专题33 概率初步（练习）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题33 概率初步 1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（   ） A．2 B．5 C．15 D．80 【答案】B 【详解】一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25， 则该组的频数为． 2．一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【详解】袋子内红球的个数约为（个）. 3．任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上的点数是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子可能出现的结果有个， 其中朝上的点数是偶数有种情况， 故出现朝上的点数是偶数的概率. 4．将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求“出现连续3次反面向上”事件的概率，再根据对立事件的关系求解. 【详解】设事件“出现连续3次反面向上”，则事件与事件是互为对立事件 5．袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（   ） A．“摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B．“摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 【答案】A 【详解】选项A，因为个球中有个红色球，个黄色球，个白色球， 从中不放回的依次随机摸出个球，它们不会颜色都相同，所以A正确； 选项B，摸出的个球颜色都不相同，则这三个球为红白黄，这个事件为随机事件， 可能发生，所以B错误； 选项C，摸出的个球颜色可以没有红色球，所以C错误； 选项D，摸出的个球颜色可以是个红色球和个黄色球和个白色球，此时两件事情同时发生，所以D错误. 6．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，三道题是否答对相互独立，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设答对题目数为，则． 所求概率为． 7．某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. 8．某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 【答案】 / 【详解】该试验属于古典概型，所有等可能的基本事件总数为4，对应4名不同的成员. 记“女生被选中”为事件，事件包含的基本事件数为2，对应2名女生. 根据古典概型概率公式 9．一盒中有大小、形状完全相同的个红球和个白球，从盒中随机摸出个球，则两球都是白球的概率为______. 【答案】 【详解】将个白球分别记为、，个红球分别记为、， 从上述个小球中随机摸取个小球，记事件个小球都是白球， 则样本空间为，， 故，故两球都是白球的概率为. 10．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为______. 【答案】/0.3 【分析】利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】从五张卡片中任取两张，共有种取法， 从五张卡片中取两张颜色不同且标号之和小于4的取法有：红1绿1、红1绿2、红2绿1，共3种，故概率为. 11．若，，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，结合条件概率公式求出，再利用概率加法公式即可求解. 【详解】根据已知条件，得， 再由，得． 12．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 【答案】 【详解】同时掷这两枚骰子的试验有个基本事件，它们等可能， 其中朝上的面两数字之和为5的事件包含的基本事件有，共4个， 所以朝上的面两数字之和为5的概率. 1．某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（    ）． A．至多投中一次 B．投中两次 C．只有一次投中 D．两次都没有投中 【答案】D 【详解】连续投篮两次投中的情况如下： ①两次都投中；②只有一次投中；③两次都没有投中， 所以与事件“至少投中一次”互为对立事件的是两次都没有投中. 2．某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲答对概率，乙答对概率． 至少一人答对的概率为． 3．若事件 满足 ，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件 判断事件 ， 的独立性，再逐项判断． 【详解】由 且 ，得 ，所以事件 ， 相互独立． 对于 A，，而 ，故 A 不成立； 对于 B，由 ，得 ，故 B 成立； 对于 C，因为 ，所以 ，故 C 不成立； 对于 D，题设不能推出 ，例如取相互独立且 的事件，即满足题设条件而 ，故 D 不一定成立． 4．某班阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占60％，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占95％．从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为“读过《红楼梦》”，事件为“读过《三国演义》”． 易知． 所以． 5．某科研过程分为三步，第一步成功的概率为；若第一步成功，则第二步失败的概率为；若前两步成功，则第三步失败的概率为．成功完成三步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】成功完成三步要求三步都成功．第二步成功的条件概率为，第三步成功的条件概率为．由乘法公式，. 6．从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法， 取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种， 故这两个数互质的概率为. 7．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为． 8．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。 【详解】设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，， 由题意可知与相互独立，则 与相互独立， “甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”， 所以甲、乙至少有1人猜对的概率为： . 9．一个车间有4台车床，其中型2台，型2台，现从中随机抽取2台，则至少有1台型车床的概率为________． 【答案】 【分析】结合组合数性质、利用间接法计算即可得. 【详解】，即至少有1台型车床的概率为. 10．甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 【答案】 【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率. 【详解】3人全排列，总的基本事件数为种， 若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列， 所以甲和乙不相邻的概率为：. 11．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从高一年级的学生志愿者中抽取__________人； （2）现从抽出的7名同学中，随机选取2名同学承担敬老院的卫生工作，则“抽取的2名同学来自同一年级”的概率为__________. 【答案】 3 【分析】(1)用高一年级人数占总人数的比例乘以抽取的总样本数，即可得到高一年级的抽取人数； (2)计算从7名同学中选2名的总基本事件数，分别计算同一年级内选2人的组合数再求和，将两者作比即可得到对应概率. 【详解】(1)已知三个年级人数比为 ，总份数为 ，要抽取7名同学，因此按比例分配，高一年级应抽取 人，高二、高三各抽取2人； (2) 抽出的7人中，高一3人、高二2人、高三2人： 选第一个人有7种选择，选第二个人有6种选择，但“选甲再选乙”和“选乙再选甲”是同一种情况，因此总情况数为：, 两人都来自高一：从3人中选2人，共种; 两人都来自高二：从2人中选2人，共 1 种; 两人都来自高三：从2人中选2人，共 1 种; 符合条件的总情况数：; 因此所求概率 . 12．袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球（标号为和）、个黄球（标号为和），从中不放回地依次随机摸出个球，则用集合形式写出试验的样本空间为 __；“两次都摸到红球的概率”为 __． 【答案】 ，，，，，，，，，，， 【详解】由题意可得，该试验的样本空间所包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，共个， 故试验的样本空间为，，，，，，，，，，，， “两次摸到红球”的事件有，，共个， 两次都摸到红球的概率为. 1.（2025·天津·真题T14）不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球，同时取两个球都是黄球的概率为__________；同时取两个球至少一个红球的概率为_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球， 同时取两个球都是黄球的概率为； 同时取两个球至少一个红球的概率为， 故答案为：；. 2.（2023·天津·真题T14）某学校社团有10名同学，其中有4名女生，现从中任意选出3名同学组队去参加比赛，则选中2名女生的概率为_______；至少有1名女生被选中的概率为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据组合数以及古典概型概率公式计算即可. 【详解】从10名同学中任意选出3名同学的方法数为种， 其中有2名女生的方法数为种， 所以选中2名女生的概率为； 至少有1名女生的情况为1名女生2名男生或2名女生1名男生或3名女生， 所以方法数为种， 所以至少有1名女生被选中概率为. 故答案为：， 3.（2022·天津·真题T14）袋中有3个黑球和2个白球，从袋中任意取出2个球，恰好取到1个黑球和1个白球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算及组合数的应用，即可求解. 【详解】由题意，恰好取到1个黑球和1个白球的概率为. 故答案为：. 4.（2026·天津·真题T14）某单位组织义务献血，体检合格职工共10人，其中O型血3人，A型血2人，B型血3人，AB型血2人，从这10人中选出3人去献血，有________种不同选法；若选出4人中，AB型血的人恰好都选中的概率取________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. 【详解】从这10人中选出3人去献血，有种选法； 从这10人中选出4人，共有种， AB型血的人恰好都选中，共有种， 所以概率为， 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题33 概率初步 1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（   ） A．2 B．5 C．15 D．80 2．一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 3．任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上的点数是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（   ） A． B． C． D． 5．袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（   ） A．“摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B．“摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 6．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，三道题是否答对相互独立，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 8．某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 9．一盒中有大小、形状完全相同的个红球和个白球，从盒中随机摸出个球，则两球都是白球的概率为______. 10．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为______. 11．若，，，则________． 12．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 1．某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（    ）． A．至多投中一次 B．投中两次 C．只有一次投中 D．两次都没有投中 2．某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 3．若事件 满足 ，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某班阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占60％，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占95％．从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A． B． C． D． 5．某科研过程分为三步，第一步成功的概率为；若第一步成功，则第二步失败的概率为；若前两步成功，则第三步失败的概率为．成功完成三步的概率为（   ） A． B． C． D． 6．从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 7．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 8．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 9．一个车间有4台车床，其中型2台，型2台，现从中随机抽取2台，则至少有1台型车床的概率为________． 10．甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 11．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从高一年级的学生志愿者中抽取__________人； （2）现从抽出的7名同学中，随机选取2名同学承担敬老院的卫生工作，则“抽取的2名同学来自同一年级”的概率为__________. 12．袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球（标号为和）、个黄球（标号为和），从中不放回地依次随机摸出个球，则用集合形式写出试验的样本空间为 __；“两次都摸到红球的概率”为 __． 1.（2025·天津·真题T14）不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球，同时取两个球都是黄球的概率为__________；同时取两个球至少一个红球的概率为_________ 2.（2023·天津·真题T14）某学校社团有10名同学，其中有4名女生，现从中任意选出3名同学组队去参加比赛，则选中2名女生的概率为_______；至少有1名女生被选中的概率为_______． 3.（2022·天津·真题T14）袋中有3个黑球和2个白球，从袋中任意取出2个球，恰好取到1个黑球和1个白球的概率为________． 4.（2026·天津·真题T14）某单位组织义务献血，体检合格职工共10人，其中O型血3人，A型血2人，B型血3人，AB型血2人，从这10人中选出3人去献血，有________种不同选法；若选出4人中，AB型血的人恰好都选中的概率取________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $