第四章相似三角形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

第四章 相似三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 比例线段 1.1 比例（四个数成比例） 把 ，，， 四个实数成比例表示成 ，或 ，其中 ， 称作内项，， 称作外项。 示例： 中，、 是内项，、 是外项。 1.2 比例的基本性质 的条件是 （，，， 都不为 ）。 示例：由 可得 。 1.3 两条线段的比 两条线段的长度的比叫作这两条线段的比。 示例：线段 ，，则 与 的比是 。 注意： 求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关。 1.4 比例线段 四条线段 ，，， 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四条线段 ，，， 叫作成比例的线段，简称比例线段。 示例：线段 ，，， 满足 ，它们是比例线段。 1.5 比例中项 如果三个数 ，， 满足比例式 （或 ），那么 就叫作 ， 的比例中项。 的条件是 。 示例：线段 ，，其比例中项线段为 （因为 ）。 1.6 黄金分割 如果点 把线段 分成两条线段 和 ，使 ，且 ，那么称线段 被点 黄金分割，点 叫作线段 的黄金分割点，所分成的较长一条线段 与整条线段 的比叫作黄金比。 黄金比 。 示例：线段 ， 是其黄金分割点且 ，则 ，。 2. 由平行线截得的比例线段 2.1 基本事实 两条直线被一组（不少于 条）平行线所截，所得的对应线段成比例。 示例：直线 截直线 、 于点 和 ，则 。 3. 相似三角形 3.1 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫作相似三角形。 示例：若 ，，，且 ，则 。 3.2 相似比 相似三角形对应边的比叫作相似比。 示例： 的相似比是 （或 ，）。 3.3 相似符号 相似用符号“”表示，读作“相似于”。用“”表示两个三角形相似时，都把对应顶点字母写在对应位置上。 3.4 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 示例：，则 ，。 4. 两个三角形相似的判定 4.1 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 示例：，分别交 、 于点 、，则 。 4.2 判定定理一（两角对应相等） 两个角对应相等的两个三角形相似。 示例：，，则 。 4.3 判定定理二（两边对应成比例且夹角相等） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 示例：，且 ，则 。 4.4 判定定理三（三边对应成比例） 三边对应成比例的两个三角形相似。 示例：，则 。 5. 相似三角形的性质 5.1 对应角平分线的比 两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 示例：，相似比为 ，角平分线 与 对应，则 。 5.2 对应高线的比 两个相似三角形的对应高线的比也等于相似比。 5.3 三角形的重心 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。三角形的重心分每一条中线成 的两条线段。 示例：、 是 的两条中线，交点为 ，则 。 5.4 周长之比 相似三角形的周长之比等于相似比。 5.5 面积之比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 示例：，相似比为 ，则周长之比为 ，面积之比为 。 6. 相似多边形 6.1 相似多边形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。相似多边形对应边的比也叫作相似比。 示例：四边形 四边形 ， 与 的比就是相似比。 6.2 相似多边形的性质 相似多边形的周长之比等于相似比，相似多边形的面积之比等于相似比的平方。 6.3 图形的相似 由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫作图形的相似。 7. 图形的位似 7.1 位似图形的定义 如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫作位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫作位似中心。 7.2 位似比 位似中心到两个对应点的距离之比叫作位似比。 7.3 位似与相似 位似多边形必定是相似多边形，位似比也就是相似比。位似比大于 时将图形放大，小于 时将原图形缩小。 7.4 以坐标原点为位似中心的坐标关系 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为 ，位似图形与原图形的位似比为 ，则位似图形上的对应点的坐标为 或 。 示例：以原点为位似中心、位似比为 时，点 的对应点坐标为 或 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相似三角形“对应线段”的统一结论 相似三角形的对应边、对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 ，周长的比也等于 ；面积的比等于 。 【使用提醒】 面积比是相似比的平方，与其余“对应线段之比”（一次方）不同，使用时勿混淆。 1.2 平行线分线段成比例的两个基本图形 “A 字型”：，分别交 两边 、 于点 、，则 。“8 字型”：， 与 交于点 ，则 。 1.3 等积式与比例式互化 由比例的基本性质， 与 （）等价：证等积式可转化为证比例式，即证四条线段所在的两个三角形相似。 1.4 直角三角形斜边上的高（母子相似） 在 中， 是斜边 上的高线，则 ，进而 ，，。 1.5 相似比的方向性 的相似比是 ，与 的相似比 互为倒数；全等三角形是相似比为 的相似三角形。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定三角形相似的思路 先看角（两角对应相等最简便），再看边（三边对应成比例），最后看边角结合（两边对应成比例且夹角相等）；所给的相等角必须是两对对应边的夹角。 2.2 证等积式（比例式）的步骤 把等积式化为比例式，确定四条线段所在的两个三角形，证明它们相似，由对应边成比例得证。 2.3 构造相似三角形的常用辅助线 过某点作三角形一边的平行线，构造“平行于三角形一边”的基本图形（A 字型、8 字型），从而得到相似三角形。如连结三角形两边中点得中位线，即得 A 字型。 2.4 利用相似求线段长的步骤 由相似三角形对应边成比例列比例式，代入已知线段，解方程求未知线段，最后检验结果是否符合实际（长度为正）。 3. 解题小技巧 技巧 要点 示例 找对应边先找对应角 对应角所对的边即对应边，先标出对应顶点 中 ，则 对应 面积比用平方 相似三角形面积比 相似比的平方 相似比 ，面积比 周长比用一次方 周长比 相似比 相似比 ，周长比 位似两种方向 以原点为位似中心， 与 对应两个反向位似图形 、 对应点 或 比例式十字相乘 由 立得 ，反向亦然 得 4. 常见考试模型 4.1 A 字型（正 A 型） 公式：，则 ，。 限定：、 分别在 、 上，。 示例：，，，则 。 4.2 8 字型（X 字型） 公式：， 与 交于 ，则 ，。 限定：，交点 在两线段之间或延长线上。 示例：，，，则 。 4.3 母子型（直角三角形斜边上的高） 公式： 中 （ 为斜边），则 ，，，。 限定：， 是斜边 上的高。 示例：，，则 。 4.4 测量模型（测高、测河宽） 公式：由相似三角形对应边成比例列 （影子法）等比例式求未知量。 限定：同一时刻物高与影长成正比；各线段在同一平面内构成相似三角形。 示例：标杆高 米、影长 米，树影长 米，则树高 米。 4.5 位似放大缩小模型 公式：以坐标原点为位似中心、位似比为 ，原图形点 的对应点为 或 。 限定： 放大， 缩小；位似中心为坐标原点。 示例：、，对应点为 或 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：相似比顺序颠倒 典例：已知 ，且 ，求 与 的相似比。 错解：相似比为 。 正解：相似比是前一个三角形的边比后一个三角形的对应边，即 ，所以相似比为 。 原因：概念顺序不清。学生把“”与“”两个方向的相似比混为一谈，没有抓住相似比的方向性——相似符号“”前后的三角形有先后之分，前者对应边在分子、后者在分母。 易错点 2：判定相似时漏掉“夹角相等” 典例：两边对应成比例的两个三角形一定相似吗？为什么？ 错解：一定相似（因为两边对应成比例）。 正解：不一定。必须是“两边对应成比例，且夹角相等”才相似；若相等的角不是这两组对应边的夹角，则三角形不一定相似。 原因：条件遗漏。学生把“两边对应成比例且夹角相等”压缩成“两边对应成比例”，丢掉了关键的“夹角”二字，根源是记判定定理不完整，误以为“边成比例”本身就足够判定相似。 易错点 3：面积比误当作相似比 典例：两个相似三角形的面积之比为 ，求它们的相似比。 错解：相似比为 。 正解：面积比等于相似比的平方，故相似比的平方为 ，所以相似比为 。 原因：记忆混淆。学生把“面积之比等于相似比的平方”记成了“面积之比等于相似比”，根源是相似三角形的周长比（一次方）与面积比（平方）两条性质混淆，没有区分“对应线段之比”与“面积之比”两个量纲。 易错点 4：黄金分割的比例式写反 典例：点 是线段 的黄金分割点，，写出黄金分割的比例式。 错解：。 正解：黄金分割要求较短线与较长线之比等于较长线与整条线之比，即 。 原因：概念理解错误。学生只记住“两条线段之比”，没有抓住黄金分割的核心是“较短段 : 较长段 = 较长段 : 整段”，把 与 的位置写反，根源是未理解黄金分割点把线段分成长短两段后，较长段 是 与 的比例中项。 易错点 5：平行线截线段找错对应线段 典例：如图，，、 交于点 ，由 写出对应边成比例的比例式。 错解：写成 （把 与 误作对应边）。 正解：由 得 ，故 。 原因：对应边找错。学生没有先确定“对应顶点”（ 对 、 对 、 对 ）就盲目写比例式，把公共点 所在的两条边 、 与外侧的 、 交叉对应，根源是缺少“先标对应顶点、再由对应角找对应边”的习惯。 易错点 6：位似图形漏掉反向情形 典例：以坐标原点 为位似中心，把点 放大到位似比为 的位似图形，求对应点坐标。 错解：对应点坐标为 。 正解：对应点坐标为 或 。以原点为位似中心时，位似比为 的对应点坐标为 或 ，两种情况分别在原点的同侧和异侧。 原因：漏分类讨论。学生只想到“同侧放大”这一种方向，忘了位似图形还有“反向（异侧）”的对应点，根源是记坐标关系 时漏掉了 这一分支，没有意识到位似变换可沿位似中心反向进行。 学科网（北京）股份有限公司 $