专题01 整式的加减（知识&考点&公式&12高频&3易错&5重难&4模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 整式的加减 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 单项式 1.单项式的概念：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，系数要连同它前面的符号． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.零次单项式：非零的数是零次单项式，如5、－3都是零次单项式． 5.书写规范：单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，但负号不能省略，如－a的系数是－1． 特别提醒：判断单项式要抓住“数与字母的积”这一核心，含加减运算的式子不是单项式；分母中含有字母的式子也不是单项式．确定次数时是所有字母的指数相加，而不是取指数中最大的一个． 知识点02 多项式与整式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2.整式的概念：单项式和多项式统称整式．沪教版教材也表述为：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式，整式也叫作有理式． 3.整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫做整式的项，每一项都连同它前面的符号；不含字母的项叫做常数项． 4.整式的次数：各项中次数最高项的次数叫做这个整式的次数；合并同类项后整式有几项，就称为几项式． 5.单项式与整式的关系：单项式也是整式，是只有一项的整式． 特别提醒：分母中含有字母的代数式不是整式；如3x²－2x＋1的项是3x²、－2x、1，常数项是＋1． 知识点03 同类项 1.同类项：对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项． 2.常数项：几个常数项也是同类项，如5与－3是同类项． 3.判定要点：“两相同”——所含字母相同、相同字母的指数相同；“两无关”——与系数无关，与字母的排列顺序无关． 4.举例：2a²b²与－3b²a²是同类项，因为它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同． 特别提醒：判定同类项只看所含字母及其指数，不看系数的大小，也不看字母的书写顺序． 知识点04 合并同类项 1.合并同类项：把整式中的同类项合并成一项的过程叫做合并同类项． 2.合并法则：合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变． 3.合并依据：合并同类项的依据是乘法对加法的分配律，即ma＋mb＝m(a＋b)． 4.合并步骤：先找出同类项（可用不同的记号标出），再把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变． 5.注意事项：不是同类项的不能合并，如2a²与3a不能合并；系数相加时，不要漏掉各项的符号． 特别提醒：合并同类项只改变系数，不改变字母和字母的指数，可简记为“系数相加，字母与指数不变”． 知识点05 去括号与添括号 1.去括号法则：括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里各项都不变号；括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里各项都变号． 2.括号前有数字因数：应先用乘法分配律把数字因数乘遍括号里的每一项，再去括号，如－2(a－b)＝－2a＋2b． 3.添括号法则：添括号时，括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号． 4.整式加减的步骤：一般地，整式的加减就是先去括号，再合并同类项；结果常按某个字母的降幂（或升幂）排列． 特别提醒：去括号与添括号是互逆的过程，“括前是＋不变号、括前是－全变号”是两者的共同规律；去括号时要逐项变号，不能只变第一项． 考点01 单项式、多项式与整式的概念辨识 考点内容：单项式、多项式与整式的概念；单项式的系数与次数；整式的项、常数项与次数；整式的判断． 常见考法： ①判断一个代数式是不是单项式、整式，注意分母中是否含有字母； ②指出单项式的系数与次数，指出整式的项、常数项与次数； ③判断一个整式是几次几项式，或按要求写出符合条件的单项式． 易错提醒：判定整式的关键是分母中不含字母；单项式的次数是所有字母的指数之和，不是指数中最大的一个． 考点02 同类项的判定 考点内容：同类项的概念与判定条件；由同类项的概念求字母或指数的值． 常见考法： ①判断两组单项式是不是同类项（“两相同、两无关”）； ②已知两个单项式是同类项，求其中字母或指数的值； ③由同类项的概念确定含参数的值，或写出某个单项式的同类项． 易错提醒：同类项与系数无关、与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项． 考点03 合并同类项 考点内容：合并同类项的概念、法则与依据；合并同类项的运算与化简． 常见考法： ①直接合并同类项，把一个整式化简； ②先标出同类项再合并，注意各项的系数与符号； ③合并同类项后代入字母的值，求整式的值． 易错提醒：只有同类项才能合并；合并时只把系数相加，字母和字母的指数保持不变． 考点04 去括号与添括号 考点内容：去括号法则、添括号法则及其在整式加减中的应用． 常见考法： ①按法则去括号（括号前是“＋”号或“－”号）； ②括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘遍括号里的各项，再去括号； ③按要求把某些项括到带“＋”号或带“－”号的括号里（添括号）． 易错提醒：括号前是“－”号时，去括号后括号里各项都要变号，容易漏变后面的项． 考点05 整式的加减与化简求值 考点内容：整式加减的步骤；整式的化简求值；用整式表示实际数量关系． 常见考法： ①求两个整式的和与差，列式时要用括号把每一个整式括起来； ②先化简，再代入字母的值求值（化简求值）； ③用整式表示实际问题中的数量关系，并化简或求值． 易错提醒：求两个整式的差时，要把减式的每一项都变号；结果一般按某个字母的降幂排列． 1 整式的有关概念 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 单项式的系数与次数 数字因数叫做系数；所有字母的指数的和叫做次数 系数要连同前面的符号；非零的数是零次单项式 2 整式的项与次数 每个单项式叫做整式的项；次数最高项的次数叫做整式的次数 不含字母的项叫做常数项；整式有几项就称几项式 2 合并同类项与整式的加减 序号 名称 公式（几何语言） 说明 3 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项 4 合并同类项法则 把同类项的系数相加作为合并后的系数，字母和字母的指数不变 依据是乘法对加法的分配律 5 去括号法则 括号前是“＋”，去括号后括号里各项都不变号；括号前是“－”，去括号后括号里各项都变号 括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘遍各项 6 添括号法则 括号前是“＋”，括到括号里各项都不变符号；括号前是“－”，括到括号里各项都改变符号 添括号与去括号是互逆的过程 辨析01 单项式的次数是“所有字母的指数的和”，不是“指数的最大值” 单项式的次数等于这个单项式中所有字母的指数的和．如3x²y³的次数是2＋3＝5，而不是3；单独一个字母a的次数是1，非零数5的次数是0．不要把次数误认为指数中最大的那个，也不要漏掉指数为1的字母． 辨析02 单项式的系数要连同它前面的符号 单项式中的数字因数叫做系数，它包含前面的符号．如－3x²y的系数是－3，而不是3；a的系数是1（省略不写），－a的系数是－1（负号不能省略）．确定系数时先看清符号，再舍去字母部分． 辨析03 一个代数式是不是整式，关键看分母中是否含字母 整式是有限个单项式求和得到的代数式，其分母中不含字母．如(x＋1)/2是整式，而1/x、2/(a－b)都不是整式．判断时先看分母，再看式中有没有加减运算． 辨析04 整式的项要连同它前面的符号 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫做整式的项．谈“项”时必须带上它前面的符号，如3x²－2x＋1的项是3x²、－2x、1，常数项是1而不是－2．整式的次数是次数最高项的次数，与项的个数无关． 辨析05 同类项的两个条件缺一不可 判定同类项要同时满足“所含字母相同”和“相同字母的指数也相同”．如2a²b与2ab²所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项；又如2x与2xy所含字母不同，也不是同类项． 辨析06 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关 同类项只与所含字母及其指数有关．如2a²b²与－3b²a²是同类项，尽管它们的系数不同、字母的书写顺序不同．把“系数相同”或“字母排列顺序相同”当作判定同类项的条件，都会判断错误． 辨析07 不是同类项不能合并，合并时字母和字母的指数不变 合并同类项的依据是乘法对加法的分配律，只能把同类项的系数相加．不是同类项的不能合并，如2a²与3a不能合并成5a³；合并后字母和字母的指数必须保持原样，不能把指数相加． 辨析08 去括号时，括号前是“－”号，括号里各项都要变号 去括号法则的核心是“括前是＋不变号，括前是－全变号”．如a－(b－c＋d)＝a－b＋c－d，括号里三项都要变号，不能只变第一项．括号前有数字因数时，应先用乘法分配律乘遍括号里的每一项，再去括号． 【题型一】单项式的相关概念 【例1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）下列代数式中，是单项式的是（   ） A．x−3y4 B．16 C．2x D．a+b 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握单项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、x−3y4=14x−34y，是多项式，不是单项式，故不符合题意； B、16是单项式，符合题意； C、2x分母含字母，不是单项式，故不符合题意； D、a+b是多项式，不是单项式，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·期中）下列代数式中，单项式有：（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，熟记数字与字母的乘积或单独的数字或字母，叫做单项式，是解题的关键． 根据单项式的定义，逐个判断各代数式是否为单项式即可得出答案． 【详解】解：①是单项式， ②不是单项式， ③不是单项式， ④不是单项式， ⑤是单项式， 综上，单项式有2个． 故选：B． 【变式1-2】（2025·上海黄浦·二模）单项式的次数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的次数．单项式的次数是指所有字母的指数之和．直接利用单项式的次数的定义得出答案． 【详解】解：单项式的次数是． 故选：D． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】根据单项式的定义、单项式的次数与系数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：、中是常数，所有字母的指数和为，因此它是次单项式，故本选项说法错误，不符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意； 、根据定义，单独的一个数是单项式，因此是单项式，故本选项说法正确，符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意． 【题型二】利用单项式的相关概念求值 【例2】若单项式的系数是m，次数是n，则________． 【答案】// 【分析】本题考查单项式、代数式求值，熟知单项式的系数、次数是解题的关键． 先根据单项式的系数和次数的定义，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：单项式的系数是，即； 次数是的指数1与的指数3之和，即， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-1】若单项式的系数是m，次数是n，则______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数概念，关键是运算中注意“负号”不能遗漏． 根据单项式的系数、次数概念，来得到单项式的系数为，次数为3，则得到，的值，再求二者的积，即可得到结果． 【详解】解：的系数为，次数为3， ，， ． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知是关于x，y的四次单项式，则m的值是_______ ． 【答案】或 【分析】本题考查的是单项式的概念，根据单项式的次数定义，单项式中所有字母的指数之和称为次数．本题中单项式为，是关于和的四次单项式，因此的指数1与的指数之和等于4，即．同时，单项式的系数不能为零． 【详解】解：由次数定义得：简化得：因此， 解得或． 又因为系数，即， ∴和均满足条件． 故答案为：或． 【题型三】写出满足条件的单项式 【例3】（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键。 设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可． 【详解】解：设一次式形式为，常数项， 当时，，即， ∵， ∴， ∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】（25-26七年级上·西藏林芝·期末）请你写出一个含字母，的单项式，使它的系数为，次数为，则这个单项式是________． 【答案】（答案不唯一，也可以是或） 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数的定义，熟练掌握“单项式的系数是数字因数、次数是所有字母的指数之和”是解题的关键． 根据单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数和）的定义，结合系数为、次数为且含、的要求，确定与的指数和为，构造符合条件的单项式． 【详解】解：构造含、，系数为、次数为的单项式：（），或（），或（）． 故答案为：（答案不唯一，也可以是或）． 【变式3-3】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个含、的单项式，使其次数是，且系数是最大的负整数：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，掌握相关知识是解题的关键，根据题意，系数是最大的负整数，即；次数为，即和的指数之和为． 【详解】解：最大的负整数是，系数是最大的负整数， 系数为， 次数是，单项式的次数是所有字母的指数之和， 设的指数为，的指数为， 则， 当，时，单项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四】 整式的有关概念 【例4-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）代数式，，，，中，多项式有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据多项式的定义判断即可． 【详解】不是多项式，是多项式，不是多项式，是多项式，不是多项式， ∴多项式有2个． 故选C． 【点睛】本题考查多项式的定义．掌握几个单项式的和，叫做多项式是解题关键． 【例4-2】（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数与项数．根据有几个单项式，就有几项，单项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，多项式有个单项式，所以共有项； 单项式中次数最高的项是，它的次数是，即为该多项式的次数． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）在下列代数式：，，，，，中，整式 有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查整式，整式是分母中不含字母的代数式，根据定义，逐个判断每个代数式是否为整式即可． 【详解】解：∵整式是分母中不含字母的代数式， ∴是多项式，分母无字母，是整式； ∴是常数，是整式； ∴分母是常数π，无字母，是整式； ∴分母含字母x，不是整式； ∴是单项式，分母无字母，是整式； ∴分母是常数5，无字母，是整式． 综上，整式有5个． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子：，其中单项式有_________；整式有__________________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 【变式4-3】将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式：___________； （2）整式：___________； （3）二项式：___________． 【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】本题考查了单项式，整式，二项式的定义．根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】解：（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤ 【题型五】利用整式的相关概念求值 【例5】已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 【变式5-1】若是关于的三次二项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三次二项式的定义，分析多项式的次数和项数条件，确定参数和的值. 【详解】1. 次数分析： 多项式的最高次数需为3. 项的次数为（的指数为1，的指数为）. 项的次数为1. 需，解得. 2. 项数分析： 多项式需为二项式，即两项均存在且不合并. 当时，第一项为，第二项为. 因此需，即. 综上，且，对应选项B. 故选：B. 【变式5-2】已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次 数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键． （1）根据多项式是五次四项式，可得，根据单项式与该多项式的次数相同可得，求解即可； （2）把代入多项式中求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，且单项式与多项式的次数相同， ， 解得：； （2）∵， ∴这个多项式是， 当时， ． 【变式5-2】（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【答案】（1）的值是；（2）这个多项式的值是． 【分析】此题考查了整式的概念与非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）先运用整式的概念求得的值，再代入计算； （2）先运用整式的概念和非负数的性质求得的值，再代入求解． 【详解】解：（1）由题意得： 且， 解得，， ∴， 即的值是； （2）由题意得，， 解得或，且， ∴， ∵， ∴且， 解得，， ∴ ； ∴这个多项式的值是． 【题型六】 判断是否为同类项 【例6】18．（25-26七年级上·河北保定·期末）下列选项中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，关键是熟练应用定义解题；根据同类项的定义，对各选项进行判断． 【详解】解：同类项的定义是所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式， A选项不含字母，不符合同类项定义； B选项是多项式，不符合同类项定义； C选项中的指数为，的指数为，与题干中对应字母指数不同，不符合同类项定义； D选项含字母，且的指数为，的指数为，的指数为，符合同类项定义， 故选：D． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东清远·期末）下列单项式中，与是同类项的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，需根据“所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项”这一概念，逐一判断选项是否符合要求． 【详解】解：A、与不是同类项，故该选项不符合题意 ； B、与是同类项，故该选项符合题意 ； C、与不是同类项，故该选项不符合题意 ； D、与不是同类项，故该选项不符合题意 ； 故选：B． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项，注意：所有的常数项都是同类项是解题的关键． 根据同类项的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与，所含字母不同，不是同类项； B、与，所含字母不同，不是同类项； C、与，所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项； D、与是同类项， 故选：D． 【题型七】 由同类项的定义求值 【例7-1】若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项定义求出、的值． 根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 故选：C． 【例7-1】如果单项式与是同类项，那么（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ 解得，， ∴． 故选：A． 【例7-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 【题型八】由合并同类项的法则求值 【例8】若﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项，则mn的值是 ． 【答案】1． 【分析】首先可判断两单项式是同类项，再由同类项所含相同字母的指数相同，可得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项， 所以﹣2amb4与5ab2m+n是同类项， 所以m＝1，2m+n＝4， 解得m＝1，n＝2， 所以mn＝12＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同． 【变式8-1】（25-26七年级上·广西玉林·期中）已知两个单项式与的和仍为单项式，则m的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查合并同类项，根据两个单项式的和仍为单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相同，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，与是同类项 ∴，解得． 故答案为：2． 【变式8-2】（26-27七年级上·上海·期中）如果关于x、y的单项式与的差是一个单项式，那么___________ . 【答案】13 【分析】根据题意可知两个单项式为同类项，根据同类项的定义，得 和 ，求得，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 【题型九】 直接合并同类项的计算 【例9】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式9-1】合并同类项： （1）                      （2） 【答案】(1)4m-n;(2) 【分析】（1）合并同类项即可得到答案； （2）将多项式合并同类项. 【详解】（1）， （2）. 【点睛】此题考查整式的加减法计算，将多项式中的同类项合并. 【变式9-2】合并同类项： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项的法则． 先找出多项式中的同类项，再根据合并同类项的法则“把系数相加作为系数，字母和字母的指数不变”求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型十】 去括号后合并同类项的计算 【例10】(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，理解去括号法则和合并同类项计算法则是解答关键. （1）先去括号，再合并同类项求解； （2）先去小括号，再去中括号，最后合并同类项求解. 【详解】（1）解： （2）解： . 【变式10-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式10-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查去括号，整式的加减，掌握知识点是解题的关键． （1）根据整式的加减进行化简即可； （2）先去括号，再根据整式的加减进行化简即可； （3）先去括号，再根据整式的加减进行化简即可； （4）先去括号，再根据整式的加减进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型十一】 将多项式按某个字母的升幂（降幂）排列 【例11】（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】C 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排列的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义进行解答即可． 【详解】解：多项式是按y的升幂排列． 故选：C 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的项、系数、次数，同类项．根据单项式与多项式的项、系数、次数，同类项的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，故本选项说法错误； B、多项式中，是常数项，因此它的次数是2，项数是3，故本选项的说法正确； C、单项式与中，a的指数不同，b的指数不同，它们不是同类项，故本选项的说法错误； D、多项式按x的降幂排列为，故本选项的说法错误． 故选：B 【变式11-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的降幂排列，即按照各单项式中x的指数从大到小的顺序排列单项式． （2）按y的降幂排列，即按照各单项式中y的指数从大到小的顺序排列单项式． 【详解】（1）解：中x的指数为4，中x的指数为0，中x的指数为3，中x的指数为1，中x的指数为2；按x的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． （2）中y的指数为0，中y的指数为4，中y的指数为1，中y的指数为2，中y的指数为3；按y的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． 【题型十二】整式加减的计算 【例12】一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【答案】 【分析】这个多项式为，化简求解即可． 【详解】解：根据题意，得这个多项式为：， ． 【变式12-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 【变式12-2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知，． (1)求． (2)如果，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将，代入中，去括号，合并同类项即可． （2）将，代入中，化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，，， ∴ ． 【题型一】单项式的系数与次数判断错误 【例1】单项式的系数和次数分别是（　　） A．，5 B．1，5 C．，6 D．1，6 【答案】C 【分析】此题考查了单项式的知识，掌握单项式的系数及次数的定义是解答此类问题的关键． 根据单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母指数的和作答即可． 【详解】解：的系数为，次数为， 故选：C． 易错警示 确定系数时要连同前面的符号，如－3x²y的系数是－3；确定次数时是所有字母的指数之和，而不是指数中最大的一个，也不要漏掉指数为1的字母． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·期中）单项式的系数是________． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 【变式1-2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【答案】 【分析】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 【详解】解：的系数为. 【变式1-3】下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】单项式的系数与次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指所有字母指数的和．多项式的相关定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项． 【详解】解：A. 的次数为4，故本选项不符合题意； B. 多项式的一次项是，故本选项不符合题意； C. 单项式的系数是1，故本选项不符合题意； D. 多项式是二次三项式，故本选项符合题意． 【题型二】合并同类项时漏项、漏符号或误把非同类项合并 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 易错警示 合并同类项前先找出同类项并标出，不要把不是同类项的项也相加；系数相加时要带上每一项的符号，始终记住“系数相加，字母和字母的指数不变”． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式与合并同类项运算，根据去括号法则、单项式乘多项式运算法则，分别计算各选项后判断即可． 【详解】解：选项A，，故本选项错误，不符合题意； 选项B，与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； 选项C，，故本选项正确，符合题意； 选项D，，故本选项错误，不符合题意； 【变式2-2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是否为同类项，再根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算判断即可． 【详解】解：选项A：，计算正确，符合题意； 选项B：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项C：与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意． 【题型三】去括号时符号变化错误 【例3】以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 易错警示 括号前是“－”号时，去括号后括号里各项都要变号，不能只变第一项；括号前有数字因数时，应先用乘法分配律乘遍括号里的每一项，再去括号． 【变式3-1】以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程． （a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b） ＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…………第一步， ＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…………第二步， ＝ab﹣2a2b…………第三步， （1）马小虎同学解答过程在第 　 　步开始出错，出错原因是 　 　． （2）马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是 　 　． （3）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程． 【答案】（1）一；去掉括号时，没有变号； （2）乘法分配律； （3）4a2b+ab． 【分析】（1）根据去括号法则得出答案即可； （2）根据去括号法则得出答案即可； （3）先根据去括号法则去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号； 故答案为：一；去掉括号时，没有变号； （2）乘法分配律； 故答案为：乘法分配律； （3）（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b） ＝a2b+4ab﹣3ab+3a2b ＝4a2b+ab． 【点评】本题考查了整式加减和去括号法则能正确根据知识点进行计算是解此题的关键． 【变式3-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型一】整式的化简求值---直接代入求值 【例1】（25-26六年级上·上海·期末）先化简代数式：，再求当时这个代数式的值． 【答案】 ； 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式的化简求解，解决本题的关键是正确化简． 先化简代数式，然后利用已知条件整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ 原式． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，65 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数求值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代入值求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先根据去括号法则、合并同类项法则把整式化简，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【题型二】整式的化简求值---整体代入求值 【例2】已知，，求的值． 【答案】36 【分析】先利用提取公因式法和完全平方公式将所求的代数式进行因式分解，再将已知式子的值代入计算即可得． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【点睛】本题考查了因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【变式2-1】已知x2﹣5x﹣4＝0，求的值． 【分析】将已知等式化成x2﹣5x＝4，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可． 【详解】解：∵x2﹣5x﹣4＝0， ∴x2﹣5x＝4， ∴ ＝2x2﹣3x2+6﹣3x﹣2x+2x2﹣1 ＝x2﹣5x+5 ＝4+5 ＝9． 【点睛】本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的变化． 【变式2-2】化简求值：已知，，求的值． 【答案】； 【分析】先根据整式的加减混合运算化简，再将式子的值代入求解即可． 【详解】 ，， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确的计算是解题的关键． 【变式2-3】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 【题型三】整式加减中不含某项问题 【例3】关于的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式不含二次项，令二次项的系数等于0，建立方程求出a，b的值，最后再代入代数式计算即可． 【详解】解：关于的多项式不含二次项， 且， ∴， ∴． 【变式3-1】（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 【答案】（1） ； ； （2）、的值分别为和． 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义求解即可； 根据合并同类项的法则把系数相加即可； （2）计算，合并同类项后，令关于项系数等于即可求得结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得，， ，其中， ， ， 故答案为：；； （2） ， ， ， ， 的值与无关， ，， 解得，，； 、的值分别为和． 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，形式如下： (1)设所遮住的整式为A，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A： (2)在（1）的条件下．设．若的值与x的取值无关，求m的值 【答案】(1)不正确． (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）通过移项再相加减求解即可； （2）先求出，结果整理为，根据与无关，则为0求解即可． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 根据题意得， 小明说法不正确，正确的整式； （2） ，， 的值与x的取值无关， ， 【题型四】 整式加减中的错看问题 【例4】已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）依题意得，进而可求解； （2）和代入，利用去括号和合并同类项法则进行运算即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 【变式4-1】在一次检验中，有一道整式运算的问题“已知整式A，B，求的值”，粗心的小红做成了，最终得到的结果是且整式，请你把原题正确的答案求出． 【答案】． 【分析】先求出A的式子，再根据整式的加减进行计算即可． 【详解】解：，， ， ． 【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【变式4-2】已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． （1）根据可求出A； （2）依题意，，，根据整式的加法计算，即可求解； （2）将代入（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ， （3）当时，． 【变式4-3】已知多项式． (1)化简：； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求此时常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式代入求值，多项式与特定变量无关的条件．熟悉整式加减运算的运算法则，将具体数值代入化简后的代数式进行计算，与无关的条件是的系数为，是解题的关键． （1）按照去括号，合并同类项的运算法则计算即可． （2）将代入化简后的代数式进行计算即可． （3）先化简，根据与无关的条件是的系数为这一隐含条件，得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：当时, 代入化简后的代数式，得：； （3）解：， ， ， ， ∵使与无关，即的系数为， ∴令， 解得． 【题型五】 整式加减中的遮挡问题 【例5】（26-27七年级上·上海·单元测试）是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），求被墨水遮住的一项． 【答案】被墨水遮住的一项应是 【详解】解： ， 被墨水遮住的一项应是. 【变式5-1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减的应用和求代数式的值． （1）根据题意列出算式，计算即可求解； （2）把，代入（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：被遮挡部分的整式为 ； （2）解：当，时， 原式 ． 【变式5-2】（2025七年级上·全国·专题练习）（唐山期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式； (2)当时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算---化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）利用整式的减法运算法则计算即可； （2）将代入（1）中化简后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以被书遮挡部分的整式是； （2）解：当时，， 所以被书遮挡部分的代数式的值为． 【题型一】 整式加减与数轴、绝对值的结合 【例1】有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示： (1)用“>”“<”或“=”填空：_____0，______0，________0； (2)化简： 【答案】(1)<，>，< (2) 【分析】（1）由数轴得，，即可依次判定式子的值； （2）利用（1）的结论化简绝对值计算即可． 【详解】（1）由数轴得，， ∴， 故答案为：<，>，<． （2）解：∵ ∴ =   = =． 【点睛】此题考查了利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减计算，正确掌握数轴上数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 【变式1-1】表示三个数的点在数轴上如图所示，    (1)根据数轴化简：a ______0；c ______0； ______0； ______0． (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，数轴，化简绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据数轴以及有理数的加法法则和乘法法则即可确定； （2）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，， 故填：>，<，<，< （2）解： ． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解； （2）根据数轴得出，，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为； A，B之间的距离为； 故答案为：；； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 【题型二】利用整式加减解决数字问题 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 【答案】(1)原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式进行总结即可； （2）由（1）规律表示新的两位数，再利用整式加减法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， …， ∴把一个两位数的十位数字与个位数字交换位置，新的两位数与原来两位数的差等于原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； 故答案为：原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； （2）解：∵原来两位数的十位数字为，个位数字为， ∴由（1）中规律得新两位数可表示为：； ． 【变式2-2】如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查月历中日期的规律及整式的化简求值，解题的关键是利用月历中日期的排列规律（横向相邻差1，纵向相邻差7）分析数量关系． （1）根据九方格中正中心的日期θ，推导空白日期和与正中心日期的关系； （2）利用月历日期的横向、纵向差，用表示、、； （3）将、、代入代数式，化简判断是否为定值． 【详解】（1）解：九方格中，正中心日期为，月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 空白日期， 故答案为：； （2）解：月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 由的位置，可得：（向下两排，）， （向右两列）， ， 故答案为：； （3）解：是定值，， 将、、代入代数式： ． 故代数式的值为定值． 【题型三】利用整式加减进行新定义运算 【例3】定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题主要考查新定义下的运算，规律探索，整式加减运算，去括号，合并同类项，理解题目中的运算法则是解题关键． （1）根据题目中的式子即可得到的结果； （2）根据题目中的式子即可得到的结果； （3）根据（2）中的结果化简，再将a、b的值代入计算． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ， 当时，原式． 【变式3-1】（25-26六年级上·上海青浦·期中）如果规定，当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义列出代数式，利用整式加减法法则进行计算，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 当，时，原式． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·期中）将两个非零有理数a、b记作数对，若数对满足，则称数对为“哪吒数对”． (1)若是“哪吒数对”，求t的值； (2)苗苗同学很爱思考，她发现了一种快速判断“哪吒数对”的方法，例如、、均是“哪吒数对”．你能破解苗苗同学快速判断的奥秘吗？ (3)若是“哪吒数对”，试说明与的差是定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)当两个非零有理数满足时，数对就是“哪吒数对” (3) 【分析】本题考查了整式的加减及解一元一次方程，解决本题的关键是熟练掌握整式的加减及解一元一次方程的步骤． （1）由是“哪吒数对”，可得再解方程即可； （2）由，可得，即，再回答即可； （3）由是“哪吒数对”，可得出，即．再化简与并作差，再求解即可． 【详解】（1）解：因为是“哪吒数对”， 所以将t代入可得 ， 即， 解得； （2）解：， 等式两边同时乘以18得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即． 所以当两个非零有理数满足时，数对就是“哪吒数对”； （3）解：因为是“哪吒数对”， 所以， 即， 所以． ， ， 作差得： 把代入上式得：． 所以差是定值． 【题型四】 利用整式加减解决实际问题 【例4】（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，甲、乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度为，5小时后两船同时到达A、C两港口，装卸货物后，又同时出发，甲船驶往港口，乙船驶往港口． (1)A、C两港口相距多远？ (2)A、B两港口间的距离比B、C两港口间的距离多多少千米？（用含的代数式表示） (3)装卸货物后两船同时出发，并再次相遇，若相遇处距港口50千米，求甲船还需几小时到达港口？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，结合顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度求出两船的路程，二者求和即可得到答案； （2）同（1）求出两船的路程，用甲船的路程减去乙船的路程即可得到答案； （3）可推出两船再次相遇的地点一定在B的左侧，则可建立方程求出a的值，进而求出再次相遇时甲船与C的距离，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：A、C两港口相距； （2）解：， 答：A、B两港口间的距离比B、C两港口间的距离多； （3）解：∵甲、乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，5小时后两船同时到达A、C两港口， ∴装卸货物后，甲船逆水，乙船顺水， ∴装卸货物后甲船从A到B的时间大于5小时，乙船从C到B的时间小于5小时， ∴两船再次相遇的地点一定在B的左侧， ∴， 解得， ∴两人再次相遇时甲船与C的距离为 ∴甲船还需小时到达港口， 答：甲船还需小时到达港口． 【变式4-1】某超市在国庆期间对顾客购物实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 不超过500元 打9折 超过500元 其中500元打9折，超过500元的部分打7折 (1)小李一次购物600元，他实际付款 元； (2)若顾客在超市一次购物x元，写出他的实际付款金额； (3)如果小李前后两次购物合计1200元，第一次购物a元（），第二次购物元，若，小李前后两次购物共付款多少元？ 【答案】(1)520 (2) 解：当时，他的实际付款金额为元； 当时，他的实际付款金额为元； (3)元 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算；解题的关键是读懂题意，理解优惠方案． （1）根据不超过500元打9折，超过500元，其中500元打9折，超过500元的部分打7折列式计算即可； （2）分两种情况列式即可； （3）把两次付款相加即可． 【详解】（1）解： （元）； 故答案为：520； （2）略 （3）第一次购物a元（）需付款元； 第二次购物元，，需付款元； ∵元， ∴小李前后两次购物共付款元． 【变式4-2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 技巧 一句话要点 判定单项式与整式——“看分母，看乘积” 分母中含字母的不是整式；数与字母的积组成的代数式是单项式，几个单项式的和是多项式． 单项式的系数——“数字因数带符号” 系数是单项式中的数字因数，必须连同它前面的符号；系数为1或－1时“1”省略不写． 单项式的次数——“指数相加，不是取大” 次数是所有字母的指数的和；指数为1的字母不能漏掉，非零数的次数是0． 整式的项——“项与符号不分离” 谈整式的项要带上它前面的符号，不含字母的项是常数项． 同类项判定——“两相同、两无关” 所含字母相同、相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关． 合并同类项——“系数相加，字母不动” 把同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数保持不变． 去括号——“括前是＋不变号，括前是－全变号” 去括号时逐项变号；括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘遍各项． 整式加减——“先去括号，再合并同类项” 求两个整式的差时要给减式加括号并逐项变号；结果一般按某个字母的降幂排列． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的加减 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 单项式 1.单项式的概念：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的 ，系数要连同它前面的符号． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的 叫做这个单项式的次数． 4.零次单项式：非零的数是 次单项式，如5、－3都是零次单项式． 5.书写规范：单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，但 不能省略，如－a的系数是－1． 知识点02 多项式与整式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2.整式的概念：单项式和多项式统称整式．沪教版教材也表述为：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式，整式也叫作 ． 3.整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫做整式的项，每一项都连同它前面的符号；不含字母的项叫做 ． 4.整式的次数：各项中次数最高项的次数叫做这个整式的次数；合并同类项后整式有几项，就称为几项式． 5.单项式与整式的关系：单项式也是整式，是只有 项的整式． 知识点03 同类项 1.同类项：对于两个单项式，如果它们所含字母 ，且相同字母的指数也 ，那么称这两个单项式为同类项． 2.常数项：几个常数项也是同类项，如5与－3是同类项． 3.判定要点：“两相同”——所含字母相同、相同字母的指数相同；“两无关”——与 无关，与字母的排列顺序无关． 4.举例：2a²b²与－3b²a²是同类项，因为它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同． 知识点04 合并同类项 1.合并同类项：把整式中的同类项合并成一项的过程叫做 ． 2.合并法则：合并同类项时，把同类项的系数 的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数 ． 3.合并依据：合并同类项的依据是乘法对加法的分配律，即ma＋mb＝m(a＋b)． 4.合并步骤：先找出同类项（可用不同的记号标出），再把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变． 5.注意事项：不是同类项的不能合并，如2a²与3a不能合并；系数相加时，不要漏掉各项的 ． 知识点05 去括号与添括号 1.去括号法则：括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里各项都 号；括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里各项都 号． 2.括号前有数字因数：应先用乘法分配律把数字因数乘遍括号里的每一项，再去括号，如－2(a－b)＝－2a＋2b． 3.添括号法则：添括号时，括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都 符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 符号． 4.整式加减的步骤：一般地，整式的加减就是先去括号，再 ；结果常按某个字母的降幂（或升幂）排列． 考点01 单项式、多项式与整式的概念辨识 考点内容：单项式、多项式与整式的概念；单项式的系数与次数；整式的项、常数项与次数；整式的判断． ①判断一个代数式是不是单项式、整式，注意分母中是否含有字母； ②指出单项式的系数与次数，指出整式的项、常数项与次数； ③判断一个整式是几次几项式，或按要求写出符合条件的单项式． 易错提醒：判定整式的关键是分母中不含字母；单项式的次数是所有字母的指数之和，不是指数中最大的一个． 考点02 同类项的判定 考点内容：同类项的概念与判定条件；由同类项的概念求字母或指数的值． ①判断两组单项式是不是同类项（“两相同、两无关”）； ②已知两个单项式是同类项，求其中字母或指数的值； ③由同类项的概念确定含参数的值，或写出某个单项式的同类项． 易错提醒：同类项与系数无关、与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项． 考点03 合并同类项 考点内容：合并同类项的概念、法则与依据；合并同类项的运算与化简． ①直接合并同类项，把一个整式化简； ②先标出同类项再合并，注意各项的系数与符号； ③合并同类项后代入字母的值，求整式的值． 易错提醒：只有同类项才能合并；合并时只把系数相加，字母和字母的指数保持不变． 考点04 去括号与添括号 考点内容：去括号法则、添括号法则及其在整式加减中的应用． ①按法则去括号（括号前是“＋”号或“－”号）； ②括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘遍括号里的各项，再去括号； ③按要求把某些项括到带“＋”号或带“－”号的括号里（添括号）． 易错提醒：括号前是“－”号时，去括号后括号里各项都要变号，容易漏变后面的项． 考点05 整式的加减与化简求值 考点内容：整式加减的步骤；整式的化简求值；用整式表示实际数量关系． ①求两个整式的和与差，列式时要用括号把每一个整式括起来； ②先化简，再代入字母的值求值（化简求值）； ③用整式表示实际问题中的数量关系，并化简或求值． 易错提醒：求两个整式的差时，要把减式的每一项都变号；结果一般按某个字母的降幂排列． 1 整式的有关概念 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 单项式的系数与次数 数字因数叫做系数；所有字母的指数的和叫做次数 系数要连同前面的符号；非零的数是零次单项式 2 整式的项与次数 每个单项式叫做整式的项；次数最高项的次数叫做整式的次数 不含字母的项叫做常数项；整式有几项就称几项式 2 合并同类项与整式的加减 序号 名称 公式（几何语言） 说明 3 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项 4 合并同类项法则 把同类项的系数相加作为合并后的系数，字母和字母的指数不变 依据是乘法对加法的分配律 5 去括号法则 括号前是“＋”，去括号后括号里各项都不变号；括号前是“－”，去括号后括号里各项都变号 括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘遍各项 6 添括号法则 括号前是“＋”，括到括号里各项都不变符号；括号前是“－”，括到括号里各项都改变符号 添括号与去括号是互逆的过程 辨析01 单项式的次数是“所有字母的指数的和”，不是“指数的最大值” 单项式的次数等于这个单项式中所有字母的指数的和．如3x²y³的次数是2＋3＝5，而不是3；单独一个字母a的次数是1，非零数5的次数是0．不要把次数误认为指数中最大的那个，也不要漏掉指数为1的字母． 辨析02 单项式的系数要连同它前面的符号 单项式中的数字因数叫做系数，它包含前面的符号．如－3x²y的系数是－3，而不是3；a的系数是1（省略不写），－a的系数是－1（负号不能省略）．确定系数时先看清符号，再舍去字母部分． 辨析03 一个代数式是不是整式，关键看分母中是否含字母 整式是有限个单项式求和得到的代数式，其分母中不含字母．如(x＋1)/2是整式，而1/x、2/(a－b)都不是整式．判断时先看分母，再看式中有没有加减运算． 辨析04 整式的项要连同它前面的符号 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫做整式的项．谈“项”时必须带上它前面的符号，如3x²－2x＋1的项是3x²、－2x、1，常数项是1而不是－2．整式的次数是次数最高项的次数，与项的个数无关． 辨析05 同类项的两个条件缺一不可 判定同类项要同时满足“所含字母相同”和“相同字母的指数也相同”．如2a²b与2ab²所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项；又如2x与2xy所含字母不同，也不是同类项． 辨析06 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关 同类项只与所含字母及其指数有关．如2a²b²与－3b²a²是同类项，尽管它们的系数不同、字母的书写顺序不同．把“系数相同”或“字母排列顺序相同”当作判定同类项的条件，都会判断错误． 辨析07 不是同类项不能合并，合并时字母和字母的指数不变 合并同类项的依据是乘法对加法的分配律，只能把同类项的系数相加．不是同类项的不能合并，如2a²与3a不能合并成5a³；合并后字母和字母的指数必须保持原样，不能把指数相加． 辨析08 去括号时，括号前是“－”号，括号里各项都要变号 去括号法则的核心是“括前是＋不变号，括前是－全变号”．如a－(b－c＋d)＝a－b＋c－d，括号里三项都要变号，不能只变第一项．括号前有数字因数时，应先用乘法分配律乘遍括号里的每一项，再去括号． 【题型一】单项式的相关概念 【例1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）下列代数式中，是单项式的是（   ） A．x−3y4 B．16 C．2x D．a+b 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·期中）下列代数式中，单项式有：（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2025·上海黄浦·二模）单项式的次数是（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1-3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【题型二】利用单项式的相关概念求值 【例2】若单项式的系数是m，次数是n，则________． 【变式2-1】若单项式的系数是m，次数是n，则______． 【变式2-2】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知是关于x，y的四次单项式，则m的值是_______ ． 【题型三】写出满足条件的单项式 【例3】（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【变式3-1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式________． 【变式3-2】（25-26七年级上·西藏林芝·期末）请你写出一个含字母，的单项式，使它的系数为，次数为，则这个单项式是________． 【变式3-3】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个含、的单项式，使其次数是，且系数是最大的负整数：________．（写出一个即可） 【题型四】 整式的有关概念 【例4-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）代数式，，，，中，多项式有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【例4-2】（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）在下列代数式：，，，，，中，整式 有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子：，其中单项式有_________；整式有__________________． 【变式4-3】将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式：___________； （2）整式：___________； （3）二项式：___________． 【题型五】利用整式的相关概念求值 【例5】已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【变式5-1】若是关于的三次二项式，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次 数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 【变式5-2】（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【题型六】 判断是否为同类项 【例6】18．（25-26七年级上·河北保定·期末）下列选项中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东清远·期末）下列单项式中，与是同类项的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型七】 由同类项的定义求值 【例7-1】若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【例7-1】如果单项式与是同类项，那么（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【例7-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则__________． 【题型八】由合并同类项的法则求值 【例8】若﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项，则mn的值是 ． 【变式8-1】（25-26七年级上·广西玉林·期中）已知两个单项式与的和仍为单项式，则m的值是______． 【变式8-2】（26-27七年级上·上海·期中）如果关于x、y的单项式与的差是一个单项式，那么___________ . 【题型九】 直接合并同类项的计算 【例9】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【变式9-1】合并同类项： （1）                      （2） 【变式9-2】合并同类项： (1) (2) (3) 【题型十】 去括号后合并同类项的计算 【例10】(1)； (2)． 【变式10-1】化简： (1)； (2)． 【变式10-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十一】 将多项式按某个字母的升幂（降幂）排列 【例11】（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【变式11-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 【题型十二】整式加减的计算 【例12】一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【变式12-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【变式12-2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知，． (1)求． (2)如果，求． 【题型一】单项式的系数与次数判断错误 【例1】单项式的系数和次数分别是（　　） A．，5 B．1，5 C．，6 D．1，6 易错警示 确定系数时要连同前面的符号，如－3x²y的系数是－3；确定次数时是所有字母的指数之和，而不是指数中最大的一个，也不要漏掉指数为1的字母． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·期中）单项式的系数是________． 【变式1-2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【变式1-3】下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【题型二】合并同类项时漏项、漏符号或误把非同类项合并 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 易错警示 合并同类项前先找出同类项并标出，不要把不是同类项的项也相加；系数相加时要带上每一项的符号，始终记住“系数相加，字母和字母的指数不变”． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】去括号时符号变化错误 【例3】以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 易错警示 括号前是“－”号时，去括号后括号里各项都要变号，不能只变第一项；括号前有数字因数时，应先用乘法分配律乘遍括号里的每一项，再去括号． 【变式3-1】以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程． （a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b） ＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…………第一步， ＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…………第二步， ＝ab﹣2a2b…………第三步， （1）马小虎同学解答过程在第 　 　步开始出错，出错原因是 　 　． （2）马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是 　 　． （3）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程． 【变式3-2】计算： (1) (2) 【题型一】整式的化简求值---直接代入求值 【例1】（25-26六年级上·上海·期末）先化简代数式：，再求当时这个代数式的值． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）先化简再求值：，其中． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型二】整式的化简求值---整体代入求值 【例2】已知，，求的值． 【变式2-1】已知x2﹣5x﹣4＝0，求的值． 【变式2-2】化简求值：已知，，求的值． 【变式2-3】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【题型三】整式加减中不含某项问题 【例3】关于的多项式不含二次项，求的值． 【变式3-1】（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，形式如下： (1)设所遮住的整式为A，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A： (2)在（1）的条件下．设．若的值与x的取值无关，求m的值 【题型四】 整式加减中的错看问题 【例4】已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【变式4-1】在一次检验中，有一道整式运算的问题“已知整式A，B，求的值”，粗心的小红做成了，最终得到的结果是且整式，请你把原题正确的答案求出． 【变式4-2】已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 【变式4-3】已知多项式． (1)化简：； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求此时常数的值． 【题型五】 整式加减中的遮挡问题 【例5】（26-27七年级上·上海·单元测试）是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），求被墨水遮住的一项． 【变式5-1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【变式5-2】（2025七年级上·全国·专题练习）（唐山期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式； (2)当时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【题型一】 整式加减与数轴、绝对值的结合 【例1】有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示： (1)用“>”“<”或“=”填空：_____0，______0，________0； (2)化简： 【变式1-1】表示三个数的点在数轴上如图所示，    (1)根据数轴化简：a ______0；c ______0； ______0； ______0． (2)化简：． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 【题型二】利用整式加减解决数字问题 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 【变式2-2】如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【题型三】利用整式加减进行新定义运算 【例3】定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 【变式3-1】（25-26六年级上·上海青浦·期中）如果规定，当，时，求代数式的值． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·期中）将两个非零有理数a、b记作数对，若数对满足，则称数对为“哪吒数对”． (1)若是“哪吒数对”，求t的值； (2)苗苗同学很爱思考，她发现了一种快速判断“哪吒数对”的方法，例如、、均是“哪吒数对”．你能破解苗苗同学快速判断的奥秘吗？ (3)若是“哪吒数对”，试说明与的差是定值，并求出该定值． 【题型四】 利用整式加减解决实际问题 【例4】（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，甲、乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度为，5小时后两船同时到达A、C两港口，装卸货物后，又同时出发，甲船驶往港口，乙船驶往港口． (1)A、C两港口相距多远？ (2)A、B两港口间的距离比B、C两港口间的距离多多少千米？（用含的代数式表示） (3)装卸货物后两船同时出发，并再次相遇，若相遇处距港口50千米，求甲船还需几小时到达港口？ 【变式4-1】某超市在国庆期间对顾客购物实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 不超过500元 打9折 超过500元 其中500元打9折，超过500元的部分打7折 (1)小李一次购物600元，他实际付款 元； (2)若顾客在超市一次购物x元，写出他的实际付款金额； (3)如果小李前后两次购物合计1200元，第一次购物a元（），第二次购物元，若，小李前后两次购物共付款多少元？ 【变式4-2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 技巧 一句话要点 判定单项式与整式——“看分母，看乘积” 分母中含字母的不是整式；数与字母的积组成的代数式是单项式，几个单项式的和是多项式． 单项式的系数——“数字因数带符号” 系数是单项式中的数字因数，必须连同它前面的符号；系数为1或－1时“1”省略不写． 单项式的次数——“指数相加，不是取大” 次数是所有字母的指数的和；指数为1的字母不能漏掉，非零数的次数是0． 整式的项——“项与符号不分离” 谈整式的项要带上它前面的符号，不含字母的项是常数项． 同类项判定——“两相同、两无关” 所含字母相同、相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关． 合并同类项——“系数相加，字母不动” 把同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数保持不变． 去括号——“括前是＋不变号，括前是－全变号” 去括号时逐项变号；括号前有数字因数时，先用乘法分配律乘遍各项． 整式加减——“先去括号，再合并同类项” 求两个整式的差时要给减式加括号并逐项变号；结果一般按某个字母的降幂排列． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $