专题35 随机变量及其分布（练习）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题35 随机变量及其分布 1．连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 3．已知，若，，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 5．随机变量 的分布列如下表所示: 1 2 3 4 0.3 0.1 则 （     ） A．2 B．2.4 C．2.6 D．2.8 6．已知随机变量，若，若，则（    ） A． B． C． D． 7．下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) （1）抛5颗骰子得到的点数和； （2）某人一天内接收到的电话次数； （3）某地一年内下雨的天数； （4）某机器生产零件的误差数. A．(1)(2)(3) B．(4) C．(1)(4) D．(2)(3) 8．若随机变量，且，则______． 9．已知随机变量服从两点分布，且，则________． 10．已知随机变量且，则_____________． 11．已知随机变量的分布列为 0 1 那么的数学期望_________，设，则的数学期望是_________． 12．已知随机变量，且，则__________． 13．已知随机变量，随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9 14．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.4 0.1 则随机变量的期望等于（    ） A． B． C． D． 15．已知随机变量X~，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 16．有10000人参加某次考试，其成绩近似服从正态分布．.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（　　） A．10 B．30 C．15 D．23 17．下列命题正确的个数是（    ） （1）若事件A与B互斥，则 （2）若事件A与B相互独立，则 （3）若随机变量，则 （4）若随机变量Y的方差，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．已知随机变量满足，随机变量，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 19．已知随机变量的分布列如下表： 1 0 则______． 20．已知随机变量的分布列如下表，若，则____________． 0 1 a 21．随机变量X的分布列如下：则________． X 1 2 P 22．某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共2000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 23．对于某局游戏，成功概率为，失败概率为，不断进行该游戏，直到失败时停止游戏，各局游戏相互独立，设表示总共进行的局数，求. 24．随机变量X的分布列为，，．求． 1.（2024·天津·真题T14）设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题35 随机变量及其分布 1．连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】构造表示正面向上次数的二项分布随机变量，建立总得分与该变量的线性关系，结合期望的线性运算性质求解. 【详解】设为4次抛掷中正面向上的次数，由题意得，所以， 设总得分为，则， 所以 . 2．若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量性质建立方程求解参数，再结合对立事件概率性质求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的所有概率之和为1，可得， 解得，即. 所以. 3．已知，若，，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为正态曲线关于对称，. 由，得. 又，由对称性可知与0关于2对称，即. 4．设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】方法1：利用方差公式可得出与的二次函数关系式，利用二次函数的单调性判断即可； 方法2：由可得出与的二次函数关系式，利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】方法1：由分布列得， 则， 则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则， 则当在内增大时，先减小后增大. 5．随机变量 的分布列如下表所示: 1 2 3 4 0.3 0.1 则 （     ） A．2 B．2.4 C．2.6 D．2.8 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求出的值，根据期望公式求解即可. 【详解】由，解得：，所以 6．已知随机变量，若，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可求，进而根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以，解得，所以. 故选:D. 7．下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) （1）抛5颗骰子得到的点数和； （2）某人一天内接收到的电话次数； （3）某地一年内下雨的天数； （4）某机器生产零件的误差数. A．(1)(2)(3) B．(4) C．(1)(4) D．(2)(3) 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量的定义直接求解即可. 【详解】由离散型随机变量的定义知（1）（2）（3）均是离散型随机变量,而（4）不是,由于这个误差数几乎都是在0附近的实数，无法一一列出. 故选：A. 8．若随机变量，且，则______． 【答案】 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求出. 【详解】由正态分布对称性可知，落在均值两边的概率相等，则． 9．已知随机变量服从两点分布，且，则________． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用两点分布的性质，即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 10．已知随机变量且，则_____________． 【答案】/ 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合已知概率计算目标区间的概率. 【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称，因此. 由已知，可得. 因此. 11．已知随机变量的分布列为 0 1 那么的数学期望_________，设，则的数学期望是_________． 【答案】 【详解】由题中所给的分布列可得：, 所以. 12．已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【详解】因为随机变量，，故，解得, 所以， 因此. 13．已知随机变量，随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9 【答案】A 【分析】正态分布的正态曲线关于直线对称，相同说明两条正态曲线形状完全相同，仅对称轴位置不同，利用对称性和已知概率求解即可. 【详解】根据概率的基本性质可知，，即， 因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称， 因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称，与到对称轴的距离相等，所以， 又因为相同，随机变量与对应的正态分布曲线形状完全相同，且与分别到各自对称轴的距离相等，所以， 结合，得 14．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.4 0.1 则随机变量的期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：， 所以. 15．已知随机变量X~，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】D 【详解】由随机变量，可知正态分布曲线的对称轴为直线，因此有，且. 已知，故. 因此. 16．有10000人参加某次考试，其成绩近似服从正态分布．.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（　　） A．10 B．30 C．15 D．23 【答案】C 【详解】∵近似服从正态分布，． ∴， ∴此次考试中成绩不低于139分的人数约为． 17．下列命题正确的个数是（    ） （1）若事件A与B互斥，则 （2）若事件A与B相互独立，则 （3）若随机变量，则 （4）若随机变量Y的方差，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据互斥事件、独立事件的性质，结合二项分布的期望公式、方差的性质逐一判断即可. 【详解】（1）因为事件A与B互斥， 所以，所以，因此本命题是真命题； （2）因为事件A与B相互独立， 所以，因此本命题是真命题； （3）因为随机变量， 所以，因此本命题是真命题； （4）因为随机变量Y的方差， 所以，因此本命题是真命题. 所以命题正确的个数是. 18．已知随机变量满足，随机变量，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望，方差公式计算即可. 【详解】，， ，， ∴． 故选:B 19．已知随机变量的分布列如下表： 1 0 则______． 【答案】 【分析】利用两点分布方差的计算公式即可. 【详解】由分布列得服从两点分布，所以. 20．已知随机变量的分布列如下表，若，则____________． 0 1 a 【答案】 【详解】， 解得， 因为， 所以解得. 21．随机变量X的分布列如下：则________． X 1 2 P 【答案】4 【详解】由题可知，所以. 22．某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共2000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 【答案】(1)，平均数为73 (2) 【分析】（1）根据小矩形的面积和为求出，利用求平均数公式即可求出平均数； （2）利用概率的乘法公式求出甲乙均没有满分的概率，再根据对立事件求出答案. 【详解】（1）由题意知， 解得， 估计这次体能测试成绩的平均数 . 即这次体能测试成绩的平均数为73. （2）记“至少有一人的体能测试成绩为满分”为事件A，所以， 所以， 即至少有一人的体能测试成绩为满分的概率为. 23．对于某局游戏，成功概率为，失败概率为，不断进行该游戏，直到失败时停止游戏，各局游戏相互独立，设表示总共进行的局数，求. 【答案】 【分析】根据几何分布的概率公式及期望公式，结合等比数列的前项和公式及错位相减法求解即可. 【详解】的可能取值为， ：第1局就失败，； ：前局成功，第局失败，，， 所以. 记，， 则， 所以， 所以， 故. 24．随机变量X的分布列为，，．求． 【答案】 【详解】， ． 因此． 1.（2024·天津·真题T14）设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得，再由分布列求概率即可得解. 【详解】由随机变量的分布列可知，解得， 所以， 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $