1.2《 整式的乘法》第二课时 教学课 件 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第一章 整式的乘除 2 整式的乘法 第2课时 单项式乘多项式、 多项式乘多项式 复习回顾 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与单项式相乘的运算法则是什么? 利用单项式与单项式相乘的运算法则计算： （1） （2） 乘法分配律 2.计算： 如果把数字换成单项式，乘法分配律在整式的乘法中是否同样适用？ 复习导入 m( a + b + c)= ma + mb + mc 问题 (1)如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积? 直接计算大长方形的面积 a(2b+3a) 2b 3a a A B 知识点 单项式与多项式相乘 问题 (1)如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A，B 组成的长方形区域的面积? 2b 3a a A B 先分别计算A，B长方形区域 的面积，然后相加即可. 2ab+3a2 5 (2)小明认为，这个长方形的面积既可以表示为a(2b+3a)，也可以表示为2ab+3a2，于是a(2b+3a)=2ab+3a2.你能用运算律解释吗? 知识点 单项式与多项式相乘 m( a + b + c)= ma mb mc + + a (2b+3a)= 2ab+3a² 类似的: 乘法分配律 6 例1 计算： (1) 2ab (5ab2 + 3a2b)； (2) ( －2ab) · ； 解：原式 = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b = 10a2b3 + 6a3b2. 解：原式 = 注意事项 注意事项 注意事项：1:结果的项数与所乘多项式的项数相等 2:多项式的每一项都包括前面的符号，还要注意单项式的符号，从而正确确定积的符号。 ①实质是乘法分配率，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再相加； ②单项式与多项式每一项分别相乘，不重复、不遗漏； ③积的项数与多项式的项数相同，最后的结果需要合并同类项； ④计算过程应该带符号运算。 归纳总结 单项式与多项式相乘 单项式乘多项式运算法则 文字表述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 符号表示： p(a+b+c)=pa+pb+pc（p，a，b，c都是单项式）。 1. 计算： (1)2x·(3x－1)＝________； (2)－x2(3－x)＝_________. 2. 计算： (1)3x(2x2－y)＝________； (2)－3m(m2－6m＋1)＝__________________. 6x2－2x －3x2＋x3 6x3－3xy －3m3＋18m2－3m 3. 计算： (1) ； 解：原式＝ ab2 · ab－2ab· ab＝ a2b3－a2b2. (2)2(x＋yz＋xy2)·xy. 解：原式＝2x·xy＋2yz·xy＋2xy2·xy ＝2x2y＋2xy2z＋2x2y3. 2. 计算：－2x2·( xy + y2 ) － 5x(x2y－xy2). 注意：(1) 将 2x2 与 5x 前面的“－”看成性质符号； (2) 单项式与多项式相乘的结果中，应将 同类项 合并. 解：原式 = (-2x2)·xy + (-2x2)·y2 + (-5x)·x2y + (-5x)·(-xy2) = -2x3y + (-2x2y2) + (-5x3y) + 5x2y2 = -7x3y + 3x2y2. 例题讲解 解方程：8x（5－x）=17－2x（4x－3） 解：去括号，得：40x－8x2=17－8x2+6x 移项,得:40x－8x2+8x2－6x=17 化简,得:34x=17 方程两边同时除以34，得:x= 例2 先化简，再求值： 5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算． 整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项． 当 a＝2 时，原式＝－82. ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 4. [2024宜宾期末] 若， ， 则与 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 由 的取值而定 5. 要使 的展开式中不含项，则 的值是( ) C A. B. 0 C. 2 D. 3 返回 14 6. 若，则 的值为( ) A A. 1 B. 3 C. D. 7. 已知 ，则 ____. 33 【点拨】 . 返回 15 归纳总结 单项式与多项式相乘的注意事项 (1) 单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式； (2) 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同； (3) 对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幂的乘方，有同类项的要及时合并同类项. (4)计算过程中应先确定每一项的符号，同号取正，异号取负. 多项式乘多项式 2 问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得长方形(图2)的面积怎样用不同形式表示? m n 图 1 m n a b 图 2 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗? 方法一：用不同的形式表示所拼图的面积： m n a b (m + a)( n + b) mn + mb + an + ab 于是得到 (m + a)( n + b)＝mn + mb + an + ab 合作探究 ＝ mn + mb + an + ab. (m + a)( n + b) ＝ m(n + b) + a( n + b) 方法二：把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律： m n a b 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗? 小组讨论得出结果. 议一议 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 追问：以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多 项式与多项式相乘的法则? 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 例3 计算：(1) (1－x)(0.6－x)； (2) (2x + y)(x－y)； 解： (1) 原式= 1×0.6－1×x－x · 0.6 + x · x = 0.6－x－0.6x + x2 = 0.6－1.6x + x2. (2) 原式= 2x·x－2x · y + y · x－ y · y = 2x2－2xy + xy－y2 = 2x2－xy－y2. 典例精析 解：原式= x · x2－x · xy + xy2 + x2y－xy2 + y · y2 = x3－x2y + xy2 + x2y－xy2 + y3 = x3 + y3. 注意：(1)漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成 最简形式(是同类项的要合并). (3) (x + y)(x2－xy + y2). 随堂练习 基础过关(P15) 2.计算： 新知探究 尝试思考（P15） 一长为a m、宽为b m的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为x m的正方形，正中间画面的面积是多少平方米？ 答：中间画面的面积是平方米。 直接求出长方形面积 正方形面积减去空白区域面积 方法一 方法二 整体 部分 b a x x 图1-6 24 课堂练习 独立完成（10min） 一、选择题 1. 计算 a(a－b) 的结果为（　C　） A. －a2－ab B. －a2＋ab C. a2－ab D. a2＋ab 2. 计算 (x－5y)(x＋4y) 的结果是（　C　） A. x2－20y2 B. x2－9xy－20y2 C. x2－xy－20y2 D. x2＋xy－20y2 C C 3. 若 (x＋k)(x－4) 的积中不含有x的一次项，则k的值为（　B　） A. 0 B. 4 C. －4 D. 2 B 二、填空题 4. 计算： (1) (2a－b)·(－2ab)＝ ⁠ ⁠； (2) (a＋1)(b＋1)＝ ⁠. 5. (1) 当x＝3 时，x(x＋1)－x2＝ ⁠； (2) 若xy＝12，x＋y＝13，则 (x＋1)(y＋1)＝ ⁠. －4a2b＋2ab2 ab＋a＋b＋1　 3　 26　 6. 某农户租两块土地种植沃柑.第一块是边长为am 的正方形，第二块是长为 (a＋10) m，宽为 (a＋5) m 的长方形，则第二块比第一块的面积多 m2. (15a＋50)　 三、解答题 7. 计算：(1) －a2b(2a－ab＋3b)；原式＝－2a3b＋a3b2－3a2b2. (2) (x＋1)2－x(x－2). 解：原式＝x2＋x＋x＋1－x2＋2x＝4x＋1. 解：(1) 原式＝－2a3b＋a3b2－3a2b2. (2) 原式＝x2＋x＋x＋1－x2＋2x＝4x＋1. 8. 先化简，再求值： (a－b)(a＋2b)－(3a＋b)(a－3b)， 其中a＝－2，b＝－1. ＝11. 解：原式＝a2＋2ab－ab－2b2－(3a2－9ab＋ab－3b2) ＝a2＋ab－2b2－3a2＋8ab＋3b2 ＝－2a2＋9ab＋b2. 当 a＝－2，b＝－1 时， 原式＝－2×(－2)2＋9×(－2)×(－1)＋(－1)2 ＝－8＋18＋1＝11. 随堂练习 3.如果整式的计算结果中不含项和x项，那么______. 能力提升 解： ， ∵结果中不含项和x项，∴，. ∴，， ∴. 故答案为：. 随堂练习 5.边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 能力提升 解析：由图可得：图中阴影部分的面积为 ， 故选：D. 30 拓展： （生独立思考，师生合作完成，3min） 2. 要使 x(x2 + a + 3) = x(x2 + 5) + 2(b + 2) 成立，则常数 a，b 的值分别为多少? 解：∵ x(x2 + a + 3) = x(x2 + 5) + 2(b + 2) ∴ x3 + (a + 3)x = x3 + 5x + 2(b + 2) 由题意得 (a + 3) = 5 2(b + 2) = 0 解得 a = 2 b = – 2 奖励题. 已知 ，那么代数式 的值是( ) 返回 32 课堂小结 多项式的乘法 单项式 乘多项式 多项式 乘多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 依据:乘法分配律 $