莆田二中2026-2027学年高三上学期数学第一次综合训练

2026-2027学年上学期高三数学学科第一次综合训练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={纠2x-3x-2<.B-1=2x写》 则A∩B=( B.[-12) C.(-2,] D.1. 2.已知a,BeR,则“sima=cosp”是“a-f=”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设0〔引，若+-,则m2+到( 4 A.72 B.V② C.-72 D.- 10 10 10 10 4已知a=6gc安则aA:的大本为（ 2 A.b>c>a B.azb>c C.b>a>c D.c>b>a 5.二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳 浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有0.4%的二氧化碳，若 开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以 用函数y=0.05+e而(2∈R)描述.则教室内的二氧化碳浓度降到0.1%需要至少多少整数 分钟（参考：ln7≈1.946）() A.21 B.20 C.19 D.18 6.已知定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b,若f(x+1)为奇函数，且 f2)+)-6,则的值为( C. 5 D.2 7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)-f(x)>0,f(2026)=e2026, 则不等式/小派的解集为( ) A.(0,e2026) B.(0,e6078) C.(e2026,+oo) D.(e6078,+o) 试卷第1页，共4页 8.已知函数f)=2sin(ox+p)-1o>0)的最小正周期大于受，若存在唯一的p0,买）， 使得/合-0，则心的取值范国是() A.[1,2) B.(0,2) C.(0,2]U[3,4)D.(0,1]U[2,4) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设x>0,y>0,则下列结论正确的是( A.若m>0,则<+ B.若x<y,则x3+nx<y+ny v y+ml 的最小值为 C. D.若+=2，则中的最小值为1 10.已知函数f(y)=4sm(wx+A>0,w>0,纠←<的部分图象如图所示，则下列说法中 正确的有( A.p= 6 B.点石0是心)图象的一个对称中心 C.(w的图象可由函数y=2smx的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原 来的，倍（纵坐标不变）得到 D.若f)=f),则=5+k或+名-石(ez列 业.关于函数心)=nx+子，下列判南断正确的是( A.x=2是f(x)的极小值点 B.函数y=f()-x有且只有1个零点 C.存在正实数k,使得f(x)>x恒成立 D.对任意两个正实数x,x,且x>为，若f)=fx),则x+x>4 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知函数f(x)=x-V2sinx,x∈[0，元]，则f(y)的最小值为 13.厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆， 并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔A塔的高度， 他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖 仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°.则A塔高度约为 米.（精确到个位） 参考数据：sin4°≈0.07，sin33.1°≈0.55，sin63.7°≈0.90，sin79.2°≈0.98. 14.已知函数f(x)= 4x2+2,x2a, e2x 若存在实数b,使得关于x的方程∫(x)=b.x恰有四 x3-4x,x<a 个不同的实数根，则实数a的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 (b+c)cos4-acosB-acosC=0. (1)求∠BAC; 2)若D为线段BC延长线上一点，且∠C4D=, BD=3CD,求tan∠ACB. 16.(本题满分15分)设f)=-aosr,0引 (1)若a=1,求f(x)的值域： (2)若f(x)存在极值点，求实数a的取值范围， 试卷第3页，共4页 17。(本题满分15分)已知了)=m万-，其中m-com》, i=smx+智sm2x》 xER. (1)求f(x)的单调递增区间： ②)求fe在-晋上的值域： (3)将函数∫(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x) 的图象，若g-写x+习22对任意的x[ 2’6 恒成立，求a的取值， 18.（本题满分17分)在三棱锥P-ABC中，AB=AC=CP=1,AB1AC,∠PCA=120°. (1)若平面PAC⊥平面ABC, ①证明：PC⊥AB. ②三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上，求直线AO与平面ABC所成角的正弦值 (2)若二面角A-CP-B的正切值为√2，求BP的长. 19.（本题满分17分)已知函数f(x)=nx-x2. (I)若直线y=ax(aeR)是曲线y=f(x)的切线，求a的值； (2)令8(x)=f(x)-am(a∈R). ①若x,x是8(x)的两个极值点，当a=1时，求+x的值： ②设曲线y=g(x)在x=处的切线为1，若直线1上的点都不在8(x)图象的下方，求，的 取值范围。 试卷第4页，共4页 2026-2027学年上学期高三数学学科第一次综合训练参考答案 一、单选题 1.【详解1因为2-3x-2<0e(2x+1x-2)<0,所以7x<2,则4（号2习： 因为ym2x}[1,所以2[1， 因此AOB= 11,故选：A 、2' 2.【详解】因为如a-o6=an经丹所以a-号P+2流或a+经-2m 所以a+B=+2m,或者&-B=+2km, 2 故“sina=cosB”是“a-B=匹”的必要不充分条件.故选：B tan日，所以sie+cos65 sin20+cos2e 1 5 3.【详解】因为tam0+1=, cose sn92,所以sim6cos0 m202,所以血20-，又 0e0)所以290》所以os20-看-m20 5 血9oo9m于9：525黄造：A 所以sim20+ 14525^210 4【详解】a-血-早，6=六铝，设-竖， 24 2x 1.2x-2nx1-lnx,由f'(c)=0得x=e,所以当xe(0,e)时，f"(x)>0,f(e)单调递增，当 则f'(w)=x (2x2 2x2 x∈(e,+w)时，f'(x<0,f(x)单调递减.所以a=f(2)<f(e)=c,b=f(3)<f(e)=c,又因为 a=h2_n8n9_h3=b,所以c>b>a.故选：D 412126 5.【详解】依题意，t=0时，y=0.4,则得0.05+e°=0.4，解得2=0.35，则y=0.05+0.35e而， 由y=01,可得035e0=0.05,即e市=， 两边取自然对数，名-h片h7,故：=10血7=1946。 故降至0.1%需要至少20分钟.故选：B. 6.【详解】已知f(x)是定义在R上的偶函数，故f(-x)=f(x) 又f(x+I)是奇函数，对任意x∈R有f(-x+1)=-f(x+1), 且g(x)=f(x+1)在x=0处有定义，故g(0)=f①)=0. 将f(-x+1)=-f(x+1)中的x替换为x-1,得f(-x+2)=-f(x), 结合偶函数性质f(-x+2)=f(x-2),故f(x-2)=-f(x). 答案第1页，共10页 再将x替换为x+2,得f(x)=-f(x+2),进一步得f(x+4)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数：当x∈[l,2]时，f(x)=ax2+b, 所以f(5)=f(1+4)=f()=a+b=0, 又因为f(2)+f(5)=6,所以f(2)=4a+b=6,解得a=2,b=-2, 由周期性得 g4)2. 代入解析式： 【解】设函数)=型，则Fr)=e-e))-包， (e) e 因为"(x)-f(x)>0,所以F'(x)>0在R上恒成立. 所以)-巴在R上单调通增， 又f(2026)=e20o26,所以F(2026)=102=1 设lnx=t→R=e,又x>0,所以>0. 由了26板-1，即9=9<1=Re20, 所以t<2026,即2mx<2026→0<x<e6078.故选：B 8【详1由7->号0<<4,由合)-0m后+小 02 12 1 故要使sin 6 又因为存在唯一的p∈ 满足条件， π 所以 12 6 o、元 或 6-12 6 再结合0<0<4，解得0∈(0,1U[2,4).故选：D 3π5π .3π、5π -0+ -0+ 612 4-6 12 46 答案第2页，共10页 二、多选题 9.【详解】对A,因为x>y>0,m>0,所以y(y+m)>0,y-x<0, 所以+弘-+m)+m）m60,所以5>+” 错误； v+m y yy+）yy+m) 对B,因为y>x>0,且函数y=lnx,y=x均为增函数， 所以y>x,ny>nx,所以y+ny>x3+x,正确： 对C,因为x,y>0,所以x+y≥2y, xV 所以x+3y+y≤2+3w5,当且仅当x=y时等号成立， 所以+3河，的提大值为当时，+行兮 xV 1 所以不是子+了的最小值，错误 对D,因为x,y>0,x+y=2,所以x+1+y+1=4, 所以女女日0切 y+1-x+1 当且仅当x+1y+1,即x=y=1时等号成立，正确故选：BD x+y=2 10.【详解】由图可知：4-2,7-（行治}4=元，故@-2， 因此f0)-2n(2x+,代入品习可得2径+9=及2版ke2, 12 故0=子2e乙，由于例←受，放p=于故A错误： 因此f)-2sm2x+写引， 对于B, 人君-2m(分+到引=2m0=0,故g是f图象的一个对春中心，放B正痛， 对于C,函数y=2snx的图象向右平移个单位长度，得到v=2simX-3》, 再将)=2加：司)横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到y=m2:哥》故c信误： 对于D,若f()=f),则25+骨2+号+2mkez)或者2++2%+号元+2(ke2). 3 3 答案第3页，共10页 即5=名+(ke☑或者飞+与君+（低eZ,故D正确，故选：D 1.【详解]对于选项A:f09定义城为0+0)，f)=2,由了)=0得x=2,当x>2时，f≥0， f(x)单调递增：当0<x<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以x=2是f(x)的极小值点，即选项A正 确。 12_7 对于选项B:令g侧=J)-=+是，其定义域为0+，g网=-2+1= 4<0 x2 x 恒成立，所以g(x)在(0，+0)单调递减.因为g①)=1>0，g(2)=12-1<0,所以由零点存在性定理可知， 3x∈Q,2),使得g(x)=0,所以g(w)有且只有一个零点，故选项B正确： 对于透项C:由心>≥得nx+&,即之2h令)子n,则，h-4 x2 x3 令1(y=x-xnx-4,则w(x)=-lnx,由()=0得x=1, 当x>1时，(x)<0,1(x)单调递减，当0<x<1时，w(x)<0,1r(x)单调递增， 故1w()=x-xnx-4在x=1处取得极大值，也是最大值，最大值为-3，所以(x)<0 故h(x)<0,可得(x在(0，+o)单调递减，则h(x)无最小值，且(x)→0+，所以不存在正实数k,使得 f()>ac恒成立，故选项C错误： D:没三t1,即有x=,s)=f(s),即为+n 整理得号足be,成-月足-h,所以-己。 tx 要证x+%>4,则要证22+2-2>4，即证2-1-2yn>0, tInt Int 设u(t)=t-1-2tnt(t>1),可得t(t)=2t-2lnt-2=2(t-nt-1), 令m)=t-1-nt,则m(0=1-1--1>0,当t∈，+o)时恒成立，所以m0为增函数，所以 m(t)>m(1)=0,所以t(t)>0,故u(t)单调递增，可得u(t)>u(1)=0,命题得证， 即x+x,>4成立，故D正确.故选ABD. 三、填空题 2.【详解】求导每f0-1-5cas,令=0，得eox号，而xe0对，则-于， 当x∈[0，乃时，f'()<0,fw)单调递减：当x∈（匹，可时，f'()>0,f()单调递增， 因比m=原牙x91,放管案为经 24 13.【详解】如图，在△ABC中，由正弦定理得： AB BC 42 BC s∠ACBsin.∠BAC'sin49sin6.7°'BC=540, 在△BCD中，由正弦定理得： 答案第4页，共10页 BC CD 540CD sin∠BDC sin CBD'sin 79.sin 33.1 CD303. 4x2+2x 14.【详解】因为f(x)= e2x x之a,所以f(0)=0, x3-4x,x<a 所以x=0是f(x)=bx的一个解，则存在实数b,使得∫(x)=bx有四个不同的解， 即当x≠0时， f父=b有三个不同的解。 f(x)- 4x+2 e2x,r≥a 4x+2 ,令g(y)= e2 ，x≥a x2-4,x<a x2-4,x< y=fx) 当x<a时，g(x)=x2-4,且g(-6)=2 y=b 2-050 当≥a时，8)=，g)=, 所以当x≥0时，g'(x)≤0，g(x)单调递减： 当x<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，且 g(0)=2,g(-0.5)=0,当x→+时，g(x)→0， 在同一平面直角坐标系中，作出函数y仁2)=-4的图象。如图：由图知。 当a≤-√6时，g(x)的图象与直线y=b至多有两个交点，不符合题意： 当-6<a≤-0.5时，g(x)的图象与直线y=b(0<b<2)有三个交点，符合题意： 当05<a<0时，8（的图象与直线-6〔+2sb<2有三个交，符合惠意： 当0≤a≤2时，g(x)的图象与直线y=b至多有两个交点，不符合题意： 当a>2时，存在实数b,使得g(x)的图象与直线y=b有三个交点，符合题意. 综上，a∈(-V6,0八U(2,+o).故答案为：（-√6,0)U(2,+∞). 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)正弦定理可得：(sinB+sinC)cosA-sin Acos B-sin AcosC=0, sin B cosA-cos Bsin A+sin C cosA-cosC sin A=0, 故sin(B-A)+sin(C-A)=0,则有sin(B-A)=sin(A-C), 又B-A∈（-π，)，C-A∈（-兀，π)， 答案第5页，共10页 故有B-A=A-C或(B-A)+(A-C)=兀（舍去），或(B-A)+(A-C)=-π（舍去）， 则B+C=2A,又A+B+C=元，所以A= (2)设∠ACB=,在△ABD和△ACD中， BD AD CD AD 由正弦定理可得sin π，π -a,sin sin(元-a, 2 (34 BD.sin (2m-a 3 于是 CD.sin(π-a） ,又BD=3CD, π， si咖π 4 3snπ 3 sina 4 sin(π-a） 则 in+ 六，V3+1V sin “(34 2 2 cosa+ 1 .tanu=-9-6√3. 16。【详解】()若a1,了mox+coc[0引， f"(x)=cos x-sin2x-sinx=-2sin'x-sinx+1=-(sinx+1)(2sinx-1) 当x∈0，时，simx>0,2simx-1<0,则f(x)>0,f(x)在0，单调递增： 6 06 当=信引时，mx02m-10,则f<0,1a在气后单酒速减 又得，0=， 所以Q (2)f'(x)=cos2x-sin'x-asinx =1-2sin'x-asinx fy)存在极值点，则f'(x)=0在x∈0，上有解，即a=L2sinx有解。 2 sinx 令t=sinx,则a=1-2t在t∈(0,1)上有解. 因为函数y=121在区间(0,1)上单调递减，所以ae(←1，+0). n【拼银】儿-如x引x如2到9 incos 1 2 2 4 cos2x+2sim2×2/ 3 答案第6页，共10页 根据正弦函数的单调递增区间可得，令2x+骨-2加受2证号引 解得x血+引kZ,的道区间为+哥引 2》当e平时，2- 3L66 m2+引[， 故f(x)在 上的值城为 4'4 (3)将)图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变，得g)=smx+, π5π 原不等式化简得asinx--cosx≥2对x∈ 2’6 恒成立， π5π 2+cosx 因xe 26 时sinx>0,故a≥ 2+cosx 恒成立，只需a≥ sinx Sinx max 令h(x)=2+co 「π5π -,x ,求导得：i(g=-snr-(2+c0s)cosr-1-2cox sinx 2’6 sinx sinx 令h(x)=0得x= 子，做从的在到 π2r 单调递减，在 2r5π7 23 3’6 单调递增， 端点值： h -2,A 3、 6 ,2=45,故h()as=4-V5,即a≥4-5. 1 18.【详解】(1)①证明：因为AB LAC,平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,ABc平 面ABC,所以AB⊥平面PAC,因为PCc平面PAC,所以PC⊥AB ②根据题意，如图，建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(（1,0,0),C(0,1,0), 设三棱锥外接球球心O(a,b,c),则球心O(a,b,c)到A,B,C,P的距离相等， ∫OA=OB a2+b2+c2=(a-1)2+b2+c2 所以}OA=OC,即}a2+b2+c2=a2+(b-1)2+c2 OA=OP wen( 解方程得：a=b=上， 2 所以0=(a,b.c)=月15 (222 又因为平面ABC的法向量为i=(0,0,1), 答案第7页，共10页 3 设A0与平面ABC所成角为0，则sim0=os成4⊙=云 V15 5 5 2 所以A0与平面ABC夹角的正弦值为西 (2)解：过点P作棱PD⊥AC交AC的延长线于D, 因为AB=AC=PC=1,AB⊥AC,∠PCA=120°. 所以PD=5 ，故点P在以D为圆心，DP-5为半径的圆上动， 故以点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则4Q0,A怎10，c行00，DQ0), 设PQ,则+=子 所以2=}，z）,c=L0,0),cB=10) 21 设平面APC的法向量为e1=(:,4,名)， 则 Cp.G=0 〔1 即2+%+=0 ,则=(0，-z,y)》 c4.e=0' (出=0 平面PBC的法向量为e2=(x2,y2,22) c亚.e=0 1 丽g=0'即2 则 +%+西=0，令为=-2，则5=2,5=1+2y,6=(2z-221+2y), x2=-为 因为二面角A-PC-B的正切值为√2， 所以二面角A-PC-B的余弦值的绝对值为 3 2z2+2y2+y 所以cose1,e2= 3 V2+y2.V4z2+4z2+1+2y月 3 又因为2+2=3 将其代入整理得4r-4+1=0, 解得y= 2’2st② 2 99+2-5 故二面角A-PC-B的正切值为√2，BP=√ 19.【详解】（1)f(x)=nx-x2,定义域为x>0, 求导得了)=2x,设切点为(，血-)，切线斜率k=了(5)是-2， 答案第8页，共10页 切线方程为--)民-2头x-0, y=是切线，过原点(0,0)，.-nx1+x2=-1+2x2→lnx1+x2-1=0, 令s(x)=lnx+x2-1,其定义域为x>0, 求导得()-2，则在(0，+)上(>0，即5（四在(Q+)上单调递增， 5(1)=0,.x1=1,∴.切线斜率a=f'(1)=1-2=-1. (2)①rf(=nx-y=n-, ∴8(x)=nx-x2-ar,定义域为(-o,0)U(0,+o), 若a=1,g(x)=lnx-x2-x,当x>0时，g(x)=lnx-x2-x, 求导得8)2x-1=1-2--2x-1x+), 令g()=0,解得x=或x=-1(舍去)，故极值点为=： 当x<0时，8（四=血(--2-x,求导得g(9=1（-1)-2x-1==2×--2x-x+), 令g()=0,解得x=)合去)或x=-1,放极值点为x=-1: +国=+- ②g()=-2x+a,又8=lnlx-f+a, Xn ÷切线的方程为-+)产（名2西-a怎-)， 1-2x+ax-1+号+n, 令g-a网传4eujr话1小 答案第9页，共10页 当>0时，1(x),h(x)的关系如下表： 1 0, 2 2.x ,0 (0,) 2x (x,+0) H(x) + 0 0 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 极大值 单调递减 当x,<0时，(x),h(x)的关系如下表： 1 1 X (-0,x) 0 (,0) 0, 2x0 H(x 0 0 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 极大值 单调递减 函数g(x)=ln|x|-?+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于h()≤0对x≠0恒成立. .只需h()≤0和h 1) 1 1 In 2x0 "24x,≤0同时成立. :M6)=0,只需1）=h1+1 2m2g+4s0. 下面研究函数)=nx+2x,, :)-+t-+少>0，a的在@，+网上单调递增，注意到0=0， x+22.x-2.x .当且仅当0<x≤1时，(x)≤0. 当且仅当0< “2x1 由0< 21,解得飞或- 2 答案第10页，共10页