第二章特殊三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

第2章 特殊三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 图形的轴对称 1.1 轴对称图形 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 示例：长方形是有两条对称轴的轴对称图形；正方形是有四条对称轴的轴对称图形；圆也是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴。 1.2 轴对称图形的性质 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 示例：若点 与点 关于直线 对称，则直线 垂直平分线段 。 1.3 图形的轴对称 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。 示例： 与 关于直线 成轴对称，直线 是它们的对称轴。 1.4 图形的轴对称的性质 成轴对称的两个图形是全等图形。 示例：若 与 关于直线 成轴对称，则 。 2. 等腰三角形 2.1 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 示例：在 中，若 ，则 是等腰三角形。 注意：等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 示例：等腰三角形 中 ，则 、 是腰， 是底边， 是顶角，、 是底角。 2.2 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 示例：若 ，则 是等边三角形。 2.3 等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 示例：在等腰三角形 中，，作顶角 的平分线 ，则直线 是 的对称轴。 3. 等腰三角形的性质定理 3.1 等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 示例：在 中，若 ，则 。 3.2 等边三角形的性质 等边三角形的各个内角都等于60°。 示例：若 是等边三角形，则 。 3.3 等腰三角形的性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 示例：在 中，，若 是顶角 的平分线，则 也是底边 上的中线和高线，即 且 。 注意：”三线合一”是等腰三角形特有的性质，使用前必须先确认三角形是等腰三角形。 示例：若 是等腰三角形 （）底边 上的中线，则由”三线合一”知 也是顶角平分线和高线。 4. 等腰三角形的判定定理 4.1 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。上述判定定理可以简单地说成在同一个三角形中，等角对等边。 示例：在 中，若 ，则 ，即 是等腰三角形。 4.2 等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 示例：若 ，则 是等边三角形；若 且 ，则 是等边三角形。 5. 逆命题和逆定理 5.1 逆命题 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。 示例：命题”两直线平行，同位角相等”与命题”同位角相等，两直线平行”互为逆命题。 注意：每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。 示例：命题”如果 ，那么 “是真命题，而它的逆命题”如果 ，那么 “是假命题。 5.2 逆定理 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 示例：”等腰三角形的两个底角相等”的逆命题”有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题，因此这两个定理互为逆定理。 5.3 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 示例：已知 ，则点 在线段 的垂直平分线上。 6. 直角三角形 6.1 直角三角形的定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。直角三角形可以用符号”“表示。 示例：在 中，若 ，则 是直角三角形，可记为 。 6.2 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角互余。 示例：在 中，，则 。 6.3 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 示例：在 中，， 是斜边 的中点，则 。 6.4 直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 示例：在 中，若 ，则 ， 是直角三角形。 7. 探索勾股定理 7.1 勾股定理 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果 、 为直角三角形的两条直角边的长， 为斜边的长，那么 示例：在 中，，，，则 。 7.2 勾股定理的逆定理 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 示例：以 ，， 为边的三角形，因为 ，所以它是直角三角形。 8. 直角三角形全等的判定 8.1 直角三角形全等的判定定理（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成”斜边、直角边”或”“）。 示例：在 与 中，，若 ，，则 （）。 8.2 角平分线性质定理的逆定理 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 示例：点 在 的内部，，，若 ，则点 在 的平分线上。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为 。 1.2 等腰直角三角形的性质 等腰直角三角形的两个锐角都等于 ，斜边是直角边的 倍，即三边之比为 。 1.3 含30°、60°角的直角三角形三边之比 三个角分别为 、、 的直角三角形，三边之比为 。 1.4 直角三角形斜边中线产生的两个等腰三角形 直角三角形斜边上的中线把原直角三角形分成两个等腰三角形，斜边中点到三个顶点的距离相等（都等于斜边的一半）。 1.5 常见勾股数 满足 的三个正整数 、、 叫作勾股数。常见的有 ；；；，以及它们的正整数倍。 1.6 勾股数的一般公式 当 ，且 、 为正整数时，，， 构成一组勾股数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 等腰三角形”已知两边求周长”的分步法 先分”哪条边是腰”讨论，再逐一检验能否构成三角形（任意两边之和大于第三边），最后求周长。如两边为 、：腰为 时 不能构成三角形，舍去；腰为 时周长为 。 2.2 等腰三角形”已知一角求其余角”的分步法 先分”已知角是顶角还是底角”讨论：设已知角为 ，若 是顶角，则底角 ；若 是底角，则另一个底角也是 ，顶角 。如一个内角为 ，其余两角为 、 或 、。 2.3 勾股定理求边长 在直角三角形中已知任意两边求第三边：斜边 ，直角边 。注意边长取正值。如 ，，则 。 2.4 用勾股定理逆定理判定直角三角形的规范步骤 先找出最大边，再看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方：相等则是直角三角形，不等则不是。如 ，故以 为边的三角形是直角三角形。 2.5 最短路线（饮马）问题的作法 求一点经直线上某点到另一点的最短折线：作其中一点关于直线的对称点，连结对称点与另一点交直线于一点，该交点即为转折点，此时折线最短。 3. 解题小技巧 技巧 要点 示例 “三线合一”连锁识别 等腰三角形中，中线、高线、顶角平分线”知一得二” 已知等腰三角形底边上的中线，则它同时也是高线和顶角平分线 特殊直角三角形边长比 、、 对应 ；、、 对应 已知 所对的直角边为 ，则斜边为 、另一直角边为 勾股数倍数速判 三边同乘一个正整数仍是勾股数 是 的 倍 斜边中线即”半径” 直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等，都等于斜边的一半 4. 常见考试模型 4.1 图形折叠模型 沿折痕折叠，折痕垂直平分对应点的连线，折叠前后两部分全等。求折叠后的线段或角，先由对称找相等关系，再结合勾股定理或三角形性质计算。 4.2 “角平分线＋平行线”出等腰三角形 若一条角平分线与一条平行线相交，往往构造出等腰三角形（等角对等边）。如 平分 且 ，则 是等腰三角形。 4.3 勾股定理实际应用模型 梯子靠墙、芦苇出水、旗杆折断等，关键是构造直角三角形，明确已知边与所求边，用勾股定理列方程求解。注意：求出的边长取正值，并回到实际问题检验是否符合实际。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：已知等腰三角形两边长求周长，漏了”能否构成三角形”的检验 典例：等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，求它的周长。 错解：分两种情况：腰为 时，周长 ；腰为 时，周长 。所以周长为 或 。 正解：若腰为 ，则三边为 ，因为 ，不满足”三角形任意两边之和大于第三边”，不能构成三角形，舍去；若腰为 ，则三边为 ，满足构成条件，周长为 。所以这个等腰三角形的周长为 。 原因：忽略隐含条件。学生只记住了”等腰三角形两边相等”的表层特征，却忘了任何三角形（包括等腰三角形）都必须满足”任意两边之和大于第三边”这一基本条件。分类讨论后，必须把每组边长代回三角形三边关系检验，剔除不能构成三角形的情况。 易错点 2：已知等腰三角形一个内角求其余角，漏了”顶角/底角”分类讨论 典例：等腰三角形的一个内角为 ，求其余两个内角的度数。 错解：其余两个角是底角，所以它们各为 ，即其余两角都是 。 正解：① 若 是顶角，则两个底角各为 ；② 若 是底角，则另一个底角也是 ，顶角为 。所以其余两个内角为 、 或 、。 原因：漏分类讨论。学生默认”已知的内角”是顶角，忽略了它也可能是底角。等腰三角形中，已知一个内角求其余角，必须分”该角是顶角还是底角”两种情形，否则会漏掉一整组答案。 易错点 3：用勾股定理逆定理判定时，不先找最大边，把”直角边”和”斜边”弄反 典例：判断以 ，， 为边的三角形是不是直角三角形。 错解：因为 ，所以这个三角形不是直角三角形。 正解：先确定最大边为 。因为 ，两条较短边的平方和等于最长边的平方，所以这个三角形是直角三角形。 原因：审题与概念错误。勾股定理逆定理说的是”两条较短边的平方和等于最长边的平方”，必须先找出最大边再检验。学生机械地把题给的前两个数 、 当作”两条直角边”、把第三个 当作斜边，把直角边和斜边张冠李戴，导致误判。 易错点 4：判定等边三角形时，漏掉”等腰”这一前提 典例：判断命题”有一个角是 的三角形是等边三角形”是否正确。 错解：正确。有一个角是 ，其余两个角的和为 ，这个三角形就是等边三角形。 正解：错误。“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”才是真命题。仅有一个角是 的一般三角形不一定是等边三角形，例如三个角分别为 、、 的三角形就不是等边三角形。 原因：条件遗漏。学生把”有一个角是 的等腰三角形”这个完整命题，简化成了”有一个角是 的三角形”，丢掉了”等腰”这一决定性条件。等边三角形的判定中，“等腰”是基础，“”是附加条件，两者缺一不可。 易错点 5：已知直角三角形两边求第三边，忘记讨论”斜边是哪条” 典例：直角三角形中，两条边的长分别为 和 ，求第三条边的长。 错解：由勾股定理，第三条边 。 正解：① 若 、 是两条直角边，则斜边 ；② 若 是斜边， 是直角边，则另一条直角边 。所以第三条边长为 或 。 原因：条件遗漏、漏分类讨论。学生默认”已知的两条边都是直角边”，忽略了题中只说”两条边”而未指明谁是斜边：当 是斜边时，另一条直角边为 。已知直角三角形两边求第三边，必须先判断已知两边中是否有斜边，再决定用”两直角边平方和”还是”斜边平方减直角边平方”。 学科网（北京）股份有限公司 $