第三章圆的基本性质（期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

第3章 圆的基本性质　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 圆的有关概念 1.1 圆的定义 在同一平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一端点 所经过的封闭曲线叫作圆，定点 叫作圆心，线段 （不论转到什么位置）叫作圆的半径。以点 为圆心的圆，记作”“，读作”圆 “。 示例：以点 为圆心、 为半径的圆记作 ；圆上任意一点到圆心 的距离都等于 。 1.2 弦与直径 连结圆上任意两点的线段 叫作弦。经过圆心的弦 叫作直径。显然，直径等于半径的 倍。 图1：圆的弦与直径 示例：图 1 中 是弦， 是直径；若半径 ，则直径 。 1.3 弧、半圆、劣弧与优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。小于半圆的弧叫作劣弧，劣弧用弧两端的两个字母表示，如劣弧 记作 ，读作”弧 “；大于半圆的弧叫作优弧，半圆和优弧用弧两端的字母和弧中间的一个字母表示，如以 ， 为端点的优弧记作 ，读作”弧 “。 示例：直径 把圆分成两条半圆；图 1 中 是劣弧， 是优弧。 1.4 等圆与等弧 半径相等的两个圆能够完全重合。我们把半径相等的两个圆叫作等圆。类似地，我们把能够重合的圆弧称为等弧。 示例：半径都是 的两个圆是等圆；在两个等圆中，度数相等的两条弧能够重合，是等弧。 1.5 点与圆的位置关系 一般地，如果用 表示圆的半径， 表示同一平面内点到圆心的距离，那么点与圆的位置关系由 与 的大小确定： 条件 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 示例： 的半径为 ，当 时点 在圆上； 时点 在圆外； 时点 在圆内。 1.6 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 示例：过不在同一条直线上的三个点 ，， 能作且只能作一个圆；过同一条直线上的三个点不能作圆。 1.7 三角形的外接圆与外心 经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫作三角形的外心，三角形叫作圆的内接三角形。 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 示例：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 2. 圆心角 2.1 圆的对称性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合。 示例：把圆绕圆心旋转 或任意角度，所得的图形都与原图形重合。 2.2 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角。 示例：图 2 中 ， 的顶点都在圆心 ，它们都是圆心角。 2.3 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 图2：圆心角定理 示例：若 ，则 ，且弦 弦 。 2.4 弦心距 圆心到圆的一条弦的距离叫作弦心距。 示例：过圆心 作弦 的垂线，垂足为 ，则垂线段 的长就是弦 的弦心距。 2.5 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 示例：在同圆中，若弦 弦 ，则 ，，且这两条弦的弦心距相等。 2.6 弧的度数 圆心角所对的弧叫作 的弧； 的圆心角所对的弧就是 的弧。 示例： 的圆心角所对的弧是 的弧。 3. 垂径定理 3.1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。 示例：圆的对称轴有无数条，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。 3.2 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 图3：垂径定理 示例：图 3 中 是直径， 于点 ，则 ，，。 3.3 弧的中点 分一条弧成相等的两条弧的点，叫作这条弧的中点。 示例：图 3 中 是 的中点， 是 的中点。 3.4 垂径定理的推论 定理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 示例：图 3 中，若直径 平分弦 （ 不是直径），则 ；若直径 平分 ，则 垂直平分弦 。 注意：定理 1 中”弦不是直径”这一条件不能省略，因为任意一条直径都平分另一条直径，但两条直径不一定互相垂直。 4. 圆周角 4.1 圆周角的定义 顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角，叫作圆周角。 示例：图 4 中 的顶点 在圆上，两边 ， 都与圆相交， 是圆周角。 4.2 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 图4：圆周角定理 示例：图 4 中 与 分别所对同一条弧，则 。 4.3 圆周角定理的推论（一） 直径所对的圆周角是直角。 的圆周角所对的弦是直径。 示例：若 是 的直径，则 ；反过来，若 ，则 是 的直径。 4.4 圆周角定理的推论（二） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 示例：同圆中同一条弧所对的各个圆周角都相等；若 ，则它们所对的弧相等。 5. 圆内接四边形 5.1 圆内接四边形与四边形的外接圆 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。 示例：四边形 的四个顶点都在 上，则四边形 是 的内接四边形， 是四边形 的外接圆。 5.2 圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补。 示例：四边形 内接于 ，则 ，。 6. 正多边形 6.1 正多边形的定义 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形。 示例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形都是正多边形。 6.2 正多边形的外接圆 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫作圆内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆。 示例：正六边形的外接圆半径等于它的边长。 7. 弧长及扇形的面积 7.1 弧长公式 在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长 的计算公式为： 示例：半径为 的圆中， 圆心角所对的弧长 。 7.2 扇形面积公式 如果扇形的半径为 ，圆心角为 ，扇形的弧长为 ，那么扇形面积 的计算公式为： 图5：扇形面积 示例：半径为 、圆心角为 的扇形面积 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 垂径定理的勾股关系 半径为 ，弦长为 ，弦心距为 时，，已知其中任意两个量可求第三个量。 【使用提醒】垂径定理要求”过圆心作弦的垂线”（即直径垂直于弦）； 是半弦长，弦长为 ，计算时勿把半弦当全弦。 1.2 同圆中平行弦所夹的弧相等 在同圆中，若弦 ，则 。 1.3 直径对直角，直角对直径 见到直径，连结圆上一点与直径的两个端点，即构造出直角三角形，可继续用斜边中线、勾股定理等；见到直角，可联想以斜边为直径的圆，此时斜边中点到三个顶点距离相等。 1.4 圆内接四边形的外角等于内对角 圆内接四边形 中，延长 到点 ，则 ，即任一外角等于它的内对角。 1.5 同弧所对圆周角相等（证角等、证线等的桥梁） 证角相等或线段相等时，寻找两角所对的公共弧（或等弧），把问题转化为同弧所对的关系，实现角的转移，再由角相等推线段相等。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 已知半径与弦求弦心距（或弦长） 过圆心作弦的垂线 → 由垂径定理得半弦 → 用 列式求解。如半径 、弦心距 ，则弦长 。 2.2 证明两条弦（或弧）相等 首选同圆或等圆中的”圆心角、弧、弦、弦心距”知一推三；或证同弧所对圆周角相等；或证圆心到两弦的弦心距相等。 2.3 求圆中角度的思路 先辨角型：圆心角等于所对弧的度数，圆周角等于所对弧度数的一半；再结合”直径对直角”“圆内接四边形对角互补”“同弧所对圆周角相等”转移角。 2.4 证明四点共圆 方法一：证四点到某定点（圆心）的距离相等；方法二：证四边形一组对角互补；方法三：证同侧两角相等（同弧所对的圆周角相等）。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 弧长公式变形 ，已知 ，， 中两个求第三个；求圆心角用 ， 时 扇形面积两公式 知圆心角用 ；知弧长用 半径 ， 扇形 弓形面积 弓形 扇形 三角形（劣弧所对弓形用减，优弧所对弓形用加） 半径 、圆心角 的弓形 扇形 三角形 4. 常见考试模型 4.1 垂径定理 + 勾股（弦、弦心距、半径互求） 公式：（ 为半径， 为弦心距， 为弦长）。 限定：弦不是直径；所求长度须为正数。 示例：如排水管截面半径 ，水面宽 ，则圆心到水面的距离 。 4.2 圆周角与圆心角的度数互求 公式：同一条弧所对的圆心角 圆周角；弧的度数 圆心角的度数。 限定：必须是同一条弧（或等弧）所对的角。 示例：如一条弧所对的圆周角为 ，则它所对的圆心角为 。 4.3 圆内接四边形求角 公式：；外角 内对角。 限定：四个顶点必须在同一个圆上。 示例：如圆内接四边形中 ，则 。 4.4 弧长与扇形面积的实际应用 公式：弧长 ；扇形面积 。 限定：单位统一， 为圆心角的度数；实际问题的解要检验是否合乎题意。 示例：如汽车过弯道求圆心角、 跑道起跑线位置、折扇与团扇面积比较等。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：搞反”弦”与”直径”的包含关系 典例：判断命题”弦是直径”是否正确，并说明理由。 错解：正确。因为直径也是弦，所以弦就是直径。 正解：不正确。连结圆上任意两点的线段都叫作弦；经过圆心的弦才叫作直径。所以直径是弦，但弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径。 原因：概念包含关系搞反。学生把”直径是弦”错误地倒过来理解成”弦是直径”，没有抓住”直径必须经过圆心”这个特殊条件。凡判断概念间包含关系，都要先写清各自的定义，再看谁的范围更大：所有直径都是弦，但弦中还包含大量不过圆心的线段。 易错点 2：“平分弦的直径垂直于弦”漏掉”不是直径” 典例：判断命题”平分弦的直径垂直于弦”是否正确。 错解：正确。这是垂径定理的推论。 正解：不正确。垂径定理的推论是”平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”。当被平分的弦本身是直径时，另一条直径平分它，但两条直径不一定互相垂直。 原因：忽略定理的隐含前提。学生只记住了”平分弦的直径垂直于弦”这一结论，把括号里”不是直径”的限制条件丢掉了。凡定理中带括号的限定词都是成立条件，不能省略；验证时可用”两条互相不垂直的直径”作反例。 易错点 3：圆周角与圆心角的数量关系搞反 典例：一条弧所对的圆心角为 ，求这条弧所对的圆周角的度数。 错解：圆周角的度数 。 正解：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，即 。 原因：圆周角定理记忆颠倒。学生把”圆心角是圆周角的 2 倍”与”圆周角是圆心角的一半”混为一谈，看见”圆周角、圆心角”就机械地乘 2。可先判断两个角中谁”张得更大”：同一条弧所对的圆心角一定大于圆周角，所以是圆心角 圆周角，圆周角 圆心角。 易错点 4：“等弧”遗漏”同圆或等圆”的前提 典例：判断命题”度数相等的两条弧相等”是否正确。 错解：正确。度数相等的弧就是等弧。 正解：不正确。等弧是指”能够重合的圆弧”，只有在同圆或等圆（半径相等）中，度数相等的弧才能重合、才相等。半径不同的两个圆中，度数相等的弧长度不同，并不相等。 原因：忽略”同圆或等圆”这一前提。学生把”弧的度数”与”弧本身”画等号，忘记了”相等的弧”不仅度数相等，还必须长度相等、能够重合。凡涉及”相等的弧、弦、圆心角、圆周角”之间的推证，都要先确认它们处于同圆或等圆之中。 易错点 5：垂径定理计算弦长时忘记乘 2 典例： 的半径为 ，弦 的弦心距为 ，求弦 的长。 错解：。 正解：过圆心 作 于点 ，则 ，所以弦 。 原因：把”半弦”当”全弦”。垂径定理给出的是”垂直平分”，勾股定理求出的只是弦的一半，学生求出半弦后忘记乘 2。凡用垂径定理加勾股求弦长，都要最后把半弦乘 2 才是弦长。 易错点 6：圆内接四边形”对角互补”误用成”邻角互补” 典例：圆内接四边形 中，，，求 的度数。 错解： 与 互补，所以 。 正解：圆内接四边形的对角互补，即 ，，所以 ，。 原因：把”对角互补”错记成”邻角互补”。学生对”内接四边形的对角互补”记忆不牢，下意识套用了普通四边形的邻角关系。可这样记：内接四边形中”面对面”的两个角（对角）互补，而不是”肩并肩”的两个角（邻角）互补。 学科网（北京）股份有限公司 $