专题03 因式分解（知识&考点&公式&11高频&3易错&4重难&3模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 因式分解 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 因式分解的意义 1.因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式；把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解． 2.因式：如x²＋x＝x(x＋1)中，x、x＋1都是x²＋x的因式；x⁴－1＝(x²＋1)(x²－1)＝(x²＋1)(x＋1)(x－1)中，x²＋1、x＋1、x－1都是x⁴－1的因式． 3.因式分解与整式乘法的关系：整式的乘法是把几个整式的积化为一个多项式，因式分解是把一个含多个项的整式化为几个整式的积，两者是互逆的变形． 4.因式分解的结果：结果必须是几个整式的积的形式；因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，即结果中的每一个因式都不能再分解． 5.判断的依据：看变形是否把和差的形式化为积的形式，并且左右两边恒等；如(x－2)(x＋3)＝x²＋x－6是整式的乘法，x²＋x－6＝(x－2)(x＋3)才是因式分解． 6.检验的方法：把因式分解的结果用整式的乘法乘回去，若与原整式恒等，则分解是正确的． 特别提醒：因式分解的对象是含多个项的整式，结果必须是积的形式；如a²－b²＋3＝(a＋b)(a－b)＋3的右边是积与一个数的和，不是积的形式，因此不是因式分解． 知识点02 提取公因式法 1.公因式：把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式，叫作这个整式各项的公因式．公因式可以是一个数、一个字母，也可以是一个整式． 2.提取公因式法：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而把这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法． 3.提取公因式法的依据：逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． 4.确定公因式的方法：系数取各项系数的最大公因数；字母取各项都含有的字母，并取相同字母的最低次幂． 5.提出公因式后的项数：括号里的项数与原整式的项数相同；当某一项恰好与公因式相等时，括号里应保留1，不能漏项． 6.首项系数为负的处理：当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数变为正数，同时括号内的各项都要改变符号． 特别提醒：公因式必须是每一项中都含有的因式；如果各项的系数都是整数，提取公因式时通常提取各项系数的最大公因数． 知识点03 公式法 1.公式法：根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法．平方差公式和完全平方公式就是两个常用的公式法． 2.平方差公式及其互逆变形：(a＋b)(a－b)＝a²－b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解，即a²－b²＝(a＋b)(a－b)． 3.平方差公式法的适用特征：两项；两项都能写成平方的形式；两项的符号相反． 4.完全平方公式及其互逆变形：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a－b)²＝a²－2ab＋b²；反过来a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²，a²－2ab＋b²＝(a－b)²． 5.完全平方公式法的适用特征：三项；首末两项都能写成平方的形式且符号为正；中间一项是两个底式乘积的2倍，符号由中间项决定． 6.公式中字母的广泛性：公式中的a、b既可以表示数、单项式，也可以表示多项式，如(x＋y)²＋8(x＋y)＋16＝(x＋y＋4)²． 7.因式分解的一般步骤：如果各项有公因式，先提取公因式；如果各项没有公因式，就尝试用公式法；若还不能分解，再考虑十字相乘或分组等方法． 特别提醒：当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，再看它是否符合公式的特征；如3x³－12x＝3x(x²－4)＝3x(x＋2)(x－2)，要注意分解彻底． 知识点04 十字相乘法与分组分解法 1.二次三项式：形如x²＋px＋q（二次项系数为1）的整式叫做关于x的二次三项式． 2.十字相乘法：如果二次三项式x²＋px＋q的常数项q能分解成两个因数a与b的积，且a与b的和恰好等于一次项系数p，那么x²＋px＋q＝x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法． 3.十字相乘法的关键：常数项的因数分解往往有多种情况，选择的关键是判断哪两个因数的和恰好等于一次项系数p；可以用“竖分常数交叉验，横写因式不能乱”来检验． 4.二次项系数不为1的情形：可以按“看两端、凑中间”的思路分解，即把二次项系数与常数项分别分解成两个因数之积，再按斜线交叉相乘求和，使和等于一次项系数． 5.分组分解法：当一个整式不能直接运用提取公因式法和公式法分解时，可以把这个整式先分成几组，对各组分别分解，再对整体作因式分解，这种方法叫作分组分解法． 6.分组分解的思路：四项常按“二项、二项”分组，如ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)；也可以分组后用公式，如x²－4xy＋4y²－4＝(x－2y)²－2²＝(x－2y＋2)(x－2y－2)． 7.添项、拆项法：把整式的某一项拆开，或添上互为相反数的两项（或几项），使原式便于用提取公因式法、公式法或分组分解法分解，变形时必须在与原整式相等的原则下进行． 特别提醒：分组分解只是手段，分组后仍要继续分解，直到每个因式都不能再分解为止；分解的结果必须化成最简的积的形式． 考点01 因式分解的意义与判断 考点内容：因式分解的概念；因式分解与整式乘法的互逆关系；判断一个变形是否为因式分解． 常见考法： ①判断一组等式从左到右的变形是不是因式分解（看右边是不是几个整式的积，且左右两边恒等）； ②指出因式分解与整式乘法的互逆关系，说明哪一个变形是整式的乘法、哪一个是因式分解； ③判断因式分解的结果是否分解彻底，指出还需继续分解的因式． 易错提醒：因式分解的结果必须是积的形式，且每个因式都是整式；右边是积与一个数的和的变形（如a²－b²＋3＝(a＋b)(a－b)＋3）不是因式分解． 考点02 提取公因式法 考点内容：公因式的概念与确定方法；提取公因式法；提公因式时符号与项数的处理． 常见考法： ①确定一个整式各项的公因式，并说明公因式是数、字母还是整式； ②用提取公因式法因式分解，注意不要漏掉系数中的最大公因数，也不要漏项； ③首项系数为负时，先提出“－”号并使括号内首项的系数为正； ④公因式是多项式的整式因式分解，如a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)、x(a－b)²－y(b－a)³＝(a－b)²(x＋ay－by)． 易错提醒：提出公因式后括号里的项数与原整式的项数相同；某一项恰好是公因式时，括号里应保留“1”，不能漏项． 考点03 公式法——平方差公式 考点内容：平方差公式的互逆变形；平方差公式法的适用特征；用平方差公式因式分解． 常见考法： ①辨认二项式是否符合平方差公式的特征（两项、都能写成平方的形式、符号相反）； ②直接用平方差公式因式分解，注意公式中的a、b可以是单项式或多项式； ③先提取公因式再用平方差公式，如3x³－12x＝3x(x＋2)(x－2)； ④连续使用平方差公式，如x⁴－81＝(x²＋9)(x²－9)＝(x²＋9)(x＋3)(x－3)． 易错提醒：平方差公式分解的是两项之差，且两项都能写成平方的形式；x²＋y²不能写成平方差的形式，不能用平方差公式分解． 考点04 公式法——完全平方公式 考点内容：完全平方公式的互逆变形；完全平方公式法的适用特征；用完全平方公式因式分解． 常见考法： ①辨认三项式是否符合完全平方公式的特征（首末两项为平方且符号为正、中间项是两个底式乘积的2倍）； ②由中间项的符号选择两数和的平方或两数差的平方，如9x²－12x＋4＝(3x－2)²； ③先提取公因式再用完全平方公式，如2ax²－12axy＋18ay²＝2a(x－3y)²； ④把某个整体看作公式中的字母，如(x＋y)²＋8(x＋y)＋16＝(x＋y＋4)²． 易错提醒：首末两项必须都能写成平方的形式且符号为正；首项系数为负时应先提出“－”号再套用公式，如－a²＋4ab－4b²＝－(a－2b)²． 考点05 十字相乘法与分组分解 考点内容：二次三项式的十字相乘法；分组分解法；因式分解的一般步骤与综合应用． 常见考法： ①用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，如x²＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)； ②常数项或一次项系数为负时的因数选择（如x²－8x＋12、x²＋4x－12），需逐组检验两个因数之和； ③二次三项式中含两个字母时的十字相乘，如x²＋6xy＋8y²＝(x＋2y)(x＋4y)； ④用分组分解法分解四项式，如ab－ac＋b－c与x²－4xy＋4y²－4； ⑤按“一提、二套、三十字相乘或分组”的步骤综合分解，并检验结果是否彻底． 易错提醒：常数项的因数分解有多种情况，必须逐组检验两个因数之和是否等于一次项系数；分解结果要写成积的形式，并且分解彻底． 1 因式分解的基本方法 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 提取公因式法 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 公因式是各项都含有的公共因式；提出后括号里的项数与原整式相同 2 平方差公式法 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 两项、都能写成平方的形式、符号相反，才能用平方差公式分解 3 完全平方公式法 a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²；a²－2ab＋b²＝(a－b)² 首末两项为平方且符号为正，中间项是两个底式乘积的2倍 2 二次三项式的分解与检验 序号 名称 公式（几何语言） 说明 4 十字相乘法 x²＋px＋q＝x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) 把常数项q分解成a与b的积，且a＋b＝p；适用于二次项系数为1的二次三项式 5 分组分解法 ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝(x＋y)(a＋b) 先合理分组，使组内能提取公因式或用公式，再把整体化为积的形式 6 因式分解的检验 把分解的结果用整式乘法乘回去，看是否与原整式恒等 整式乘法与因式分解是互逆变形，乘回原式可以检验分解是否正确 辨析01 因式分解与整式乘法是互逆变形，不能混为一谈 整式的乘法是把几个整式的积化为一个多项式，如(x＋2)(x－3)＝x²－x－6；因式分解是把一个含多个项的整式化为几个整式的积，如x²－x－6＝(x＋2)(x－3)．两者的变形方向相反，是互逆的变形，因此因式分解的结果可以用整式的乘法来检验． 辨析02 因式分解的结果必须是积的形式 判断一个变形是不是因式分解，关键看结果是不是几个整式的积．如x²＋x－6＝(x－2)(x＋3)的右边是积的形式，是因式分解；而a²－b²＋3＝(a＋b)(a－b)＋3的右边是积与一个数的和，不是积的形式，因此不是因式分解． 辨析03 因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止．如x⁴－81＝(x²＋9)(x²－9)还没有分解彻底，因为x²－9还能继续分解，应写成(x²＋9)(x＋3)(x－3)；同样地，3x³－12x应先提取公因式，再把x²－4用平方差公式分解，得3x(x＋2)(x－2)． 辨析04 确定公因式时，系数取最大公因数，字母取最低次幂 公因式是各项都含有的公共因式．确定时，系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母并取相同字母的最低次幂．如8x²y＋4xy²－12xy的各项系数的最大公因数是4，字母部分取xy，所以公因式是4xy，分解得4xy(2x＋y－3)． 辨析05 提出公因式后括号里的项数与原整式相同，不要漏项 提出公因式就是把每一项都除以公因式，所以括号里的项数与原整式的项数相同．当某一项恰好等于公因式时，括号里应保留“1”，如ma＋m＝m(a＋1)，不能写成m(a)．漏项是提取公因式法中最常见的错误． 辨析06 首项系数为负时，先提出“－”号，括号内各项都要变号 当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号使括号内第一项的系数为正，这时括号里的各项都要改变符号．如－4x²y＋6xy²－2xy＝－2xy(2x－3y＋1)．只改变部分项的符号是常见错误． 辨析07 平方差公式分解的是两项之差，且两项都能写成平方的形式 a²－b²＝(a＋b)(a－b)中被分解的整式是两项之差，且两项都能写成平方的形式．x²＋y²是两项之和，不能用平方差公式分解；公式中的a、b既可以是数或单项式，也可以是多项式，如(a＋b)²－(a＋c)²＝(2a＋b＋c)(b－c)． 辨析08 完全平方公式要求首末两项都能写成平方且符号为正 能用完全平方公式分解的三项式必须满足：首末两项都能写成平方的形式且符号为正，中间一项是两个底式乘积的2倍．如－a²＋4ab－4b²应先提出“－”号，化为－(a²－4ab＋4b²)＝－(a－2b)²；而a²＋ab＋b²的中间项不是两个底式乘积的2倍，不能用完全平方公式分解． 【题型一】因式分解的意义 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得到答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 【变式1-2】对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【题型二】 确定公因式 【例2】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．最大公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项共有的，字母指数取最小的，据此判断即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 【变式2-1】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 【变式2-2】多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式把两个多项式分解因式，然后找出公因式即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：A． 【变式2-3】将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 【题型三】用提公因式法分解因式 【例3】（26-27八年级上·海南·期中）分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察式子的两项，找到具有相关性的因式和，因为，所以可以将两项的公因式统一为相同形式．提取公因式，根据提公因式法的规则，将两项中相同的公因式整体提出，剩余部分放在括号内整理．对照选项匹配整理后的结果． 【详解】解： 【变式3-1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式． （1）直接提公因式分解即可； （2）直接提公因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式3-2】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 【题型四】 判断能否用公式法分解因式 【例4】下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 【变式4-1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 【变式4-2】下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 【变式4-3】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 【题型五】用平方差法分解因式 【例5】下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反． 【详解】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意； B、-a2+b2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，符合题意； C、-a2-b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意． D、-a2-4b中，b不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． 【变式5-1】要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意； B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【【变式5-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）运用平方差公式进行分解即可； （2）运用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型六】 用完全平方公式分解因式 【例6】因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 【变式6-1】因式分解：______ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】因式分解． (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七】 用十字相乘法分解因式 【例7】（24-25八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解．利用十字相乘法分解因式即可得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 【变式7-1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 【变式7-2】根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-3】阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【详解】（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 【题型八】用分组分解法分解因式 【例8】用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 【变式8-3】阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； （3）解：原式 ． 【题型九】 利用因式分解求值 【例9】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式9-1】先因式分解，再计算求值：．其中，． 【答案】， 【分析】提出公因式，化简代数式，再把代入因式分解后的式子计算结果． 【详解】解： 把，代入得：原式． 【变式9-2】先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后代入和的值计算即可得到结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式9-3】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】将进行因式分解，然后把代入即可求解； 将变形为，然后把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十】 利用因式分解求等式中待定字母的值 【例10】若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 【变式10-1】已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 【变式10-2】若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，． ． ． ，，． ，． ． 故选：A 【题型十一】因式分解与看错问题 【例11】甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据甲分解的结果求出，根据乙分解的结果求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提． 【变式1-11】小华和小军两人共同计算一道整式乘法题：，由于小华抄错了a的符号、得到的结果为；由于小军漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式运算及二元一次方程组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．由题意得出方程组，解出方程组即可求出答案． 【详解】解：小华抄错了a的符号，得到的结果为， ， ①，同理小军漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，， ②， 联立①②可得， 解得， 故选A． 、 【变式11-2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）因式分解： (1)． (2)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）根据看错的项确定原多项式的各项正确系数，得到原多项式后分解因式； 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵看错一次项系数时，二次项系数与常数项正确， ∴原多项式的二次项为，常数项为， ， ∵看错常数项时，二次项系数与一次项系数正确， ∴原多项式的一次项为， ∴原多项式为， 将原多项式分解因式：． 【题型一】因式分解不彻底而致错 【例1】因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 易错警示 因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止．如x⁴－81先写成(x²＋9)(x²－9)后，还要把x²－9继续分解为(x＋3)(x－3)．做完后应逐一检查每个因式能否再分解． 【变式1-1】（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）下列各式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非因式分解的选项，再验证剩余选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，错误． 【变式1-2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型二】提取公因式时漏项或符号错误而致错 【例2】分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 易错警示 提出公因式后括号里的项数与原整式的项数相同，某一项恰好是公因式时括号里要保留“1”；首项系数为负时先提出“－”号，括号内各项都要变号． 【变式2-1】下列因式分解正确的是（　　） A．a2b﹣2ab＝a（ab﹣2b） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C． D．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） 【答案】D． 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：a2b﹣2ab＝ab（a﹣2），则A不符合题意； ﹣a2b+2ab＝﹣ab（a﹣2），则B不符合题意； abab2＝ab（1b），则C不符合题意； ﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b），则D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 【变式2-2】因式分解： （1）12x2y3﹣3x2y5； （2）（x﹣2）2﹣x+2． 【答案】（1）3x2y3（2+y）（2﹣y）； （2）（x﹣2）（x﹣3）． 【分析】（1）原式先提取公因式3x2y3，然后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式直接提取公因式（x﹣2）即可． 【详解】解：（1）12x2y3﹣3x2y5 ＝3x2y3×4﹣3x2y3×y2 ＝3x2y3（4﹣y2） ＝3x2y3（2+y）（2﹣y）； （2）（x﹣2）2﹣x+2 ＝（x﹣2）2﹣（x﹣2） ＝（x﹣2）[（x﹣2）﹣1] ＝（x﹣2）（x﹣3）． 【点睛】本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 【题型三】套用公式时结构特征判断错误而致错 【例3】【变式6-1】（2023秋•莱西市期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（　　） A．﹣a2+2ab﹣b2 B．m2+n2 C．﹣m2﹣n2 D．﹣a2b+ab2 【答案】A． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式的结构特征以及因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2，因此选项A符合题意； B．m2+n2，在实数范围内不能进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．﹣m2﹣n2＝﹣（m2+n2），在实数范围内不能进行因式分解，因此选项C不符合题意； D．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b），可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查公式法因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 易错警示 套用公式前必须先看结构：平方差公式要求两项都能写成平方的形式且符号相反；完全平方公式要求首末两项为平方且符号为正、中间一项是两个底式乘积的2倍．x²＋y²不能用平方差公式分解，a²＋ab＋b²不能用完全平方公式分解． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式3-2】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式，再用平方差继续分解； （2）先提公因式，再用平方差继续分解； （3）把当作整体，利用完全平方公式，之后继续平方差分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ， ， ． 【题型一】 因式分解的综合运用 【例1】将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用在括号前加负号括号内的项要逐一变号以及提取公因式分解即可； （2）利用两次平方差公式分解即可； （3）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （4）先提出公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， ． 【变式1-1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式后运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-2】把下列各式分解因式 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【详解】试题分析：（1）先提取公因式-xy即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）利用十字相乘法即可． （4）利用分组分解法． 试题解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 【题型二】利用分解因式进行简便计算 【例2】利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【答案】(1)280000； (2)40000 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-1】简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)31.4 (2)40000 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】观察下列因式分解的规律： ， ， ． (1)根据以上规律，分解因式：_____； (2)化简：； (3)直接写出结果：_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用题干的规律求解即可； （2）先对原式进行恒等变形，然后再计算即可； （3）先对各部分运用平方差公式分解，再分别计算，然后运用乘法交换律简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： …… ． （3）解： ． 【题型三】利用分解因式求最值 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【答案】11 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 【变式3-1】我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 【变式3-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）9；（4）最大值6 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）把变形为，得出，，然后进行求解即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （3）由得出，根据，是整数，得出，也是整数，求出的最小值为0，的最小值为1，根据S的最小值为2，得出，求出k的值即可； （4）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； （3） ， ，是整数， ，也是整数， ∴的最小值为0，的最小值为1， ∵S的最小值为2， ∴， 解得：； （4）∵， ，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 【变式3-3】阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)借助“配方法”因式分解：； (3)若，求M的最大值，并求出此时a的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时 【分析】（1）根据完全平方式的定义进行配方即可； （2）先根据进行配方，配成完全平方后，再利用平方差公式分解因式； （3）先对进行配方，再利用完全平方式的非负性进行分析即可解答． 【详解】（1）解： 添加常数为4． （2）解： （3）解： ， ， ． 的最大值是3，此时, 相应的a的值是． 【题型四】因式分解的应用 【例4】若为任意整数，则的值不一定能（     ） A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】C 【分析】把分解因式，结合三个相邻的整数一定有一个数能被3整除，且一定有一个数是偶数可得答案． 【详解】解：， ∵为任意整数， ∴和都是整数，且，，是三个相邻的整数， ∵三个相邻的整数一定有一个数能被3整除，且一定有一个数是偶数 ∴的值总能被3整除，且一定能被2整除， ∴的值总能被6整除， 当时，，此时不能被4整除． 【变式4-1】对于任意整数a，多项式都能(    ) A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式展开进行因式分解，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∴多项式都能被整除， 故选：C． 【变式4-2】阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)128160 (2)282114 【分析】（1）将，分别代入，，计算，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式，然后把代入分解好的式子计算，最后按从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：当时，，，，将128，16，0这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码是128160； （2）， 当时，，，，将28，21，14这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码为282114． 【变式4-3】先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，利用整体思想求解是解题的关键． （1）设，则原式，据此可得答案； （2）设，则可推出，即，根据偶次方的非负性求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式， 将代入，得原式； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴该长方形的周长． 【题型一】利用因式分解判断三角形的形状 【例1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状 是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系，先整理原式得，再根据三角形三边关系，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（，故，舍去） ∴， ∴此三角形的形状是等腰三角形． 故选：A． 【变式1-1】【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 【变式1-2】综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 【题型二】 因式分解在新定义问题中的运用 【例2】（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 【变式2-1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如 意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c； （2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明； （3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可. 【详解】解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将化为是解决此问的关键. 【变式2-2】阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“如意数”c； (2)已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【答案】(1)-1 (2)b＝x2+2 【分析】（1）利用“如意数”的定义可直接求得； （2）利用“如意数”的定义表示出，把与的值代入即可． 【详解】（1）解：由“如意数”的定义可得， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新概念“如意数”为背景，涉及因式分解，解题的关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答． 【题型三】 因式分解在阅读理解中的应用 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 【变式3-1】阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， ∴ ． 【变式3-2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值． （3）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ∴， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：∵二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （3）解：二次三项式有一个因式是，a是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 【变式3-3】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 技巧 一句话要点 因式分解的步骤——“一提、二套、三十字相乘或分组” 先看各项有没有公因式，有就先提取；再尝试用公式法；仍不能分解时考虑十字相乘或分组． 判断是否是因式分解——“一看形式，二看恒等” 先看右边是不是几个整式的积，再看左右两边是否恒等，两个条件缺一不可． 确定公因式——“系数取最大公因数，字母取最低次幂” 公因式的系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母及其最低次幂． 提取公因式——“不漏项、不漏1” 提出公因式后括号里的项数与原整式的项数相同；某一项恰好是公因式时，括号里要保留“1”． 首项系数为负——“先提负号，各项变号” 先把“－”号提到括号外，使括号内首项的系数为正，同时括号内各项都要变号． 平方差公式——“两项平方差，底数和乘底数差” 两项都能写成平方的形式且符号相反时，用a²－b²＝(a＋b)(a－b)；x²＋y²不能用平方差公式分解． 完全平方公式——“首末平方、中间两倍，符号看中间” 首末两项为平方且符号为正，中间一项是两个底式乘积的2倍；中间项为正取“和”，为负取“差”． 十字相乘法——“竖分常数交叉验，横写因式不能乱” 把常数项分解成两个因数的积，检验两个因数之和是否等于一次项系数，再横着写出两个因式． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 因式分解的意义 1.因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的 ；把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的 ，叫作把这个整式因式分解． 2.因式：如x²＋x＝x(x＋1)中，x、x＋1都是x²＋x的因式；x⁴－1＝(x²＋1)(x²－1)＝(x²＋1)(x＋1)(x－1)中，x²＋1、x＋1、x－1都是x⁴－1的因式． 3.因式分解与整式乘法的关系：整式的乘法是把几个整式的积化为一个多项式，因式分解是把一个含多个项的整式化为几个整式的积，两者是 的变形． 4.因式分解的结果：结果必须是几个 的积的形式；因式分解一般要分解到每个因式都 为止，即结果中的每一个因式都不能再分解． 5.判断的依据：看变形是否把和差的形式化为 的形式，并且左右两边恒等；如(x－2)(x＋3)＝x²＋x－6是整式的乘法，x²＋x－6＝(x－2)(x＋3)才是因式分解． 6.检验的方法：把因式分解的结果用整式的乘法 ，若与原整式恒等，则分解是正确的． 知识点02 提取公因式法 1.公因式：把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式，叫作这个整式各项的 ．公因式可以是一个数、一个字母，也可以是一个 ． 2.提取公因式法：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而把这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作 ． 3.提取公因式法的依据：逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc＝ ． 4.确定公因式的方法：系数取各项系数的 ；字母取各项都含有的字母，并取相同字母的最 次幂． 5.提出公因式后的项数：括号里的项数与原整式的项数 ；当某一项恰好与公因式相等时，括号里应保留 ，不能漏项． 6.首项系数为负的处理：当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数变为 ，同时括号内的各项都要 ． 知识点03 公式法 1.公式法：根据常用的 将整式因式分解的方法叫作公式法．平方差公式和完全平方公式就是两个常用的公式法． 2.平方差公式及其互逆变形：(a＋b)(a－b)＝a²－b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解，即a²－b²＝ ． 3.平方差公式法的适用特征：两项；两项都能写成 的形式；两项的符号相反． 4.完全平方公式及其互逆变形：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a－b)²＝a²－2ab＋b²；反过来a²＋2ab＋b²＝ ，a²－2ab＋b²＝ ． 5.完全平方公式法的适用特征：三项；首末两项都能写成平方的形式且符号为 ；中间一项是两个底式乘积的2倍，符号由中间项决定． 6.公式中字母的广泛性：公式中的a、b既可以表示数、单项式，也可以表示 ，如(x＋y)²＋8(x＋y)＋16＝(x＋y＋4)²． 7.因式分解的一般步骤：如果各项有公因式，先提取公因式；如果各项没有公因式，就尝试用公式法；若还不能分解，再考虑十字相乘或分组等方法． 知识点04 十字相乘法与分组分解法 1.二次三项式：形如x²＋px＋q（二次项系数为1）的整式叫做关于x的二次三项式． 2.十字相乘法：如果二次三项式x²＋px＋q的常数项q能分解成两个因数a与b的积，且a与b的和恰好等于一次项系数p，那么x²＋px＋q＝x²＋(a＋b)x＋ab＝ ．像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法． 3.十字相乘法的关键：常数项的因数分解往往有多种情况，选择的关键是判断哪两个因数 的 恰好等于一次项系数p；可以用“竖分常数交叉验，横写因式不能乱”来检验． 4.二次项系数不为1的情形：可以按“看两端、凑中间”的思路分解，即把二次项系数与常数项分别分解成两个因数之积，再按斜线交叉相乘求和，使和等于一次项系数． 5.分组分解法：当一个整式不能直接运用提取公因式法和公式法分解时，可以把这个整式先分成几组，对各组分别分解，再对整体作因式分解，这种方法叫作 ． 6.分组分解的思路：四项常按“二项、二项”分组，如ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝ ；也可以分组后用公式，如x²－4xy＋4y²－4＝(x－2y)²－2²＝ ． 7.添项、拆项法：把整式的某一项拆开，或添上互为相反数的两项（或几项），使原式便于用提取公因式法、公式法或分组分解法分解，变形时必须在与原整式相等的原则下进行． 考点01 因式分解的意义与判断 考点内容：因式分解的概念；因式分解与整式乘法的互逆关系；判断一个变形是否为因式分解． ①判断一组等式从左到右的变形是不是因式分解（看右边是不是几个整式的积，且左右两边恒等）； ②指出因式分解与整式乘法的互逆关系，说明哪一个变形是整式的乘法、哪一个是因式分解； ③判断因式分解的结果是否分解彻底，指出还需继续分解的因式． 易错提醒：因式分解的结果必须是积的形式，且每个因式都是整式；右边是积与一个数的和的变形（如a²－b²＋3＝(a＋b)(a－b)＋3）不是因式分解． 考点02 提取公因式法 考点内容：公因式的概念与确定方法；提取公因式法；提公因式时符号与项数的处理． ①确定一个整式各项的公因式，并说明公因式是数、字母还是整式； ②用提取公因式法因式分解，注意不要漏掉系数中的最大公因数，也不要漏项； ③首项系数为负时，先提出“－”号并使括号内首项的系数为正； ④公因式是多项式的整式因式分解，如a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)、x(a－b)²－y(b－a)³＝(a－b)²(x＋ay－by)． 易错提醒：提出公因式后括号里的项数与原整式的项数相同；某一项恰好是公因式时，括号里应保留“1”，不能漏项． 考点03 公式法——平方差公式 考点内容：平方差公式的互逆变形；平方差公式法的适用特征；用平方差公式因式分解． ①辨认二项式是否符合平方差公式的特征（两项、都能写成平方的形式、符号相反）； ②直接用平方差公式因式分解，注意公式中的a、b可以是单项式或多项式； ③先提取公因式再用平方差公式，如3x³－12x＝3x(x＋2)(x－2)； ④连续使用平方差公式，如x⁴－81＝(x²＋9)(x²－9)＝(x²＋9)(x＋3)(x－3)． 易错提醒：平方差公式分解的是两项之差，且两项都能写成平方的形式；x²＋y²不能写成平方差的形式，不能用平方差公式分解． 考点04 公式法——完全平方公式 考点内容：完全平方公式的互逆变形；完全平方公式法的适用特征；用完全平方公式因式分解． ①辨认三项式是否符合完全平方公式的特征（首末两项为平方且符号为正、中间项是两个底式乘积的2倍）； ②由中间项的符号选择两数和的平方或两数差的平方，如9x²－12x＋4＝(3x－2)²； ③先提取公因式再用完全平方公式，如2ax²－12axy＋18ay²＝2a(x－3y)²； ④把某个整体看作公式中的字母，如(x＋y)²＋8(x＋y)＋16＝(x＋y＋4)²． 易错提醒：首末两项必须都能写成平方的形式且符号为正；首项系数为负时应先提出“－”号再套用公式，如－a²＋4ab－4b²＝－(a－2b)²． 考点05 十字相乘法与分组分解 考点内容：二次三项式的十字相乘法；分组分解法；因式分解的一般步骤与综合应用． ①用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，如x²＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)； ②常数项或一次项系数为负时的因数选择（如x²－8x＋12、x²＋4x－12），需逐组检验两个因数之和； ③二次三项式中含两个字母时的十字相乘，如x²＋6xy＋8y²＝(x＋2y)(x＋4y)； ④用分组分解法分解四项式，如ab－ac＋b－c与x²－4xy＋4y²－4； ⑤按“一提、二套、三十字相乘或分组”的步骤综合分解，并检验结果是否彻底． 易错提醒：常数项的因数分解有多种情况，必须逐组检验两个因数之和是否等于一次项系数；分解结果要写成积的形式，并且分解彻底． 1 因式分解的基本方法 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 提取公因式法 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 公因式是各项都含有的公共因式；提出后括号里的项数与原整式相同 2 平方差公式法 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 两项、都能写成平方的形式、符号相反，才能用平方差公式分解 3 完全平方公式法 a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²；a²－2ab＋b²＝(a－b)² 首末两项为平方且符号为正，中间项是两个底式乘积的2倍 2 二次三项式的分解与检验 序号 名称 公式（几何语言） 说明 4 十字相乘法 x²＋px＋q＝x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) 把常数项q分解成a与b的积，且a＋b＝p；适用于二次项系数为1的二次三项式 5 分组分解法 ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝(x＋y)(a＋b) 先合理分组，使组内能提取公因式或用公式，再把整体化为积的形式 6 因式分解的检验 把分解的结果用整式乘法乘回去，看是否与原整式恒等 整式乘法与因式分解是互逆变形，乘回原式可以检验分解是否正确 辨析01 因式分解与整式乘法是互逆变形，不能混为一谈 整式的乘法是把几个整式的积化为一个多项式，如(x＋2)(x－3)＝x²－x－6；因式分解是把一个含多个项的整式化为几个整式的积，如x²－x－6＝(x＋2)(x－3)．两者的变形方向相反，是互逆的变形，因此因式分解的结果可以用整式的乘法来检验． 辨析02 因式分解的结果必须是积的形式 判断一个变形是不是因式分解，关键看结果是不是几个整式的积．如x²＋x－6＝(x－2)(x＋3)的右边是积的形式，是因式分解；而a²－b²＋3＝(a＋b)(a－b)＋3的右边是积与一个数的和，不是积的形式，因此不是因式分解． 辨析03 因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止．如x⁴－81＝(x²＋9)(x²－9)还没有分解彻底，因为x²－9还能继续分解，应写成(x²＋9)(x＋3)(x－3)；同样地，3x³－12x应先提取公因式，再把x²－4用平方差公式分解，得3x(x＋2)(x－2)． 辨析04 确定公因式时，系数取最大公因数，字母取最低次幂 公因式是各项都含有的公共因式．确定时，系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母并取相同字母的最低次幂．如8x²y＋4xy²－12xy的各项系数的最大公因数是4，字母部分取xy，所以公因式是4xy，分解得4xy(2x＋y－3)． 辨析05 提出公因式后括号里的项数与原整式相同，不要漏项 提出公因式就是把每一项都除以公因式，所以括号里的项数与原整式的项数相同．当某一项恰好等于公因式时，括号里应保留“1”，如ma＋m＝m(a＋1)，不能写成m(a)．漏项是提取公因式法中最常见的错误． 辨析06 首项系数为负时，先提出“－”号，括号内各项都要变号 当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号使括号内第一项的系数为正，这时括号里的各项都要改变符号．如－4x²y＋6xy²－2xy＝－2xy(2x－3y＋1)．只改变部分项的符号是常见错误． 辨析07 平方差公式分解的是两项之差，且两项都能写成平方的形式 a²－b²＝(a＋b)(a－b)中被分解的整式是两项之差，且两项都能写成平方的形式．x²＋y²是两项之和，不能用平方差公式分解；公式中的a、b既可以是数或单项式，也可以是多项式，如(a＋b)²－(a＋c)²＝(2a＋b＋c)(b－c)． 辨析08 完全平方公式要求首末两项都能写成平方且符号为正 能用完全平方公式分解的三项式必须满足：首末两项都能写成平方的形式且符号为正，中间一项是两个底式乘积的2倍．如－a²＋4ab－4b²应先提出“－”号，化为－(a²－4ab＋4b²)＝－(a－2b)²；而a²＋ab＋b²的中间项不是两个底式乘积的2倍，不能用完全平方公式分解． 【题型一】因式分解的意义 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【题型二】 确定公因式 【例2】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型三】用提公因式法分解因式 【例3】（26-27八年级上·海南·期中）分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】分解因式： (1) (2) 【变式3-2】分解因式： (1) (2) 【题型四】 判断能否用公式法分解因式 【例4】下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【题型五】用平方差法分解因式 【例5】下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【【变式5-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【题型六】 用完全平方公式分解因式 【例6】因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】因式分解：______ 【变式6-2】因式分解． (1)． (2) 【题型七】 用十字相乘法分解因式 【例7】（24-25八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式7-2】根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【变式7-3】阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【题型八】用分组分解法分解因式 【例8】用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【变式8-2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【变式8-3】阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 【题型九】 利用因式分解求值 【例9】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【变式9-1】先因式分解，再计算求值：．其中，． 【变式9-2】先因式分解，再求值：，其中，． 【变式9-3】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型十】 利用因式分解求等式中待定字母的值 【例10】若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【变式10-1】已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-2】若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 【题型十一】因式分解与看错问题 【例11】甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1-11】小华和小军两人共同计算一道整式乘法题：，由于小华抄错了a的符号、得到的结果为；由于小军漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）因式分解： (1)． (2)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【题型一】因式分解不彻底而致错 【例1】因式分解： (1) (2)． 易错警示 因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止．如x⁴－81先写成(x²＋9)(x²－9)后，还要把x²－9继续分解为(x＋3)(x－3)．做完后应逐一检查每个因式能否再分解． 【变式1-1】（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）下列各式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【题型二】提取公因式时漏项或符号错误而致错 【例2】分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 易错警示 提出公因式后括号里的项数与原整式的项数相同，某一项恰好是公因式时括号里要保留“1”；首项系数为负时先提出“－”号，括号内各项都要变号． 【变式2-1】下列因式分解正确的是（　　） A．a2b﹣2ab＝a（ab﹣2b） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C． D．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） 【变式2-2】因式分解： （1）12x2y3﹣3x2y5； （2）（x﹣2）2﹣x+2． 【题型三】套用公式时结构特征判断错误而致错 【例3】【变式6-1】（2023秋•莱西市期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（　　） A．﹣a2+2ab﹣b2 B．m2+n2 C．﹣m2﹣n2 D．﹣a2b+ab2 易错警示 套用公式前必须先看结构：平方差公式要求两项都能写成平方的形式且符号相反；完全平方公式要求首末两项为平方且符号为正、中间一项是两个底式乘积的2倍．x²＋y²不能用平方差公式分解，a²＋ab＋b²不能用完全平方公式分解． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型一】 因式分解的综合运用 【例1】将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】因式分解： (1)； (2)． 【变式1-2】把下列各式分解因式 （1） （2） （3） （4） 【题型二】利用分解因式进行简便计算 【例2】利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【变式2-1】简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2-2】）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【变式2-3】观察下列因式分解的规律： ， ， ． (1)根据以上规律，分解因式：_____； (2)化简：； (3)直接写出结果：_____． 【题型三】利用分解因式求最值 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【变式3-1】我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【变式3-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 【变式3-3】阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)借助“配方法”因式分解：； (3)若，求M的最大值，并求出此时a的值． 【题型四】因式分解的应用 【例4】若为任意整数，则的值不一定能（     ） A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【变式4-1】对于任意整数a，多项式都能(    ) A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【变式4-2】阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 【变式4-3】先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【题型一】利用因式分解判断三角形的形状 【例1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状 是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【变式1-2】综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型二】 因式分解在新定义问题中的运用 【例2】（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【变式2-1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如 意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【变式2-2】阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“如意数”c； (2)已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【题型三】 因式分解在阅读理解中的应用 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【变式3-1】阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【变式3-2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 【变式3-3】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 技巧 一句话要点 因式分解的步骤——“一提、二套、三十字相乘或分组” 先看各项有没有公因式，有就先提取；再尝试用公式法；仍不能分解时考虑十字相乘或分组． 判断是否是因式分解——“一看形式，二看恒等” 先看右边是不是几个整式的积，再看左右两边是否恒等，两个条件缺一不可． 确定公因式——“系数取最大公因数，字母取最低次幂” 公因式的系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母及其最低次幂． 提取公因式——“不漏项、不漏1” 提出公因式后括号里的项数与原整式的项数相同；某一项恰好是公因式时，括号里要保留“1”． 首项系数为负——“先提负号，各项变号” 先把“－”号提到括号外，使括号内首项的系数为正，同时括号内各项都要变号． 平方差公式——“两项平方差，底数和乘底数差” 两项都能写成平方的形式且符号相反时，用a²－b²＝(a＋b)(a－b)；x²＋y²不能用平方差公式分解． 完全平方公式——“首末平方、中间两倍，符号看中间” 首末两项为平方且符号为正，中间一项是两个底式乘积的2倍；中间项为正取“和”，为负取“差”． 十字相乘法——“竖分常数交叉验，横写因式不能乱” 把常数项分解成两个因数的积，检验两个因数之和是否等于一次项系数，再横着写出两个因式． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $