小升初奥数培优——分数应用题——复杂单位“1”转化（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义05：分数应用题——复杂单位“1”转化 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）基础回顾：单位“1”核心定义 在分数应用题中，单位“1”是被比较的标准量，是所有分数运算的基准。简单分数应用题仅涉及单一固定单位“1”，而复杂分数应用题的核心难点是：题目中存在多个不同单位“1”、单位“1”动态变化或单位“1”隐藏，无法直接列式计算，必须先统一转化单位“1”。 核心公式：对应量 = 单位“1”的量 × 对应分率；单位“1”的量 = 对应量 ÷ 对应分率 （二）复杂单位“1”三大类型及转化方法 1. 多量并列型：多个分率对应不同单位“1” 题目中出现两个及以上不同的标准量（如甲是乙的几分之几，丙是甲的几分之几），分率基准不统一。 转化技巧：锁定不变量作为统一单位“1”（常见不变量：总量、差值、单一固定量），将所有分率全部转化为以不变量为基准的分率。 2. 变量变化型：部分量增减，总量改变 题目中存在数量增加或减少，导致原有单位“1”发生变化（如调入、调出、增减人数/货物），前后单位“1”不一致。 转化技巧：寻找题目中始终不变的量（如男生人数不变、剩余货物差值不变、总份数不变），以不变量为新单位“1”，换算前后所有分率。 3. 隐藏单位“1”型：分率基准模糊 题目无明确标准量，分率描述隐晦（如“甲比乙多几分之几”“乙占剩余的几分之几”），容易混淆基准。 转化技巧：明确每一个分率的原始单位“1”，通过份数转化、比例统一，将所有分率归集到同一个标准量上。 （三）单位“1”转化核心解题步骤 1. 找：通读题目，找出所有分率对应的单位“1”，判断是否统一； 2. 定：锁定题目中的不变量，确定统一后的终极单位“1”； 3. 转：将所有已知分率、数量关系全部转化为新单位“1”的对应关系； 4. 算：根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”列式求解； 5. 验：反向验证结果，确保所有数量、分率关系成立。 （四）高频易错点总结 1. 混淆“甲比乙多”和“乙比甲少”，二者单位“1”不同，分率不可通用； 2. 忽略数量变化后的单位“1”变更，直接套用原分率计算； 3. 多个分率叠加时，未统一基准就盲目运算，导致结果错误。 例题讲解 【典型例题1】多量并列型（以总量为不变单位“1”） 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的，乙数是丙数的 ，三个数的和是114，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 【详解】 本题存在两个不同单位“1”：第一个分率的单位“1”是乙数，第二个分率的单位“1”是丙数，需统一单位“1”。 我们选择丙数作为统一单位“1”： 已知乙数是丙数的，即乙 = 丙 × ； 甲数是乙数的，则甲数 = 乙 × = 丙 × × = 丙 × ； 因此，甲、乙、丙对应丙数的分率分别为：、、1； 三数总分率：； 丙数（单位“1”）：； 乙数：； 甲数：。 【答案】 甲数：，乙数：38，丙数： 【跟踪训练1】 有三个书架A、B、C，A书架的书本数量是B书架的，B书架的书本数量是C书架的，三个书架共有书本220本，求三个书架各有多少本书？ 【详解】 统一单位“1”为C书架书本数量： B书架是C的，A书架是B的，则A书架是C的； 三者总分率：； C书架数量：（本）； B书架数量：（本）； A书架数量：（本）。 【答案】 A书架：本，B书架：本，C书架：88本 【典型例题2】变量变化型（以不变部分量为单位“1”） 某校六年级女生人数占总人数的，后来又转入12名女生，此时女生人数占总人数的，求六年级原来有多少人？ 【详解】 本题易错点：前后总人数发生变化，单位“1”（总人数）改变，不能直接计算。 寻找不变量：男生人数始终不变，将单位“1”统一为男生人数。 原来女生占总人数，则原来男生占总人数：； 原来女生人数是男生的：； 转入12名女生后，女生占总人数，此时男生占总人数：； 此时女生人数是男生的：； 女生增加的12人，对应男生人数的分率差：； 男生人数：（人）； 原来总人数：（人）。 【答案】 六年级原来有168人 【跟踪训练2】 一堆煤，运走的是剩下的，又运走20吨后，运走的是剩下的，求这堆煤原有多少吨？ 【详解】 本题中运走和剩下的煤数量均变化，煤的总总量不变，统一单位“1”为煤的总量。 第一次：运走的是剩下的，即运走:剩下=2:5，运走占总量的； 第二次：运走的是剩下的，即运走:剩下=3:4，运走占总量的； 新增运走的20吨对应总分率差：； 煤的原有总量：（吨）。 【答案】 这堆煤原有140吨 【典型例题3】差值不变型（以数量差为单位“1”） 甲的存款是乙的，如果两人同时存入200元，此时甲的存款是乙的，求原来甲、乙各有多少存款？ 【详解】 两人同时存入相同金额，存款差值始终不变，统一单位“1”为甲乙存款差值。 原来甲:乙=5:7，差值为2份； 原来甲占差值的：；原来乙占差值的：； 存入200元后，甲:乙=6:8=3:4，差值为1份； 此时甲占差值的：； 甲增加的200元对应差值的分率：； 甲乙存款差值：（元）； 原来甲存款：（元）； 原来乙存款：（元）。 【答案】 原来甲存款1000元，乙存款1400元 【跟踪训练3】 哥哥的零花钱是弟弟的，两人各收到50元压岁钱后，哥哥的零花钱是弟弟的，求两人原来各有多少零花钱？ 【详解】 两人增加金额相同，零花钱差值不变，统一单位“1”为零花钱差值。 原来哥哥:弟弟=3:5，差值为2份； 原来哥哥占差值：； 收到压岁钱后，哥哥:弟弟=5:7，差值为2份； 此时哥哥占差值：； 50元对应差值的分率：； 两人零花钱差值：（元）； 原来哥哥零花钱：（元）； 原来弟弟零花钱：（元）。 【答案】 原来哥哥75元，弟弟125元 【典型例题4】多层隐藏单位“1”转化 一批货物，第一天运走总数的，第二天运走余下的，第二天比第一天多运15吨，这批货物原有多少吨？ 【详解】 本题两个分率单位“1”不同：第一天分率单位“1”是货物总数，第二天分率单位“1”是第一天余下货物，需统一为总数。 第一天运走总数的，余下总数的：； 第二天运走总数的：； 第二天比第一天多运的分率：； 货物原有总量：（吨）。 【答案】 这批货物原有60吨 【跟踪训练4】 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，两天一共看了55页，这本书共有多少页？ 【详解】 统一单位“1”为全书总页数： 第一天看全书的，余下全书的：； 第二天看全书的：； 两天一共看全书的分率：； 全书总页数：（页）。 【答案】 这本书共有110页 提升练习 练习 1 甲是乙的，乙是丙的，甲、乙、丙三数之和是 212，求甲、乙、丙各是多少？ 【详解】统一单位 “1” 为丙。 乙丙，甲乙丙丙 总分率： 丙： 乙： 甲： 【答案】甲，乙，丙 练习 2 水果店有苹果、梨、橘子，苹果数量是梨的，梨是橘子的，三种水果一共 310 千克，三种水果各多少千克？ 【详解】统一单位 “1” 为橘子。 梨橘子，苹果橘子 总分率： 橘子：（千克） 梨：（千克） 苹果：（千克） 【答案】苹果千克，梨千克，橘子千克 练习 3 某班原来男生占全班总人数的，转来 8 名男生，这时男生占全班的，原来全班多少人？ 【详解】女生人数不变，把女生看作单位 “1”。 原来男生占总人数，女生占，男生是女生的。 转入 8 男生后，男生占，女生占，男生是女生的。 8 人对应分率差： 女生：（人） 原来全班：（人） 【答案】原来全班人 练习 4 一堆石子，运走的是剩下的，再运走 30 吨，运走的是剩下的，这堆石子原有多少吨？ 【详解】总量不变，统一单位 “1” 为总吨数。 第一次运走剩下，运走占总量 第二次运走剩下，运走占总量 30 吨对应分率： 总吨数：（吨） 【答案】原有吨 练习 5 A 的钱数是 B 的，两人同时再存入 120 元，A 的钱数是 B 的，原来 A、B 各多少钱？ 【详解】两人增加同样多，差不变，以差值为单位 “1”。 原来，差为份；A 占差：； 存入后，差为份；A 占差：； 120 元对应分率差： 差值：（元） 原来 A：（元） 原来 B：（元） 【答案】原来 A元，B元 练习 6 一批建材，第一天运走总数的，第二天运走余下的，第二天比第一天多运 49 吨，这批建材一共多少吨？ 【详解】统一单位 “1” 为总数。 第一天运，余下； 第二天运总数的：； 分率差：； 总量：（吨） 【答案】一共吨 练习 7 一本故事书，第一天读全书的，第二天读余下的，两天共读 70 页，全书一共多少页？ 【详解】统一单位 “1” 全书。 第一天，余下； 第二天占全书：； 两天合计分率：； 全书：（页） 【答案】全书页 练习 8 甲是乙的，乙是丁的，甲乙丁三数之和是 442，求甲、乙、丁。 【详解】统一单位 “1” 为丁。 乙丁，甲丁 总分率： 丁： 乙： 甲： 【答案】甲，乙，丁 练习 9 阅览室女生占总人数，又来了 14 名女生，这时女生占总人数，阅览室原来多少人？ 【详解】男生不变，把男生看作单位 “1”。 原来女生占，男生占，女生是男生。 转入后女生占，男生占，女生是男生。 14 人对应分率差： 男生：（人） 原来总人数：（人） 【答案】原来人 练习 10 仓库一批水泥，运走的是剩下的，再运走 44 吨，运走是剩下的，原有水泥多少吨？ 【详解】总量不变。 第一次运走剩下，运走占总量 第二次运走剩下，运走占总量 44 吨对应分率： 原有：（吨） 【答案】原有吨 练习 11 小红的卡片数量是小丽的，两人各再得到 30 张卡片，小红卡片是小丽的，原来两人各多少张？ 【详解】增加同样数量，差值不变，把差看作单位 “1”。 原来红丽，差 3 份；小红占差 得到卡片后红丽，差 3 份；小红占差 30 张对应分率差： 差值：（张） 原来小红：（张） 原来小丽：（张） 【答案】小红张，小丽张 练习 12 一堆沙土，第一天取走总数的，第二天取走余下的，第二天比第一天多取 38 吨，沙土总共多少吨？ 【详解】统一单位 “1” 总数。 第一天，余下 第二天占总数： 分率差： 总量：（吨） 【答案】共吨 练习 13 有甲、乙、丙三根绳子，甲绳是乙绳的，乙绳是丙绳，三根绳子总长 415 米，三根绳子各多长？ 【详解】统一单位 “1” 丙绳。 乙丙，甲丙 总分率： 丙绳：（米） 乙绳：（米） 甲绳：（米） 【答案】甲米，乙米，丙米 练习 14 学校合唱队原来女生占全队人数的，又来了 6 名女生，这时女生占全队，合唱队原来多少人？ 【详解】男生不变，男生作单位 “1”。 原来女生占，男生占，女生是男生。 转入后女生占，男生占，女生是男生。 6 人对应分率差： 男生：（人） 原来全队：（人） 【答案】原来人 练习 15 粮仓粮食，运走的是剩下的，再运走 52 吨，运走是剩下，粮仓原有粮食多少吨？ 【详解】总量不变。 第一次运走剩下，运走占总量 第二次运走剩下，运走占总量 52 吨对应分率差： 原有：（吨） 【答案】原有吨 练习 16 A 储蓄罐钱是 B 的，两人各存入 160 元，这时 A 是 B 的，原来 A、B 各多少元？ 【详解】同时加钱，差值不变，差值作单位 “1”。 原来，差 5 份；A 占差 存入后，差 1 份；A 占差 160 元对应分率差： 差值：（元） 原来 A：（元） 原来 B：（元） 【答案】原来 A元，B元 练习 17 一本课外读物，第一天看全书，第二天看余下的，两天一共看 99 页，全书一共多少页？ 【详解】统一单位 “1” 全书。 第一天，余下； 第二天占全书：； 两天合计：； 全书：（页） 【答案】全书页 练习 18 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲乙丙三数总和是 600，求甲、乙、丙。 【详解】统一单位 “1” 丙。 乙丙，甲丙 总分率： 丙： 乙： 甲： 【答案】甲，乙，丙 练习 19 科技小组原来男生占总人数的，又加入 8 名男生，此时男生占总人数，科技小组原来多少人？ 【详解】女生不变，把女生当作单位 “1”。 原来男生占，女生占，男生是女生。 加入后男生占，女生占，男生是女生。 8 人对应分率差： 女生：（人） 原来总人数：（人） 【答案】原来人 练习 20 一堆矿石，第一天运全部的，第二天运余下的，第二天比第一天多运 110 吨，矿石一共多少吨？ 【详解】统一单位 “1” 总量。 第一天，余下； 第二天占总量：； 分率差：； 总量：（吨） 【答案】一共吨 模拟赛场 培优 1 甲、乙、丙三人存钱，甲存款是另外两人总和的，乙存款是另外两人总和的，丙存款有 600 元，三人一共存款多少元？ 【详解】单位 “1” 是另外两人，基准不一样，统一单位 “1” 为三人总钱数。 甲是乙丙和的，则甲（乙 + 丙），甲占全部； 乙是甲丙和的，则乙（甲 + 丙），乙占全部； 丙占总分率：； 总钱数：（元） 【答案】三人一共存款元 培优 2 某校上学期，女生占全校总人数的，这学期转走 10 名女生，转入 10 名男生，此时女生占全校总人数，学校这学期总人数不变，求上学期女生多少人？ 【详解】总人数不变，把全校总人数看作单位 “1”。 上学期女生占；人员交换后女生占； 女生减少 10 人，对应分率差：； 全校总人数：（人） 上学期女生：（人） 【答案】上学期女生人 培优 3 有两筐苹果，甲筐苹果数量是乙筐的，如果两筐各卖出 20 个之后，甲筐数量是乙筐的，原来甲乙两筐各多少个苹果？ 【详解】两筐同时减去相同数量，数量差不变，把差值作为统一单位 “1”。 原来甲乙，差份；甲占差：； 各卖出 20 个，甲乙，差份；甲占差：； 甲减少 20 个，对应分率差：； 两筐数量差：（个）； 原来甲筐：（个）； 原来乙筐：（个）。 验证：各卖 20，甲剩 10，乙剩 30；，成立。 【答案】原来甲筐个，乙筐个 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义05：分数应用题——复杂单位“1”转化 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）基础回顾：单位“1”核心定义 在分数应用题中，单位“1”是被比较的标准量，是所有分数运算的基准。简单分数应用题仅涉及单一固定单位“1”，而复杂分数应用题的核心难点是：题目中存在多个不同单位“1”、单位“1”动态变化或单位“1”隐藏，无法直接列式计算，必须先统一转化单位“1”。 核心公式：对应量 = 单位“1”的量 × 对应分率；单位“1”的量 = 对应量 ÷ 对应分率 （二）复杂单位“1”三大类型及转化方法 1. 多量并列型：多个分率对应不同单位“1” 题目中出现两个及以上不同的标准量（如甲是乙的几分之几，丙是甲的几分之几），分率基准不统一。 转化技巧：锁定不变量作为统一单位“1”（常见不变量：总量、差值、单一固定量），将所有分率全部转化为以不变量为基准的分率。 2. 变量变化型：部分量增减，总量改变 题目中存在数量增加或减少，导致原有单位“1”发生变化（如调入、调出、增减人数/货物），前后单位“1”不一致。 转化技巧：寻找题目中始终不变的量（如男生人数不变、剩余货物差值不变、总份数不变），以不变量为新单位“1”，换算前后所有分率。 3. 隐藏单位“1”型：分率基准模糊 题目无明确标准量，分率描述隐晦（如“甲比乙多几分之几”“乙占剩余的几分之几”），容易混淆基准。 转化技巧：明确每一个分率的原始单位“1”，通过份数转化、比例统一，将所有分率归集到同一个标准量上。 （三）单位“1”转化核心解题步骤 1. 找：通读题目，找出所有分率对应的单位“1”，判断是否统一； 2. 定：锁定题目中的不变量，确定统一后的终极单位“1”； 3. 转：将所有已知分率、数量关系全部转化为新单位“1”的对应关系； 4. 算：根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”列式求解； 5. 验：反向验证结果，确保所有数量、分率关系成立。 （四）高频易错点总结 1. 混淆“甲比乙多”和“乙比甲少”，二者单位“1”不同，分率不可通用； 2. 忽略数量变化后的单位“1”变更，直接套用原分率计算； 3. 多个分率叠加时，未统一基准就盲目运算，导致结果错误。 例题讲解 【典型例题1】多量并列型（以总量为不变单位“1”） 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的，乙数是丙数的 ，三个数的和是114，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 【跟踪训练1】 有三个书架A、B、C，A书架的书本数量是B书架的，B书架的书本数量是C书架的，三个书架共有书本220本，求三个书架各有多少本书？ 【典型例题2】变量变化型（以不变部分量为单位“1”） 某校六年级女生人数占总人数的，后来又转入12名女生，此时女生人数占总人数的，求六年级原来有多少人？ 【跟踪训练2】 一堆煤，运走的是剩下的，又运走20吨后，运走的是剩下的，求这堆煤原有多少吨？ 【典型例题3】差值不变型（以数量差为单位“1”） 甲的存款是乙的，如果两人同时存入200元，此时甲的存款是乙的，求原来甲、乙各有多少存款？ 【跟踪训练3】 哥哥的零花钱是弟弟的，两人各收到50元压岁钱后，哥哥的零花钱是弟弟的，求两人原来各有多少零花钱？ 【典型例题4】多层隐藏单位“1”转化 一批货物，第一天运走总数的，第二天运走余下的，第二天比第一天多运15吨，这批货物原有多少吨？ 【跟踪训练4】 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，两天一共看了55页，这本书共有多少页？ 提升练习 练习 1 甲是乙的，乙是丙的，甲、乙、丙三数之和是 212，求甲、乙、丙各是多少？ 练习 2 水果店有苹果、梨、橘子，苹果数量是梨的，梨是橘子的，三种水果一共 310 千克，三种水果各多少千克？ 练习 3 某班原来男生占全班总人数的，转来 8 名男生，这时男生占全班的，原来全班多少人？ 练习 4 一堆石子，运走的是剩下的，再运走 30 吨，运走的是剩下的，这堆石子原有多少吨？ 练习 5 A 的钱数是 B 的，两人同时再存入 120 元，A 的钱数是 B 的，原来 A、B 各多少钱？ 练习 6 一批建材，第一天运走总数的，第二天运走余下的，第二天比第一天多运 49 吨，这批建材一共多少吨？ 练习 7 一本故事书，第一天读全书的，第二天读余下的，两天共读 70 页，全书一共多少页？ 练习 8 甲是乙的，乙是丁的，甲乙丁三数之和是 442，求甲、乙、丁。 练习 9 阅览室女生占总人数，又来了 14 名女生，这时女生占总人数，阅览室原来多少人？ 练习 10 仓库一批水泥，运走的是剩下的，再运走 44 吨，运走是剩下的，原有水泥多少吨？ 练习 11 小红的卡片数量是小丽的，两人各再得到 30 张卡片，小红卡片是小丽的，原来两人各多少张？ 练习 12 一堆沙土，第一天取走总数的，第二天取走余下的，第二天比第一天多取 38 吨，沙土总共多少吨？ 练习 13 有甲、乙、丙三根绳子，甲绳是乙绳的，乙绳是丙绳，三根绳子总长 415 米，三根绳子各多长？ 练习 14 学校合唱队原来女生占全队人数的，又来了 6 名女生，这时女生占全队，合唱队原来多少人？ 练习 15 粮仓粮食，运走的是剩下的，再运走 52 吨，运走是剩下，粮仓原有粮食多少吨？ 练习 16 A 储蓄罐钱是 B 的，两人各存入 160 元，这时 A 是 B 的，原来 A、B 各多少元？ 练习 17 一本课外读物，第一天看全书，第二天看余下的，两天一共看 99 页，全书一共多少页？ 练习 18 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲乙丙三数总和是 600，求甲、乙、丙。 练习 19 科技小组原来男生占总人数的，又加入 8 名男生，此时男生占总人数，科技小组原来多少人？ 练习 20 一堆矿石，第一天运全部的，第二天运余下的，第二天比第一天多运 110 吨，矿石一共多少吨？ 模拟赛场 培优 1 甲、乙、丙三人存钱，甲存款是另外两人总和的，乙存款是另外两人总和的，丙存款有 600 元，三人一共存款多少元？ 培优 2 某校上学期，女生占全校总人数的，这学期转走 10 名女生，转入 10 名男生，此时女生占全校总人数，学校这学期总人数不变，求上学期女生多少人？ 培优 3 有两筐苹果，甲筐苹果数量是乙筐的，如果两筐各卖出 20 个之后，甲筐数量是乙筐的，原来甲乙两筐各多少个苹果？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $