6.1 二次函数的概念（教学课件）数学新教材苏科版九年级下册

6.1 二次函数的概念 第六章 二次函数 学 习 目 标 1 2 理解二次函数的定义，能根据定义判断给定的函数是否为二次函数． 能通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义． 3 能确定简单实际问题中二次函数自变量的取值范围． 什么是函数？我们已经学过哪几类函数？ 知识回顾 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量．对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值． 一次函数 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0） 反比例函数 y＝（k为常数，k≠0） 问题情境 用一段长 16 m 的篱笆围成一个矩形花园，花园的面积随矩形边长的变化而变化． 上述变化过程涉及哪些变量？ 设矩形一边长为 x m，面积 S 如何表示？ x m (8－x)m S＝x(8－x)＝－x2＋8x S 是 x 的函数吗？ 这个函数与我们学过的函数有什么不同？ 自变量的最高次数为2次． 新知探究 1．如图，水激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆的面积 S 与半径 r 之间的函数表达式为 S＝πr2． 2．如图，某人掷铅球时铅球距地面的高度 y(m)与距投掷点的水平距离 x(m)之间 的函数表达式为 y＝－x2＋x＋2． 生活中还有很多自变量的最高次数为2次的函数表达式． 概念引入 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c （a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数．其中 x 是自变量，y 是 x 的函数． 为什么要限制 a≠0，b、c可以为零吗？ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 的取值范围是任意实数． 你还能再举出一些二次函数的生活实例吗？ 等式的右边是整式， 自变量最高次数是2 次 前提条件 y＝ax2＋bx y＝ax2＋c 新知巩固 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y＝3x2＋2x； (4) y＝x(x－5)； (3) y＝x2－＋1； (2) y＝x2－2； (6) y＝(x－1)2－x2． (5) y＝ax2＋bx＋c； 解：(1) 、(2)、(4) ． 判断一个函数是不是二次函数，要整理后再结合二次函数的定义来判断. 例题讲解 例 一面矩形镜子的两边之比为 2 : 1，其中短边不少于 0.5 m，四周镶有边框．已知镜面的价格是 120 元/m2，边框的价格是 30 元/m，加工费为45元．求总费用关于镜面边长的函数表达式． 总费用＝镜面费用＋边框费用＋加工费 分析：1．总费用分为几部分？如何计算？ 按面积算 按长度算 不管镜子大小， 加工费不变 例题讲解 例 一面矩形镜子的两边之比为 2 : 1，其中短边不少于 0.5 m，四周镶有边框．已知镜面的价格是 120 元/m2，边框的价格是 30 元/m，加工费为45元．求总费用关于镜面边长的函数表达式． x m 2x m 分析：2．设镜面短边为 x m，则长边为_____m．镜面面积为_____m2，镜面费用为__________元．边框费用为_______________元． 2x 2x2 120×2x2 30×2×(x＋2x) 240x2 180x 为什么不设长边为x？ 自变量的取值范围是什么？ 例题讲解 例 一面矩形镜子的两边之比为 2 : 1，其中短边不少于 0.5 m，四周镶有边框．已知镜面的价格是 120 元/m2，边框的价格是 30 元/m，加工费为45元．求总费用关于镜面边长的函数表达式． x m 2x m 解：设镜面短边为 x m．根据题意，得总费用 y (元)关 于镜面短边 x 的函数表达式为 y＝240x2＋180x＋45． 自变量 x 的取值范围是x≥0.5． 如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量，那么它的取值范围要符合实际意义． 新知归纳 列二次函数表达式的一般步骤是什么？ 1．审题，设自变量； 2．找等量关系； 3．列出函数表达式； 4．写出自变量取值范围(结合实际意义)． 新知巩固 1．写出高为 14 的圆柱的体积 V 关于底面半径 r 的函数表达式． 解： V＝14πr2（r＞0）． 分析： 圆柱的体积＝底面积×高． 新知巩固 2．如图，矩形纸片一边长 30 cm，另一边长 20 cm，在四角各剪去一个边长为 x cm的正方形，写出剩余部分的面积 S(cm²)关于 x(cm)的函数表达式，并求出自变量的取值范围． 分析：剩余面积＝矩形总面积－4个小正方形面积． 解： S＝30×20－4x2 ＝－4x2＋600． ∵ 20－2x＞0且x＞0， ∴ 0＜x＜10． 新知巩固 3．写出下列问题中 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (1) 如图，在长 200m、宽 140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为 x(m)，绿地面积为 y(m2)； 解：(1) y＝(200－x)(140－x) ＝x2－340x＋28000 (0＜x＜140) 新知巩固 3．写出下列问题中 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围: (2) 某汽车厂10月份的产能为 3 000 辆，11月、12月产能的月平均增长率为 x，12月份的产能为 y (辆)； 解：(2) y＝3 000(1＋x)2 ＝3 000x2＋6 000x＋3 000 (x＞0) 新知巩固 3．写出下列问题中 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围: (3) 如图，用长 50m 的护栏围成一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园平行于墙的一边长为 x(m)，面积为 y(m2)． 解：(3) y＝(50－x)x ＝－x2＋25x (0＜x＜50) 课堂小结 6.1 二次函数的概念 二次函数定义→y＝ax2＋bx＋c （a，b，c是常数，a≠0） 列二次函数模型步骤：审题，设自变量→找等量关系→列出函数式 →写出自变量取值范围(结合实际意义) 自变量取值范围的确定：纯数学：全体实数；实际问题：符合实际意义 感谢聆听！ $