量及电路的总电阻共同决定，与时间Δt 。 【例5】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中(　　) A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 【变式5-1】如图所示，两根电阻不计且足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角α＝37°，导轨间距L＝1m，顶端用电阻R＝2Ω的定值电阻相连。虚线上方存在垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T．质量m1＝0.1kg、电阻R1＝4Ω的导体棒M在磁场中距虚线的距离d＝2m，M与导轨间的动摩擦因数μ1＝0.25，质量m2＝0.3kg、电阻R2＝2Ω的导体棒N在虚线处，N与导轨间的动摩擦因数μ2＝0.8．将导体棒M、N同时从导轨上由静止释放，M到达虚线前已经匀速，重力加速度g取10m/s2，运动过程中M、N与导轨始终接触良好，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）求M、N相碰前，M上产生的焦耳热； （2）求M、N相碰前M运动的时间； （3）M、N相遇发生弹性碰撞，碰后瞬间对M施加一个沿斜面方向的作用力F，使M、N同时匀减速到零，求M棒在减速到零的过程中作用力F的大小随时间变化的表达式。 【变式5-2】如图所示，一个边长为a、电阻为R的等边三角形线框，在外力作用下，以速度v匀速穿过宽度均为a的两个匀强磁场。这两个磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反。线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直。取逆时针方向的电流为正。若从图示位置开始，线框中产生的感应电流i与沿运动方向的位移x之间的函数图象，下面四个图中正确的是( ) A. B. C. D. 【变式5-3】如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动，在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是(　 ) A．棒产生的电动势为Bl2ω B．微粒的电荷量与质量之比为 C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为CBr2ω 【知识点6 电磁感应中的平衡、动力学问题】 1．导体的两种运动状态 (1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件列式分析． (2)导体的非平衡状态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析． 2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤 【例6】如图所示，MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d，导轨所在平面与水平面成θ角，M、P间接阻值为R的电阻．匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B.质量为m、阻值为r的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动．已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g.求： (1)金属棒产生的感应电动势E； (2)通过电阻R的电流I； (3)拉力F的大小． 【变式6-1】（2026·河北省五个一联盟·一模）如图所示，间距为L的两平行光滑的足够长金属导轨固定在绝缘水平面上，两长度为L、质量为m、阻值为R 的金属棒垂直导轨放置，匀强磁场垂直导轨平面向下，磁感应强度大小为 B。初始时B棒固定，A棒静止，用一水平向右的恒力作用在A棒上，A的瞬时加速度大小为a，恒力持续作用一段时间后，A棒做匀速直线运动，然后在B棒上施加一同样的恒力，释放B棒。导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　） A. 释放B 棒瞬间，A棒的速度大小为 B. 释放B 棒瞬间，加速度大小也为a C. A、B两棒最终运动时速度差恒定且不为零 D. A、B两棒最终运动时加速度均恒定且大小相等 【变式6-2】（2026·河北省保定市涿州市第二中学·一模）（多选）如图所示，在竖直平面（纸面）内存在方向垂直纸面向里的磁场。一质量为m、边长为L、电阻为R的正方形导体框（底边水平），从高度为L、磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ上方由静止释放。导体框释放后，恰好匀速通过区域Ⅰ，随即进入高度为、磁感线均匀分布的变化磁场区域Ⅱ。从导体框释放开始计时，区域Ⅱ内磁场的磁感应强度B随时间t按的规律变化，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 导体框在区域Ⅰ中匀速下落的速度大小为 B. 导体框释放时，其底边距区域Ⅰ上边界的高度为 C. 导体框在穿过区域Ⅰ的过程中，产生的焦耳热为 D. 导体框完全在区域Ⅱ中运动的过程中，通过导体框的电流恒为 【变式6-3】如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1 m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2 Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度B＝0.4 T．质量m＝0.2 kg、电阻r＝1 Ω的金属棒ab，以初速度v0从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一与棒垂直且平行于导轨平面的外力F的共同作用下做匀变速直线运动，速度—时间图象如图乙所示．设金属棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数μ＝0.25.已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)金属棒产生的感应电动势的最大值； (2)当金属棒速度为向上3 m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率； (3)金属棒在0<t<2 s、2 s<t<4 s内外力F随时间t变化的函数关系式． 【知识点7 电磁感应中的动量、能量问题】 一、动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解． 二、动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便． 三、电磁感应中的能量问题 1．电磁感应中的能量转化 2．求解焦耳热Q的三种方法 3．解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化； (3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解． 【例7】(多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图5甲所示，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．以下说法正确的是(　　) A．在0～2 s时间内，I的最大值为0.01 A B．在3～5 s时间内，I的大小越来越小 C．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 C D．第3 s内，线圈的发热功率最大 【变式7-1】（2026·贵州省贵阳市·一模）磁力制动系统是目前大型过山车进站减速的首选制动方式，其原理简化俯视图如图所示，间距为d的平行金属导轨固定在水平地面上，其右端连接一可变电阻，过山车可简化为一根质量为m、垂直于导轨且与导轨接触良好的导体棒，垂直导轨的两虚线与导轨围成的矩形区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当可变电阻阻值为R时，过山车以速度v进入磁场，离开磁场时速度为。除可变电阻外其余电阻不计，忽略摩擦及空气阻力。 （1）求过山车刚进入磁场时所受安培力的大小和方向； （2）求过山车穿过磁场区域的过程中可变电阻产生的焦耳热； （3）当可变电阻的阻值为多少时，可使过山车以速度v进入磁场，以的速度离开磁场？ 【变式7-2】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，间距为L，电阻不计。AB左侧、CD右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。在AB、CD之间的区域内，垂直两根导轨水平放置了两根质量分别为m、2m、电阻分别为r、R的导体棒a、b。在a、b棒之间用一锁定装置将一轻质弹簧压缩安装在a、b棒之间(弹簧与两棒不拴接)，此时弹簧的弹性势能为Ep。现解除锁定，当弹簧恢复到原长时，a、b棒均恰好同时进入磁场。试求： (1)a、b棒刚进入磁场时的速度大小； (2)a、b棒分别在磁场中滑行的距离。 【变式7-3】(多选)如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻相等，两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.75，导轨电阻忽略不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触，下列说法正确的是(　 ) A．导体棒cd中产生的焦耳热为mv02 B．导体棒cd中产生的焦耳热为mv02 C．当导体棒cd的速度为v0时，导体棒ab的速度为v0 D．当导体棒ab的速度为v0时，导体棒cd的速度为v0 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示的匀强磁场中有一根弯成45°的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时OA＝l0 ，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，MN匀速水平向右运动的速度为v，使MN匀速运动的外力为F，则外力F随时间变化的规律图象正确的是(　　) 2．(多选)如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有(　 ) 3．(多选)边长为a的闭合金属正三角轻质框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直于框架平面向里的匀强磁场中，现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图所示，则下列图象与这一拉出过程相符合的是(　　) 4．(多选)如图所示，在0≤x≤L和2L≤x≤3L的区域内存在着匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里，具有一定电阻的正方形线框abcd边长为2L，位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，ab边在t0时刻到达x＝L位置，则线框中的感应电流I(取逆时针方向的电流为正)、bc两端的电势差Ubc与时间t的函数图像大致是下列图中的(　 ) 5．(多选)如图甲，固定在光滑水平面上的正三角形金属线框，匝数n＝20，总电阻R＝2.5 Ω，边长L＝0.3 m，处在两个半径均为r＝的圆形匀强磁场区域中．线框顶点与右侧圆心重合，线框底边中点与左侧圆心重合．磁感应强度B1垂直水平面向上，大小不变；B2垂直水平面向下，大小随时间变化．B1、B2的值如图乙所示，则(　　) A．通过线框的感应电流方向为逆时针方向 B．t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.1 Wb C．在0.6 s内通过线框中的电荷量约为0.13 C D．经过0.6 s线框中产生的热量约为0.07 J 6．(多选)如图是金属圆盘发电机的原理图。匀强磁场垂直于金属圆盘，电阻R通过导线与两块铜片电刷D、C连接，D、C分别与转动轴和圆盘的边缘良好接触。圆盘绕通过圆心O的固定转动轴按图示顺时针方向转动，电阻R中就有电流通过。则(　 ) A．电流方向由D经过电阻R流向C B．通过电阻R的电流大小与铜盘的半径成正比 C．通过电阻R的电流大小与磁感应强度成正比 D．通过电阻R的电流大小与圆盘转动的角速度成正比 7．(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　 ) A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动 C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动 8．（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1:4，高为线框在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是( ) A.边刚进入磁场时，线框的速度为 B.边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为 C.边刚进入磁场时，线框加速度的大小为 D.从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为 9．(多选)如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，倾角为θ，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现由静止释放金属棒ab，假定电容器不会被击穿，忽略一切电阻，则下列说法正确的是(　　) A．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势 B．金属棒ab匀加速下滑 C．金属棒ab最终可能匀速下滑 D．金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能 10．(多选)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后(　　) A．金属框的速度大小趋于恒定值 B．金属框的加速度大小趋于恒定值 C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值 11．(多选)如图所示，两根水平固定的足够长平行光滑金属导轨上，静止放着两根质量为m、长度为L、电阻为R的相同导体棒ab和cd，构成矩形回路(ab、cd与导轨接触良好)，导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B.现给cd一个初速度v0，则(　　) A．ab将向右做匀加速运动 B．ab、cd最终具有相同的速度 C．通过ab杆的电荷量为q＝ D．回路产生的焦耳热最多为mv02 12．(多选)如图所示，水平面上足够长的光滑平行金属导轨，左侧接定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属杆MN以某一初速度沿导轨向右滑行，且与导轨接触良好，导轨电阻不计。则金属杆MN在运动过程中，速度大小v、流过的电荷量q与时间t或位移x的关系图像正确的是(　 ) 13．如图所示，变化的匀强磁场垂直穿过金属框架MNQP，金属杆ab在恒力F作用下沿框架从静止开始运动，t＝0时磁感应强度大小为B0，为使ab中不产生感应电流，下列能正确反映磁感应强度B随时间t变化的图像是(　 ) 14．如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　) A. B. C. D．2 15．[多选]如图，光滑平行金属导轨固定在水平面上，左端由导线相连，导体棒垂直静置于导轨上构成回路。在外力F作用下，回路上方的条形磁铁竖直向上做匀速运动。在匀速运动过程中外力F做功WF，磁场力对导体棒做功W1，磁铁克服磁场力做功W2，重力对磁铁做功WG，回路中产生的焦耳热为Q，导体棒获得的动能为Ek。则(　　) A．W1＝Q B．W2－W1＝Q C．W1＝Ek D．WF＋WG＝Ek＋Q 16．（2026·福建泉州市·一模）（多选）如图，一正方形导线框在足够长的绝缘平板小车上，与车一起在水平面上匀速运动。矩形区域内存在竖直向上的匀强磁场，小车以速率匀速通过该区域过程中，线框相对车滑动，线框边始终平行于，边刚离开磁场时速率恰好为。已知线框边长为、质量为、电阻为，磁场的磁感应强度大小为，长为，且，线框与车之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，则线框（ ） A. 刚进入磁场时产生的感应电动势大小为 B. 受到安培力的总时间为 C. 穿过磁场的过程中产生的总焦耳热一定为 D. 穿过磁场的过程中因摩擦产生的总热量一定为 17．（2026·广东汕头市潮阳实验学校·一模）如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两条相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒a、b分别以初速度和同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有（　　） A. B. C. D. 18．如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大小(　　) A．大于 B．等于 C．小于 D．以上均有可能 19．(多选)如图(a)所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则(　 ) A．在t＝时，金属棒受到安培力的大小为 B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为 C．在t＝时，金属棒受到安培力的方向竖直向上 D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右 20．（2026·河北承德市强基联盟·一模）（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左右两侧导轨间距分别为d、2d，并处于竖直向下的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。半圆弧形导体棒ab、cd恰好分别与两侧导轨相切，材料相同，电阻率为ρ，横截面积均为S。初始时两棒静止，两棒中点连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两导体棒在所处磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。导体棒始终与导轨相切，且接触良好。导轨足够长且电阻不计，则（　　） A. 弹簧伸展过程中回路中产生顺时针方向的电流 B. ab速率为v时，cd所受安培力大小为 C. 整个运动过程中，ab和cd的路程之比为2：1 D. 整个运动过程中，通过ab的电荷量为 21．(多选)如图，水平固定的光滑U型金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L.一金属棒从导轨右端以大小为v的速度滑上导轨，金属棒最终停在导轨上，已知金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R，金属棒与导轨始终接触良好，不计导轨的电阻，则(　　) A．金属棒静止前做匀减速直线运动 B．金属棒刚滑上导轨时的加速度最大 C．金属棒速度为时的加速度是刚滑上导轨时加速度的 D．金属棒从滑上导轨到静止的过程中产生的热量为 22．（2026·河北省石家庄市第一中学·一模）如图所示，水平固定的足够长平行光滑金属导轨和间连接定值电阻，金属棒在两导轨间的距离为，电阻为，整个运动过程中金属棒与导轨垂直且接触良好，整个装置处在竖直向上的匀强磁场（图中未画出）中，磁场的磁感应强度大小为，金属棒的质量为，现用一水平向右的恒力作用在金属棒上使金属棒由静止开始运动，其他电阻不计，下列说法正确的是（　　） A. 金属棒做匀加速直线运动 B. 点电势比点电势高 C. 金属棒达到的最大速度为 D. 金属棒从静止到速度最大的过程，恒力对金属棒做的功为 23．（2026·湖北省·一模）（多选）如图所示，两条间距为d平行光滑金属导轨（足够长）固定在水平面上，导轨的左端接电动势为E内阻为R的电源，右端接定值电阻，其阻值也为R。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面竖直向上，足够长的金属棒质量为m，斜放在两导轨之间，与导轨的夹角为30°，导线、导轨、金属棒的电阻均忽略不计，当开关断开，开关合上，给金属棒一个沿水平方向垂直金属棒的恒力，经过一段时间金属棒获得最大速度，金属棒与导轨始终接触良好且与导轨夹角不变，下列说法正确的是（ ） A. 金属棒的最大加速度为 B. 定值电阻的最大功率为 C. 金属棒从静止开始运动的一段时间内，流过定值电阻某一横截面的电荷量为 D. 若开关断开，开关合上，则金属棒稳定运行的速度为 24．（2026·湖南怀化市·一模）（多选）如图，在粗糙绝缘的固定斜面上（斜面足够大）有一质量为m粗细均匀的矩形线框abcd，线框由两种金属材料组成，ad、bc长为L、电阻均为2R，ab、cd长为、电阻不计，线框处在方向垂直斜面向下的足够大的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。一质量也为m的导体棒PQ紧挨ad放置（不接触ad），PQ接入电路电阻为R，时刻，同时静止释放导体棒PQ以及矩形线框abcd，经时间恰好运动到矩形线框的中心处，此时对棒施加沿斜面向上的力，最终棒PQ恰好不从线框掉下。已知运动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，矩形线框与斜面间的动摩擦因数为，棒PQ与矩形线框间的动摩擦因数为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒PQ刚释放瞬间，线框的加速度大小为 B. 时间内通过ad边的电荷量为 C. 时导体棒的速度为 D. 若时导体棒下降的高度为h，则整个过程中棒PQ上产生的热量为 25．（2026·山东德州市·一模）（多选）如图所示，两根固定的足够长的光滑平行金属导轨、的间距为，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角。杆、杆是两根用轻绳连接的金属杆，质量分别为和，两杆长度均为，两杆垂直导轨放置，两杆的两端均有装置使其不会脱离导轨，只能沿导轨无摩擦运动，两杆的总电阻为，两杆在沿导轨向上的外力作用下保持静止（作用在杆上）。整个装置处在磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向水平向左。某时刻将轻绳烧断，保持不变，两杆从开始运动到刚达到最大速度经历的时间为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 细线烧断后，杆和杆组成的系统沿导轨方向动量不守恒 B. 杆的最大速度为 C. 杆达到最大速度时，上滑的距离为 D. 杆达到最大速度时，下滑的距离为 二、计算、问答题 26．如图甲所示，两根间距L＝1.0m、电阻不计的足够长平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0Ω的电阻相连。质量m＝0.2kg的导体棒ef在恒定外力F作用下由静止开始运动，已知导体棒与两根导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f＝1.0N，导体棒电阻为r＝1.0Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场B中，导体棒运动过程中加速度a与速度v的关系如图乙所示（取g＝10m/s2）。求： （1）当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小（用题中字母表示）； （2）磁场的磁感应强度B； （3）若ef棒由静止开始运动距离为s＝6.9m时，速度已达v′＝3m/s，求此过程中产生的焦耳热Q。 27．如图所示，间距为L＝0.8m、倾角为θ＝37°的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为CF的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B＝0.5T的匀强磁场（图中未标注）将长度比导轨间距略大、质量均为m＝0.4kg、电阻均为R＝0.1Ω的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t0＝2s时间，导体棒A恰好以v0＝3m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始所在位置离倾斜导轨末端be的距离x＝0.5m，试求： （1）外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式； （2）从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热QB； （3）最终稳定时，电容器所带电量q。 28．如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求： (1)作用在金属棒ab上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小． 29．如图甲所示，水平面内的直角坐标系的第一象限内有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，沿x轴方向的变化趋势如图乙所示，B与x的函数关系为B＝。顶角θ＝45°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨接触良好。已知t＝0时，导体棒位于顶点O处，导体棒的质量m＝2 kg，OM、ON接触处O点的接触电阻R＝0.5 Ω，其余电阻不计。导体棒产生的感应电动势E与时间t的关系如图丙所示，图线是过原点的直线，求： (1)t＝2 s时流过导体棒的电流I2的大小； (2)1～2 s时间内回路中流过的电荷量q的大小； (3)导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式。 30．如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R＝2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度为a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求： (1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零； (2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率； (3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系． 31．如图所示，间距为L的水平平行金属导轨上连有一定值电阻，阻值为R，两质量均为m的导体棒ab和cd垂直放置导轨上，两导体棒电阻均为R，棒与导轨间动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。现用某一水平恒力向右拉导体棒ab使其从静止开始运动，当棒ab匀速运动时，棒cd恰要开始滑动，(重力加速度为g)求： (1)棒ab匀速运动的速度大小； (2)若棒ab从开始运动到匀速的过程中流过的电荷量为q，这一过程经历的时间是多少？ 32．电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问： (1)磁场的方向； (2)MN刚开始运动时加速度a的大小； (3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少． 33．如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求： (1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值； (2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小． 34．（2026·广东梅州市·一模）如图所示，两条光滑的足够长的平行金属直导轨、的间距为，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ的结点处、为绝缘材料。、段的轨道倾斜放置，与水平方向夹角，轨道上端固定一个阻值为的电阻，存在磁感应强度、方向垂直轨道Ⅰ向下的匀强磁场。、段的轨道Ⅱ水平放置，存在磁感应强度、方向竖直向上的匀强磁场。质量为、边长为的匀质等边三角形金属框水平放置在轨道Ⅱ上，边的中线与轨道Ⅱ的中轴线重合，每条边的电阻均为。现有一根质量为、长度为、电阻也为的金属棒从轨道Ⅰ某处静止释放，在到达底端前已经达到最大速度。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属框可能的形变，金属棒、金属框均与导轨始终接触良好，重力加速度取。求： （1）ab棒在轨道Ⅰ上达到稳定后的速度及此时棒两端的电势差；（） （2）框在轨道Ⅱ上到达稳定后的速度及棒在轨道Ⅱ上产生的焦耳热（棒与金属框不接触）； （3）为使棒不与金属框碰撞，框的边初始位置与的最小距离。 35．（2026·广东汕头市·一模）某学校科技社团为图书馆自动还书系统设计了电磁缓冲装置，用以保护还书箱及降低噪音，装置简化后如图所示。的光滑斜面固定在水平地面，其底端固定2根劲度系数均为的轻弹簧，弹簧静止时上端恰好处于虚线处，以下区域存在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。还书箱放在斜面上，底边与距离为，边长为L的正方形底面上装有匝数为n、边长为L、阻值为R的正方形线圈，还书箱与线圈的总质量为m，将还书箱静止释放。已知弹簧弹性势能表达式为，其中k为劲度系数，为形变量，弹簧始终没有超出弹性限度，还书箱最终静止。重力加速度为g。求： （1）线圈刚进入磁场时所受安培力大小； （2）还书箱从释放到最终静止的过程中，线圈产生的热量。 36．如图所示，两根相距L＝1 m的足够长的光滑金属导轨，一组导轨水平，另一组导轨与水平面成37°角，拐角处连接一阻值R＝1 Ω的电阻．质量均为m＝2 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，导轨电阻不计，两杆的电阻均为R＝1 Ω.整个装置处于磁感应强度大小B＝1 T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆静止．g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)水平拉力的功率； (2)现让cd杆静止，求撤去拉力后ab杆产生的焦耳热． 37．（2026·河北省唐山市·一模）双轨滑草项目多数采用机械制动装置，在特定区域安装金属摩擦片或橡胶制动块使滑车减速，摩擦时摩擦片会快速升温，影响制动性能，为了避免安全事故发生，唐山市多玛乐园景区欲采用电磁制动装置，某次研究方案如图所示。滑车经过磁场区域时，嵌入滑车底部的线圈受到磁场作用，使滑车在短时间内速度发生明显的变化。滑车与游客总质量，滑车底部单匝矩形线圈的边和边长度分别为、，线圈由粗细均匀的金属丝绕成，其总电阻。滑车到达水平滑道位置时速度为，滑动距离时线圈的边进入条形磁场区域Ⅰ，磁场边界与滑道垂直，磁场宽度，磁感应强度，方向竖直向下。滑车与轨道间动摩擦因数，重力加速度取。滑车从位置开始共滑行了193.7m。求： （1）滑车滑行过程中产生的电能； （2）线圈的边刚进入磁场时两点间的电压； （3）若区域Ⅰ中磁感应强度保持不变，并在区域Ⅰ右侧相邻处新增磁场区域Ⅱ（未画出），区域Ⅱ与区域Ⅰ宽度相同，磁感应强度大小为4T，方向与区域Ⅰ磁场方向相反。通过计算分析滑车从位置开始能否在160m内停止滑行。 38．（2026·河南焦作市·一模）如图所示，两根足够长、间距的光滑平行金属导轨倾斜固定，倾角，空间存在磁感应强度大小、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根金属棒、放置在导轨上，并将用绝缘轻绳绕过光滑定滑轮和物块连接，滑轮左侧轻绳与导轨平行，右侧轻绳竖直。已知、棒的长度均为，电阻均为，、的质量分别为、，物块的质量为，重力加速度取，距离地面足够高，、棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。 （1）若固定导体棒，由静止释放，当的速度为时，求轻绳的拉力为多大； （2）若同时由静止释放和，求和最终的速度分别为多大； （3）在（2）问的基础上，求从释放两棒开始到棒位移为的过程，通过棒的电量为多大。 39．（2026·吉林延边朝鲜族自治州·一模）如图，水平面内有两根电阻不计、间距为足够长的光滑平行导轨，一质量为、电阻不计的导体棒置于导轨上，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮与一质量为的物块连接，导体棒通过轻绳连接物块，利用重力势能转化为系统的动能与电能。系统可通过单刀双掷开关选择接入电阻回路或电容器回路。已知，电阻，电容器的电容。空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。由静止释放物块，从而牵引导体棒向左运动，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，忽略绳与定滑轮间的摩擦。重力加速度，（导体棒运动过程中电容器未被击穿）求： （1）开关S接1 ①物块速度时，导体棒上电流方向及轻绳对物块的拉力大小； ②物块下落高度时恰好达到最大速度，求这段时间电阻上产生的焦耳热。 （2）开关S接2，物块下落高度时，求物块的速度大小。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $