精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2026-2027学年高三上学期一轮复习跟踪验收数学试题

延边第二中学2024级高三一轮复习跟踪验收 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 0 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 3. 若函数，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7 5. 已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（ ）．附． A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 幂函数为偶函数，则 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数与的图象关于直线对称 10. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若角的终边过点且，则 B. 若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若在单调递减，则 D. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为___________. 13. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 14. 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求，的值 （2）若，求实数的值； （3）当时，求的最小值． 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 17. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. （1）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若函数仅有一个零点，求的取值范围； （3）若，，，，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若，且，求证：； （3）若方程有两个不同的实根，，且满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024级高三一轮复习跟踪验收 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的运算性质得出，再根据子集的性质和集合性质得出即可求出答案. 【详解】由得到，由子集的性质可知． 对于任意的实数，,不能等于，由集合元素的互异性，不成立， 故只能是；求出. 故选：C 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 3. 若函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2 f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案． 【详解】f′（x）＝2 f′（1）+2x， 令x＝1得f′（1）＝2 f′（1）+2， ∴f′（1）＝﹣2， ∴f′（x）＝2x-4， ∴f′（-1）＝-6,又， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键． 4. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，，所以，所以. 5. 已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（ ）．附． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，即， 两边取对数得，即， 解得． 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，求出切线方程，将点代入切线方程，得到关于的一元二次方程；曲线有两条过点的切线等价于方程有2个不等实根，得到，解不等式即可. 【详解】. 设切点坐标为，其中. 在切点处的切线斜率为， 则切线方程可表示为. 又切线过点，则， 因为，所以，整理得. 因为曲线有两条过点的切线，等价于关于的方程有2个不等实根，即， 而，所以， 解得或. 故实数t的取值范围是. 8. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 幂函数为偶函数，则 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项：的定义域是R，的定义域是，定义域不同，不是同一个函数，A错误. B选项：x的系数为1时符合幂函数定义， ， 或. 时，，，是偶函数；时，，，是奇函数. 题目要求是偶函数，所以，B正确. C选项：函数的定义域是，对于，要求，解得，即的定义域为，C正确. D选项：互为反函数的图像关于直线对称，的反函数是，所以与的图象关于直线对称，D正确. 10. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若角的终边过点且，则 B. 若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若在单调递减，则 D. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数定义列式解方程，结合符号判断m的正负，判断选项A；写出第三象限角范围，不等式同除以2，对k分奇偶判断所在象限，判断选项B；复合函数单调性用同增异减，同时保证内层二次函数在区间恒大于0，求出参数范围，判断选项C；先用弧长公式求半径，再代入扇形面积公式计算，判断选项D． 【详解】点到原点的距离，，则， 化简整理得，解得或（舍去），故A错误； 是第三象限角，则， 故， 为偶数时，在第二象限；为奇数时，在第四象限，故B正确； 令，底数且， 时，递增，需在递减，且在恒成立， 开口向上，对称轴，递减区间为，故，即； 在的最小值趋近于，需，即， 综上，，即，故C错误； 由弧长公式，解得， 故扇形面积，故D正确． 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知不为奇函数，故A错误； 对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断， 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：当时，令， 因为，， 可知函数在内存在零点，即方程在内有根， 所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确； 对于选项D：若，则有： 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为， 所以方程有且仅有1个实数根，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】首先根据题意得到，且，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】由题知：为方程的根，则，， 所以. 所以， 当且仅当，即取等号. 所以的最小值为9. 故答案为：9 13. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 即存在，使， 此时，， 所以， 因此将问题转化为 存在，使成立， 设，则， ， 当，，单调递增， 所以， 即，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题. 14. 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断是的一个解，当时，将问题转化为有三个不同的解，构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解. 【详解】因为，所以， 所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解， 即当时，有三个不同的解. ，令， 当时，，且. 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且，当时，， 在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图： 由图知： 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意. 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求，的值 （2）若，求实数的值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）对分三种情况讨论，得到方程，解得即可； （3）分段说明函数的单调性，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 当时，，解得，不合题意； 当时，，即， 解得或，又，所以； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. 【小问3详解】 因为， 当时，则在上单调递增，所以； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以在上的最小值为； 综上可得，在上的最小值为. 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 令，， 则， 由可知，令，． 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即； 当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得， 即，所以. 故可证明. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后分及讨论即可得； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ，，则， 又在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 17. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. （1）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 【答案】（1） 1 2 3 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （2）（i）根据全概率公式进行计算即可；（ii）根据条件概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为， , 所以的分布列为 1 2 3 故. 【小问2详解】 记事件“小张回答类题”， “小张回答类题”，“小张回答论述题”. （i）由（1）知， 由题意知， 所以 . （ii）， 所以. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若函数仅有一个零点，求的取值范围； （3）若，，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域，解指数不等式即可求解； （2）根据指对互化，由题意可知仅有一个实数解，令，结合二次函数的图象即可求解； （3）根据复合函数的单调性可知为减函数，不妨设，则，不等式可化为，由题意进而得到，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 由题意得方程仅有一个实数解，即仅有一个实数解， 令，则在上仅有一个实数解， 而函数开口向上，对称轴为，且时，， 则或，即的取值范围为. 【小问3详解】 根据复合函数的单调性，易知在定义域上为减函数， 根据对数函数的定义域可知在上恒成立， 即在上恒成立，则， 不妨设，则，则可化为， 即，即，则， 即， 由题意知，，，则， 则， 则，，则，则， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若，且，求证：； （3）若方程有两个不同的实根，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，，在上恒成立， 所以在上单调递增，由于，， ，又因为，所以不妨设， 令， 则在上恒成立，所以在上单调递增， 即，即， 又，所以，即， 又因为在上单调递增，所以，即. （3） 【解析】 【分析】（1）先将问题转化成恒成立，再分离参数，转化求函数的最值即可. （2）先求导得到函数单调递增，再通过极值点偏移的对称，构造辅助函数把证明两个变量不等式问题转化为函数单调性问题. （3）先分离参数，由方程的解个数转化为两函数交点个数，得到第一个的取值范围，再通过换元，，，得到关于的函数，关于的函数，分别研究这两个函数的单调性，并求出最值，得到第二个关于的取值范围，最后得出结论即可. 【小问1详解】 已知函数，定义域为，， 由于函数在定义域上单调递增，所以在上恒成立，即， 又因为，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 方程可化简为，即，即， 令， 则方程有两个不同实根，等价于直线与曲线有两个不同交点， 由于，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值， 此外当时，；当时，， 所以与有两个不同交点，必须满足， 注意到，不妨设，令， 因为，所以，条件变为，即， 由得， 设，，则，，又 ， 所以，此时， ， 由于，则，令分子，则， 在时，，所以单调递减，，所以， 即在时单调递减，由于，当时，，所以对应， 由于，在内，，故随增大而增大， 当时，；当时，， 因此实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $