第二章随机事件的概率（期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

第二章 随机事件的概率　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 随机事件 1.1 必然事件、不可能事件、随机事件 在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫作必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作不确定事件或随机事件。 示例：“5 月 1 日的前一天是 4 月 30 日”是必然事件；“太阳从西边升起”是不可能事件；“明年元旦是晴天”是随机事件。 注意：判断事件类别必须限定在“一定条件下”，同一现象在不同条件下可能属于不同类别。 1.2 列表法和画树状图法 列表或画树状图是用来确定事件发生的所有可能结果的常用方法，它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观具体又条理分明。 示例：一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球（分别记为红球 1、红球 2），摸出 1 个球、放回、摇均匀后再摸出 1 个球，用列表或画树状图可确定共有 9 种可能的结果。 1.3 比较事件发生的可能性大小 事件发生的可能性大小往往是由事件发生的条件来决定的，因此可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响来比较事件发生的可能性大小。 示例：某路口直行红绿灯设置为红灯 30 秒、绿灯 20 秒、黄灯 4 秒，人或车随机经过时遇到红灯的可能性最大、遇到黄灯的可能性最小，因为红灯持续的时间最长、黄灯最短。 2. 简单随机事件的概率 2.1 概率的定义 在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用 表示。事件 发生的概率记为 。 示例：随机抛掷一枚均匀的硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，且这两种可能发生的条件相同，因此正面朝上的概率是 ，即 。 2.2 概率的范围 一般地，必然事件发生的概率为 100%，即 ；不可能事件发生的概率为 0，即 ；而随机事件发生的概率介于 0 与 1 之间，即 。 示例：随机抛掷一枚均匀的骰子，“点数为 3”的概率 ，介于 0 与 1 之间；“点数不超过 6”是必然事件，概率为 1。 2.3 简单随机事件的概率公式 如果事件发生的所有可能结果的个数有限，各种结果的可能性相等且互相排斥，结果总数为 ，事件 包含其中的结果数为 ，那么事件 发生的概率为 示例：从 3 个箱子中任选 1 个（可能性相等且互相排斥），结果总数 ，事件 包含其中的结果数 ，所以 。 注意：运用公式 求简单随机事件发生的概率时，首先应确定所有结果的可能性都相等，然后确定所有可能的结果总数 和事件 包含的结果数 。 3. 用频率估计概率 3.1 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 示例：数学家们曾做过成千上万次抛硬币的试验，随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率稳定在 附近。 注意：频率是试验得到的实际比值，随试验次数而变化；概率是事件本身的属性，是一个稳定值。只有大量重复试验后，频率才趋于稳定、接近概率。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 互补事件的概率 事件 与“ 不发生”两者必居其一且互不重叠。若结果总数为 ，事件 包含其中的结果数为 ，则“ 不发生”包含 个结果，于是“ 不发生”的概率为 。 1.2 互斥事件的概率相加 若事件 、 互相排斥（不含共同结果），则“事件 或事件 ”包含的结果数等于两者结果数之和，其概率为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求简单随机事件概率的规范步骤 先判断所有结果是否等可能，再用列表或树状图确定结果总数 和事件 包含的结果数 ，最后代入 。如求“小明与小慧同车”的概率：两人各从 3 辆车中任选，列表得 、“同车”的结果数 ，故 。 2.2 列举法的选择与“放回、不放回”的区分 放回型（各次选择相互独立）结果总数 （、 为各步可能数），列表法方便；不放回型（第二次不能再取同一对象）结果总数减少，画树状图更直观、便于排除重复。如 1 白 2 红摸球 2 次：放回时 ，不放回时 。 2.3 判断游戏是否公平 分别算出各方的获胜概率，概率相等则公平，不相等则不公平。如“配紫色”游戏，若小明胜、小李胜的概率都等于 ，则游戏公平。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 同色球编号 多个同色球要分别编号，否则会漏数、把多个结果当成一个 1 白 2 红摸 1 球共 3 种结果，不是 2 种 转盘先等分 圆心角不等的扇形先等分成面积相等的小扇形，才能套 白 120°、红 240° 先分成 3 个 120° 扇形 放回与不放回 放回各次结果独立、总数相乘；不放回第二步总数减 1 摸 2 球：放回 ，不放回 列表 / 树状图防重漏 按固定顺序逐一列举，用表格行列、树状图分支保证不重不漏 “一正一反”含“正反”“反正”两种结果 取频率稳定值估计概率 大量重复试验后频率趋于稳定，取稳定值估计概率 抛硬币频率稳定在 4. 常见考试模型 4.1 摸球模型（放回 / 不放回） 公式：等可能摸球，放回型结果总数 ，不放回型 （ 为球的总数， 为第二次可摸球数），。 限定：同色球必须编号；不放回时第二次的结果随第一次变化。 示例：如 1 白 3 红摸 2 次（放回）共 种，“摸出 1 红 1 白”有 6 种，。 4.2 转盘模型（几何概率） 公式：扇形面积相等时，指针落在某区域的概率 ，其中 为该区域圆心角的度数。 限定：圆心角不等的扇形须先等分，保证各结果等可能后才能套用。 示例：如白色 120°、红色 240°，指针落在白色区域的概率 。 4.3 两人选择问题（同车 / 同航班） 公式：两人各在 种选择中任选一种，共 种等可能结果，其中“两人选择相同”有 种，。 限定：两人选择相互独立，且每种选择等可能。 示例：如小明、小慧各任选 3 辆车之一，同车概率 。 4.4 抽卡片 / 组数 / 奇偶问题 公式：用列表或树状图列出所有结果，数出满足条件的结果数 ，代入 。 限定：放回时同一数字可重复出现；组两位数时十位数字不能为 0。 示例：如从 2、3、5、8 抽 2 次（放回）组两位数，共 种，“两位数是奇数”看个位为 3 或 5 的结果数。 4.5 标记重捕模型（用频率估计总体数量） 公式：总体中标记个体占比约等于样本中标记个体占比，即 ，故 （ 为总体数量， 为标记数量， 为样本数， 为样本中标记数）。 限定：标记个体放回后须与总体充分混合，且抽样随机；结果为估计值。 示例：如渔场标记 200 条鱼放回，再捞 1 000 条中带标记 22 条， 条。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略“等可能”前提，把“一正一反”当成一种结果 典例：抛掷两枚均匀硬币，求“一枚正面朝上、一枚反面朝上”的概率。 错解：硬币落地后朝上一面有三种情况：全是正面、一正一反、全是反面，所以概率为 。 正解：两枚硬币分别记为甲、乙，所有等可能的结果有 4 种：甲正乙正、甲正乙反、甲反乙正、甲反乙反。“一枚正面、一枚反面”包含“甲正乙反”“甲反乙正”2 种，所以 。 原因：概念理解错误。把“一正一反”笼统当成一种结果，忽略了甲正乙反与甲反乙正是两种不同的等可能结果。用 求概率的前提是列出的每一种结果发生的可能性都相等，“三种情况”并不等可能（“一正一反”实际占两种）。两枚（或两次）试验要先区分对象、分别列举，才能保证结果等可能。 易错点 2：摸球“放回”与“不放回”混淆，结果总数算错 典例：一个袋中有 1 个白球、2 个红球（除颜色外都相同），从中摸出 2 个球（不放回），求两次都摸到红球的概率。 错解：共有 种结果，两次都摸到红球有 种，所以 。 正解：不放回时第二次可摸的球减少。两次都摸到红球，等价于第一次摸到红球（概率 ）后，第二次在剩下的 1 白 1 红中再摸到红球（概率 ），所以 。也可用列表（划去两次摸同一球的对角线）得总结果 6 种、两次红球 2 种，。 原因：忽略隐含条件。学生套用“放回”情形，默认两次摸球相互独立、总数不变；实际“不放回”时第二次的可摸球数比第一次少 1。凡摸球、抽卡片等“取后是否放回”必须首先看清，放回与不放回的结果总数不同。 易错点 3：把频率当作概率，认为个别试验的频率一定等于概率 典例：任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为 1 的概率为 。判断下列说法是否正确：“任意抛掷 12 次，朝上面的点数为 1 的次数一定为 2 次。” 错解：正确。因为点数为 1 的概率是 ，所以抛 12 次就出现 次。 正解：不正确。概率 表示大量重复试验时点数为 1 的频率稳定在 附近，是长期趋势的估计值；具体某 12 次中，点数为 1 的次数可能不是 2 次，只能说“大约为 2 次”。如说“抛 1 200 次大约出现 200 次”才合理。 原因：概念混淆。学生把“概率”直接当成“频率”，认为概率能精确预测试验结果。概率是事件固有的属性，频率是试验得到的实际比值，个别、少量试验中频率可能偏离概率，只有大量重复试验后频率才稳定在概率附近。凡“一定出现几次”的绝对化表述都要警惕。 易错点 4：转盘扇形圆心角不等，未等分就直接套等可能公式 典例：一个转盘被分为红色（圆心角 120°）和蓝色（圆心角 240°）两部分，转盘自由转动 1 次，求指针落在红色区域的概率。 错解：转盘只有红、蓝两种结果，所以 。 正解：指针落在红、蓝两区域的可能性不相等，不能直接数“两种结果”。把蓝色扇形等分成 2 个圆心角 120° 的扇形，转盘被分为 3 个相等的扇形，落在红色区域占 1 份，所以 。 原因：忽略等可能前提。学生只数“结果有几种”，忽视了各结果必须等可能。转盘问题中指针落在某区域的可能性大小由扇形圆心角（面积）决定，圆心角不等时必须先等分，使各结果等可能，才能用 。 易错点 5：事件类型判断错误，把“可能性很大”当作“必然事件” 典例：判断下列事件的类型：“射击运动员射击一次，命中 10 环。” 错解：命中 10 环是必然事件（因为运动员水平高、命中可能性大）。 正解：射击一次可能命中 10 环，也可能不命中 10 环，结果不确定，是随机事件（不确定事件）。 原因：概念理解错误。学生把“可能性很大”“很可能会发生”等同于“一定会发生”。必然事件要求“在一定条件下一定发生”，不存在任何不发生的可能；随机事件是“可能发生也可能不发生”，与可能性大小无关。判断事件类型只看“是否一定发生 / 一定不发生 / 可能发生也可能不发生”，不能受主观感觉、可能性大小的影响。 学科网（北京）股份有限公司 $