小升初奥数培优——工程问题（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义10：工程问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）基础概念 工程问题是分数应用题的重要类型，研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系。 1. 工作总量：要完成的全部任务。奥数题目中，没有给出具体工作量时，把整个工程看作单位 “”。 2. 工作时间：完成工作所花费的时间。 3. 工作效率：单位时间完成的工作量，也就是每小时、每天完成这项工程的几分之几。 核心关系： 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （二）常见题型分类 1. 单人工作：一个人单独完成任务，直接套用三个基础公式。把总工程看作单位 1，效率就是。 例：甲单独做 10 天完成，甲的工作效率就是。 2. 两人合作问题：几个人一起干活，合作总效率 = 各个人效率相加。 注意：只有同一时间段一起工作，效率才可以相加；先后做不能直接把时间相加。 3. 先做后合作（分段工程）：一部分时间单人做，剩下部分多人合作。 解题思路：分开算每一段完成的工作量，全部工作量相加等于单位 “1”。 4. 休息类工程问题（奥数高频）：工作过程当中有人中途休息，有一部分时间不干活。要区分实际工作天数和总天数，休息的时候效率为 0。 5. 交替轮流工作：甲乙轮流干活，一人做一段时间，不是同时开工，不能直接效率相加，要算一个循环周期完成多少工作量。 （三）解题核心思路与易错点 1. 题目没有给出具体工程量，默认工作总量 = 单位。 2. 求效率：单独天完成，效率 =。 3. 合作只能把效率相加，时间不能相加。 易错例子：甲 10 天干完，乙 15 天干完，合作不是天，而是用总工作量 1 除以效率之和。 4. 分段工程：把整个工程拆成几段，每一段：工作量 = 效率 × 实际工作时间。各段工作量之和等于 1。 5. 休息问题：总天数≠实际工作天数，休息的时候不产生工作量。 6. 计算结果优先写最简分数，不要优先小数。 例题讲解 【典型例题 1】基础求工作效率 一项工程，甲单独做 8 天可以完成这项工程。甲每天完成这项工程的几分之几？3 天可以完成这项工程的几分之几？ 【跟踪训练 1】 一件工作，乙单独做 12 天完成。乙每天完成这件工作的几分之几？5 天完成这件工作的几分之几？ 【典型例题 2】两人合作求完成总时间 一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。甲乙两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【跟踪训练 2】 一项工程，甲单独做 18 天完成，乙单独做 9 天完成。甲乙合作，多少天可以做完？ 【典型例题 3】先单独做，再合作（分段工程） 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。甲先单独做 5 天，剩下的工程甲乙两人合作，还需要多少天完成？ 【跟踪训练 3】 一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成。乙先单独做 2 天，余下甲乙合作，还需要多少天完工？ 【典型例题 4】已知合作时间，求单人时间 甲乙合作完成一项工程需要 12 天，如果甲单独完成这项工程需要 20 天，乙单独完成这项工程需要多少天？ 【跟踪训练 4】 甲乙合作做一件工作，8 天可以完成。已知甲单独做 24 天完成，乙单独做需要多少天完成？ 【典型例题 5】中途有人休息问题（奥数基础） 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。两人合作，中间甲休息若干天，从开工到完工一共 15 天完成全部工程。甲实际工作多少天？ 【跟踪训练 5】 一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合作，全程一共用 9 天完工，中间乙休息，甲全程没有休息。乙实际工作多少天？ 【典型例题 6】轮流交替工作 一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 10 天完成。按照甲做 1 天，乙做 1 天，甲做 1 天，乙做 1 天…… 交替轮流工作。一个周期为 2 天，一个周期完成多少工作量？ 【跟踪训练 6】 一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，按照甲 1 天乙 1 天交替工作。2 天一个循环，一个循环完成这项工程几分之几？ 提升练习 第 1 题 一项工程，甲单独做 14 天完成。甲每天完成这项工程的几分之几？7 天完成这项工程的几分之几？ 第 2 题 一件工作，乙单独做 16 天完成。乙每天完成这件工作的几分之几？6 天完成这件工作的几分之几？ 第 3 题 一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 24 天完成。甲乙合作，多少天可以完成全部工程？ 第 4 题 修一条道路，甲队单独修 21 天完成，乙队单独修 28 天完成。两队合作，多少天可以修完？ 第 5 题 一项工程，甲单独做 18 天完成，乙单独做 36 天完成。甲先单独做 6 天，剩下部分甲乙合作，还需要多少天完成？ 第 6 题 一件工作，甲单独做 25 天完成，乙单独做 50 天完成。乙先做 10 天，余下的甲乙合作，还需要多少天完工？ 第 7 题 甲乙合作完成一项工程需要 15 天，甲单独完成需要 25 天，乙单独完成这项工程要多少天？ 第 8 题 甲乙两人合作完成一份稿件需要 10 天，如果乙单独完成需要 25 天，甲单独完成这份稿件需要多少天？ 第 9 题 一项工程，甲单独做 24 天完成，乙单独做 48 天完成。两人合作，从开工到完工一共 20 天完工，甲全程工作，乙中途休息。乙实际工作多少天？ 第 10 题 一件工程，甲单独做 16 天完成，乙单独做 32 天完成。两人合作，总共 12 天完成，乙全程不休息，甲中途休息。甲实际工作多少天？ 第 11 题 一项工程，甲单独做 9 天完成，乙单独做 18 天完成，按照甲做 1 天、乙做 1 天交替工作，2 天为一个周期。一个周期可以完成这项工程的几分之几？ 第 12 题 有一项任务，甲单独做 12 天完成，乙单独做 15 天完成，甲乙轮流各做 1 天为一个循环。一个循环完成任务的几分之几？ 第 13 题 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 40 天完成。两人合作 3 天，一共完成这项工程几分之几？还剩几分之几没有完成？ 第 14 题 修一项工程，甲队单独做 18 天完工。甲队工作 4 天之后，还剩下这项工程的几分之几？ 第 15 题 一项工程，甲、乙合作效率是，甲的工作效率是。乙单独完成这项工程需要多少天？ 第 16 题 一件工作，甲单独做 30 天完成，乙单独做 20 天完成。甲、乙先合作 4 天，之后由甲继续单独做完，甲还要做多少天？ 第 17 题 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。先由甲单独做 2 天，再由乙单独做 3 天，一共完成这项工程的几分之几？ 第 18 题 一项工程，甲乙合作 8 天可以完成。甲先工作 3 天，乙再工作 5 天，一共完成这项工程的。求乙的工作效率。 第 19 题 有一项工程，甲单独做 12 天完成。甲工作 3 天之后，剩下交给乙，乙又用 15 天做完。乙单独完成全部工程需要多少天？ 第 20 题 一项工程，甲单独做 16 天完成，乙单独做 48 天完成。两人合作，中间甲休息 2 天（乙不休息），完成这项工程一共需要多少天？ 模拟赛场 奥数题 1 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，丙单独做 60 天完成。现三人合作，工作过程中甲全程工作，乙休息 2 天，丙休息 4 天，三个人不同时休息。求完成这项工程一共要多少天？ 奥数题 2 一项工程，按照甲做 1 天、乙做 2 天；甲做 1 天、乙做 2 天…… 交替循环工作。已知甲单独完成这项工程需要 12 天，乙单独完成这项工程需要 18 天。问完成全部工程，一共需要多少天？ 奥数题 3 有一项工程，如果甲乙两队合作需要 12 天完工；如果乙丙两队合作需要 15 天完工；如果甲丙两队合作需要 20 天完工。求甲、乙、丙三队合作完成这项工程需要多少天？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义10：工程问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）基础概念 工程问题是分数应用题的重要类型，研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系。 1. 工作总量：要完成的全部任务。奥数题目中，没有给出具体工作量时，把整个工程看作单位 “”。 2. 工作时间：完成工作所花费的时间。 3. 工作效率：单位时间完成的工作量，也就是每小时、每天完成这项工程的几分之几。 核心关系： 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （二）常见题型分类 1. 单人工作：一个人单独完成任务，直接套用三个基础公式。把总工程看作单位 1，效率就是。 例：甲单独做 10 天完成，甲的工作效率就是。 2. 两人合作问题：几个人一起干活，合作总效率 = 各个人效率相加。 注意：只有同一时间段一起工作，效率才可以相加；先后做不能直接把时间相加。 3. 先做后合作（分段工程）：一部分时间单人做，剩下部分多人合作。 解题思路：分开算每一段完成的工作量，全部工作量相加等于单位 “1”。 4. 休息类工程问题（奥数高频）：工作过程当中有人中途休息，有一部分时间不干活。要区分实际工作天数和总天数，休息的时候效率为 0。 5. 交替轮流工作：甲乙轮流干活，一人做一段时间，不是同时开工，不能直接效率相加，要算一个循环周期完成多少工作量。 （三）解题核心思路与易错点 1. 题目没有给出具体工程量，默认工作总量 = 单位。 2. 求效率：单独天完成，效率 =。 3. 合作只能把效率相加，时间不能相加。 易错例子：甲 10 天干完，乙 15 天干完，合作不是天，而是用总工作量 1 除以效率之和。 4. 分段工程：把整个工程拆成几段，每一段：工作量 = 效率 × 实际工作时间。各段工作量之和等于 1。 5. 休息问题：总天数≠实际工作天数，休息的时候不产生工作量。 6. 计算结果优先写最简分数，不要优先小数。 例题讲解 【典型例题 1】基础求工作效率 一项工程，甲单独做 8 天可以完成这项工程。甲每天完成这项工程的几分之几？3 天可以完成这项工程的几分之几？ 【详解】 把这项工程总工作量看作单位。 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 甲每天效率： 3 天完成工作量： 【答案】每天完成；3 天完成 【跟踪训练 1】 一件工作，乙单独做 12 天完成。乙每天完成这件工作的几分之几？5 天完成这件工作的几分之几？ 【详解】 总工作量看作单位。 乙效率： 5 天工作量： 【答案】每天完成；5 天完成 【典型例题 2】两人合作求完成总时间 一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。甲乙两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【详解】 总工作量为单位。 甲效率： 乙效率： 合作总效率： 合作时间 = 总工作量 ÷ 合作效率 （天） 【答案】天 【跟踪训练 2】 一项工程，甲单独做 18 天完成，乙单独做 9 天完成。甲乙合作，多少天可以做完？ 【详解】 甲效率： 乙效率： 合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 【典型例题 3】先单独做，再合作（分段工程） 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。甲先单独做 5 天，剩下的工程甲乙两人合作，还需要多少天完成？ 【详解】 总工作量单位。 甲效率：，乙效率： 甲先做 5 天完成工作量： 剩余工作量： 甲乙合作效率： 还需要时间：（天） 【答案】还需要天 【跟踪训练 3】 一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成。乙先单独做 2 天，余下甲乙合作，还需要多少天完工？ 【详解】 甲效率，乙效率 乙先做 2 天工作量： 剩余工作量： 合作效率： 还需要时间：（天） 【答案】还需要天 【典型例题 4】已知合作时间，求单人时间 甲乙合作完成一项工程需要 12 天，如果甲单独完成这项工程需要 20 天，乙单独完成这项工程需要多少天？ 【详解】 总工作量看作单位 1。 甲乙合作效率： 甲的效率： 乙效率 = 合作效率 − 甲效率 乙单独时间：（天） 【答案】天 【跟踪训练 4】 甲乙合作做一件工作，8 天可以完成。已知甲单独做 24 天完成，乙单独做需要多少天完成？ 【详解】 合作效率： 甲效率： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】天 【典型例题 5】中途有人休息问题（奥数基础） 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。两人合作，中间甲休息若干天，从开工到完工一共 15 天完成全部工程。甲实际工作多少天？ 【详解】 总工作量单位 1。甲效率，乙效率。 全程一共 15 天，乙没有休息，乙 15 天全部在工作。 乙 15 天完成工作量： 甲完成的工作量： 甲实际工作天数：（天） 【答案】甲实际工作天 【跟踪训练 5】 一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合作，全程一共用 9 天完工，中间乙休息，甲全程没有休息。乙实际工作多少天？ 【详解】 甲效率，乙效率。 甲工作 9 天，完成工作量： 乙完成工作量： 乙实际工作天数：（天） 【答案】乙实际工作天 【典型例题 6】轮流交替工作 一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 10 天完成。按照甲做 1 天，乙做 1 天，甲做 1 天，乙做 1 天…… 交替轮流工作。一个周期为 2 天，一个周期完成多少工作量？ 【详解】 甲效率，乙效率。 每一个周期（甲 1 天 + 乙 1 天）完成工作量： 【答案】一个周期完成 【跟踪训练 6】 一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，按照甲 1 天乙 1 天交替工作。2 天一个循环，一个循环完成这项工程几分之几？ 【详解】 甲效率，乙效率。 一个循环工作量： 【答案】一个循环完成 提升练习 第 1 题 一项工程，甲单独做 14 天完成。甲每天完成这项工程的几分之几？7 天完成这项工程的几分之几？ 【详解】 把总工程看作单位。 甲的效率： 7 天工作量： 【答案】每天完成，7 天完成 第 2 题 一件工作，乙单独做 16 天完成。乙每天完成这件工作的几分之几？6 天完成这件工作的几分之几？ 【详解】 总工作量为单位。 乙效率： 6 天工作量： 【答案】每天完成，6 天完成 第 3 题 一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 24 天完成。甲乙合作，多少天可以完成全部工程？ 【详解】 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 第 4 题 修一条道路，甲队单独修 21 天完成，乙队单独修 28 天完成。两队合作，多少天可以修完？ 【详解】 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 第 5 题 一项工程，甲单独做 18 天完成，乙单独做 36 天完成。甲先单独做 6 天，剩下部分甲乙合作，还需要多少天完成？ 【详解】 甲效率，乙效率 甲 6 天工作量： 剩余工作量： 合作效率： 还需要时间：（天） 【答案】还需要天 第 6 题 一件工作，甲单独做 25 天完成，乙单独做 50 天完成。乙先做 10 天，余下的甲乙合作，还需要多少天完工？ 【详解】 甲效率，乙效率 乙 10 天工作量： 剩余工作量： 合作效率： 还需要时间：（天） 【答案】还需要天 第 7 题 甲乙合作完成一项工程需要 15 天，甲单独完成需要 25 天，乙单独完成这项工程要多少天？ 【详解】 合作效率： 甲效率： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】天 第 8 题 甲乙两人合作完成一份稿件需要 10 天，如果乙单独完成需要 25 天，甲单独完成这份稿件需要多少天？ 【详解】 合作效率： 乙效率： 甲效率： 甲单独时间：（天） 【答案】天 第 9 题 一项工程，甲单独做 24 天完成，乙单独做 48 天完成。两人合作，从开工到完工一共 20 天完工，甲全程工作，乙中途休息。乙实际工作多少天？ 【详解】 甲效率，乙效率 甲 20 天完成： 乙完成工作量： 乙实际工作天数：（天） 【答案】乙实际工作天 第 10 题 一件工程，甲单独做 16 天完成，乙单独做 32 天完成。两人合作，总共 12 天完成，乙全程不休息，甲中途休息。甲实际工作多少天？ 【详解】 甲效率，乙效率 乙 12 天完成工作量： 甲完成工作量： 甲实际工作天数：（天） 【答案】甲实际工作天 第 11 题 一项工程，甲单独做 9 天完成，乙单独做 18 天完成，按照甲做 1 天、乙做 1 天交替工作，2 天为一个周期。一个周期可以完成这项工程的几分之几？ 【详解】 甲效率，乙效率 一个周期工作量： 【答案】一个周期完成 第 12 题 有一项任务，甲单独做 12 天完成，乙单独做 15 天完成，甲乙轮流各做 1 天为一个循环。一个循环完成任务的几分之几？ 【详解】 甲效率，乙效率 一个循环工作量： 【答案】一个循环完成 第 13 题 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 40 天完成。两人合作 3 天，一共完成这项工程几分之几？还剩几分之几没有完成？ 【详解】 甲效率，乙效率 合作效率： 3 天完成： 剩余： 【答案】完成，剩余 第 14 题 修一项工程，甲队单独做 18 天完工。甲队工作 4 天之后，还剩下这项工程的几分之几？ 【详解】 甲效率 4 天完成： 剩余： 【答案】还剩 第 15 题 一项工程，甲、乙合作效率是，甲的工作效率是。乙单独完成这项工程需要多少天？ 【详解】 乙效率 = 合作效率 − 甲效率 乙单独时间：（天） 【答案】天 第 16 题 一件工作，甲单独做 30 天完成，乙单独做 20 天完成。甲、乙先合作 4 天，之后由甲继续单独做完，甲还要做多少天？ 【详解】 甲效率，乙效率 合作效率： 合作 4 天完成： 剩余工作量： 甲还需要：（天） 【答案】甲还要做天 第 17 题 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。先由甲单独做 2 天，再由乙单独做 3 天，一共完成这项工程的几分之几？ 【详解】 甲效率，乙效率 甲 2 天： 乙 3 天： 合计完成： 【答案】一共完成 第 18 题 一项工程，甲乙合作 8 天可以完成。甲先工作 3 天，乙再工作 5 天，一共完成这项工程的。求乙的工作效率。 【详解】 合作效率：；甲做 3 天，乙做 5 天，等价于甲乙合作 3 天，乙再单独做 2 天。 合作 3 天工作量： 乙 2 天工作量： 乙效率： 【答案】乙的效率 第 19 题 有一项工程，甲单独做 12 天完成。甲工作 3 天之后，剩下交给乙，乙又用 15 天做完。乙单独完成全部工程需要多少天？ 【详解】 甲效率，甲 3 天工作量： 乙 15 天工作量： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】天 第 20 题 一项工程，甲单独做 16 天完成，乙单独做 48 天完成。两人合作，中间甲休息 2 天（乙不休息），完成这项工程一共需要多少天？ 【详解】 设一共需要天，则甲实际工作天，乙工作天。 两边同乘 48： 【答案】一共需要天 模拟赛场 奥数题 1 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，丙单独做 60 天完成。现三人合作，工作过程中甲全程工作，乙休息 2 天，丙休息 4 天，三个人不同时休息。求完成这项工程一共要多少天？ 【详解】 设总天数为天；甲工作天，乙工作天，丙工作天。 甲效率，乙效率，丙效率。 等式两边同乘 60： 【答案】一共需要天 奥数题 2 一项工程，按照甲做 1 天、乙做 2 天；甲做 1 天、乙做 2 天…… 交替循环工作。已知甲单独完成这项工程需要 12 天，乙单独完成这项工程需要 18 天。问完成全部工程，一共需要多少天？ 【详解】 甲效率，乙效率。 一个完整循环：甲 1 天 + 乙 2 天，一共 3 天。 一个循环完成工作量：。 5 个循环用时：天；完成工作量：。 剩余工作量：。 接下来轮到甲工作，甲效率。 甲完成剩余需要时间：（天）。 总时间：（天）。 【答案】一共需要天 奥数题 3 有一项工程，如果甲乙两队合作需要 12 天完工；如果乙丙两队合作需要 15 天完工；如果甲丙两队合作需要 20 天完工。求甲、乙、丙三队合作完成这项工程需要多少天？ 【详解】 甲乙效率和： 乙丙效率和： 甲丙效率和： 把三个式子相加，得到 2 倍的（甲 + 乙 + 丙）效率： 甲乙丙三人合作效率： 三队合作时间：（天） 【答案】三队合作需要天 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $