专题35 随机变量及其分布（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题35 随机变量及其分布 【复习目标】 1. 了解离散型随机变量，会求离散型随机变量的分布列； 2. 理解n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差； 3. 了解正态曲线的特征的特征和正态曲线所表示的意义，能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率. 【考点1 随机变量】 1、随机变量：表示随机试验结果的变量称为随机变量，常用符号ξ，X，Y等表示． 2、离散型随机变量：所有可能的取值都能_______________的随机变量称为离散型随机变量． 【即时训练】 1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（   ） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．方程的实根个数 2．抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【考点2 概率分布】 1、概率分布：离散型随机变量的取值及其相对应的_______的全体称为离散型随机变量的概率分布． 2、分布列 一般地，设随机变量ξ， ①所有可能取的值为x1，x2，…，xn； ②取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn，可列出表： ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 这个表示了离散型随机变量ξ的概率分布，通常称为分布列．(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn，…) 3、分布列的两条性质 ①pi≥0，i＝1，2，3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝＝_____． 【即时训练】 1. 已知随机变量X的分布列如下表，则（    ） X 1 2 3 P m A．1 B． C． D． 2. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 则 . 3．随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 4．已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 均值与方差】 1、均值：离散型随机变量X的均值为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝________． 2、方差：离散型随机变量X的方差为D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝___________． 特别提醒：①E(aX+b)=aE(X)+b；②D(aX+b)=a2D(X) 【即时训练】 1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则实数 ， . 0 1 P a 2.已知随机变量的分布列如表所示，则的均值为（    ） 0 1 2 P A．0 B． C． D． 3.随机变量的概率分布为，，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知随机变量的分布列如表所示，则（    ） 0 1 P 0.4 m A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 5．若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望（    ） 1 2 A．1 B． C． D．2 6．已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 7．已知随机变量满足，，，若，则（     ） A． B． C． D． 8．一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【考点4 独立实验】 1、在相同的条件下，重复做试验，如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为__________． 2、如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝______________-(k＝0，1，2，…，n). 【即时训练】 1．已知事件与相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．设一个随机事件的样本空间为，事件，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C． D．若与相互独立，则 3．已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 【考点5 二项分布】 在独立重复试验中，若将事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率是p，事件A不发生的概率是q＝1-p，那么X的分布列见表 X 0 1 … k … n P            ______  … …     _______ 由于表中的第二行恰好是二项展开式(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n,p). E(X)=______，D(X)=_______ 【即时训练】 1．已知随机变量服从二项分布．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（   ） A． B． C． D． 4．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【考点6 正态分布】 (1)正态曲线(如图所示) (2)正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，并且关于直线_______对称． ②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． ③曲线的形状由正参数σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 当μ＝0且σ＝1时的正态分布称为标准正态分布． 【即时训练】 1．某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3．已知，若，，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1.（2024·天津·真题T14）设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题35 随机变量及其分布 【复习目标】 1. 了解离散型随机变量，会求离散型随机变量的分布列； 2. 理解n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差； 3. 了解正态曲线的特征的特征和正态曲线所表示的意义，能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率. 【考点1 随机变量】 1、随机变量：表示随机试验结果的变量称为随机变量，常用符号ξ，X，Y等表示． 2、离散型随机变量：所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 【即时训练】 1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（   ） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．方程的实根个数 【答案】C 【详解】对于A，将一枚质地均匀的硬币掷五次，正面和反面向上的次数之和恒为5，是常量，故不合题意； 对于B，某人早晨在车站等出租车的时间不能逐一列出，故不是离散型随机变量，故不合题意； 对于C，因首次命中所需的次数可以是有限个或可列的无限多个值，是离散型随机变量，符合题意； 对于D，方程的实根个数恒为2，故不合题意. 2．抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【答案】B 【详解】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足； 出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足； 出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足； 出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足. 【考点2 概率分布】 1、概率分布：离散型随机变量的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量的概率分布． 2、分布列 一般地，设随机变量ξ， ①所有可能取的值为x1，x2，…，xn； ②取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn，可列出表： ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 这个表示了离散型随机变量ξ的概率分布，通常称为分布列．(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn，…) 3、分布列的两条性质 ①pi≥0，i＝1，2，3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝＝1． 【即时训练】 1. 已知随机变量X的分布列如下表，则（    ） X 1 2 3 P m A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据随机变量的分布列的概率之和为即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 2. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 则 . 【答案】0.3 【分析】根据分布列的性质解出m的值，结合表格即可求出的值. 【详解】由分布列的性质得，，解得， 所以. 故答案为：0.3. 3．随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可得答案. 【详解】因为，所以. 4．已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布的性质及概率分布的基本特征，列出方程，求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以，解得， 所以. 【考点3 均值与方差】 1、均值：离散型随机变量X的均值为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝． 2、方差：离散型随机变量X的方差为D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝． 特别提醒：①E(aX+b)=aE(X)+b；②D(aX+b)=a2D(X) 【即时训练】 1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则实数 ， . 0 1 P a 【答案】 /0.25 /0.25 【分析】根据分布列的性质与由随机变量的分布列均值公式求解均值即可. 【详解】由分布列的性质可知，解得. 则. 故答案为： 2.已知随机变量的分布列如表所示，则的均值为（    ） 0 1 2 P A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的分布列即可求解. 【详解】. 故选：D. 3.随机变量的概率分布为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的均值公式，求出的值，再根据方差公式计算. 【详解】由题意可知，且，可得, 因此，. 故选：D. 4.已知随机变量的分布列如表所示，则（    ） 0 1 P 0.4 m A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【答案】C 【分析】根据分布列中概率和为1，得到m的值，然后利用公式求出. 【详解】解：根据概率的性质可得， 所以， 所以. 故选：C. 5．若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望（    ） 1 2 A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由分布列的性质，所有概率之和为1： 根据数学期望的定义： 6．已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的性质求出，然后利用平均数和方差计算公式求解即可. 【详解】由题知，， 所以，， 所以. 7．已知随机变量满足，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用数学期望得出，再应用方差公式计算求解. 【详解】随机变量满足，，， 若，则， 则. 8．一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，的取值为. 则，，. 则的分布列为： 0 1 2 可得 【考点4 独立实验】 1、在相同的条件下，重复做试验，如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验． 2、如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 【即时训练】 1．已知事件与相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，变形代入已知数值求解. 【详解】因为事件与相互独立，所以, 因为，，代入上式得： . 2．设一个随机事件的样本空间为，事件，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C． D．若与相互独立，则 【答案】A 【详解】A.根据加法公式，，若，则，于是，即. 只有当时，才有，A错误. B.因为与互斥，所以，所以，于是，B正确. C.是的对立事件，因此恒有，C正确. D.因为与相互独立，所以，再由加法公式得，D正确. 3．已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 【答案】A 【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解. 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以 【考点5 二项分布】 在独立重复试验中，若将事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率是p，事件A不发生的概率是q＝1-p，那么X的分布列见表 X 0 1 … k … n P              … …      由于表中的第二行恰好是二项展开式(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n,p). E(X)=np，D(X)=np(1-p) 【即时训练】 1．已知随机变量服从二项分布．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的方差公式，得，得， 所以. 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率计算公式即可. 【详解】因为，所以. 3．某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的概率公式进行计算即可求解. 【详解】设他投球次，投中的次数为，则. 根据二项分布的概率公式可知投球次，恰好投中次的概率为： . 4．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：B 【考点6 正态分布】 (1)正态曲线(如图所示) (2)正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称． ②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． ③曲线的形状由正参数σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 当μ＝0且σ＝1时的正态分布称为标准正态分布． 【即时训练】 1．某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 【答案】D 【分析】结合正态分布的对称性，将所求区间的概率拆分为两个已知概率对应的对称半区间概率之和求解. 【详解】 . 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 因为，所以， 所以 3．已知，若，，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为正态曲线关于对称，. 由，得. 又，由对称性可知与0关于2对称，即. 1.（2024·天津·真题T14）设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得，再由分布列求概率即可得解. 【详解】由随机变量的分布列可知，解得， 所以， 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $