专题32 二项式定理（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 二项式定理 【复习目标】 1. 理解二项式定理，理解二项式系数的性质； 2. 理解二项式系数与项的系数的区别. 【考点1 二项式定理】 二项式定理： ._____________________________________ 其中，(m＝0，1，2，…，n)叫作_________；叫作二项式展开式的_________． 【即时训练】 1．在的展开式中的系数是（   ） A． B． C．4 D．6 2．的展开式中的第3项是（   ） A． B． C． D． 3．的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C．6 D． 4．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 5．二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 6．展开式中的常数项是（   ） A．-540 B．-20 C．20 D．540 7．二项式定理：________________； 8．二项式的展开式中，的系数为________． 9．设，则_____． 10．在的展开式中，各项系数的最大值为___________． 11．展开式中含项的系数是_________（用数字作答） 12．在二项式(x－)10的展开式中，求： (1)第4项； (2)含x6的项； (3)常数项； (4)二项式系数最大的项． 【考点2 二项式系数的性质】 1、根据二项式系数组成的“杨辉三角”可知，二项展开式中的系数除每行两端的1之外，每个数字都等于它肩上两个数之和，即． 2、在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即． 3、二项展开式共有n+1项，如果二项式的幂指数n是偶数时，那么二项展开式的项数是奇数项，且中间一项即第项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数时，那么二项展开式的项数是偶数项，中间两项即第_________项和第________项的二项式系数相等且最大． 4、(a＋b)n的二项式系数之和为2n，即． 5、(a＋b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于________， 即． 6、二项式的系数之和可采用赋值法，令a=b=1可得. 【即时训练】 1．在的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 3．二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（   ） A． B． C． D． 4．已知的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 7．已知，则等于（    ） A．18 B．-18 C．20 D．-20 8．的展开式中，各项的系数和为____________． 9．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则______． 10．______（数字作答） 11．已知，则=______. 12．计算：______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 二项式定理 【复习目标】 1. 理解二项式定理，理解二项式系数的性质； 2. 理解二项式系数与项的系数的区别. 【考点1 二项式定理】 二项式定理： . 其中，(m＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数；叫作二项式展开式的通项公式． 【即时训练】 1．在的展开式中的系数是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为的展开式中二项式通项为， 令，得，则，所以的系数是. 2．的展开式中的第3项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理将原式展开后即可求解. 【详解】由题意得，则第项时，即. 3．的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 4．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式， . 故选：B 5．二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由二项展开式的性质可得答案. 【详解】二项式的展开式的项数为， 本题，所以. 故选：C. 6．展开式中的常数项是（   ） A．-540 B．-20 C．20 D．540 【答案】A 【详解】 展开式的通项公式是， 令 ，得， 所以. 7．二项式定理：________________； 【答案】（或写为展开形式：）. 【分析】略. 【详解】略. 8．二项式的展开式中，的系数为________． 【答案】10 【分析】利用二项式定理的通项，计算系数即可． 【详解】二项式的通项为， 当时，对应的项为，故的系数为10． 9．设，则_____． 【答案】 【详解】令，得，则． 10．在的展开式中，各项系数的最大值为___________． 【答案】10 【分析】求出二项式的展开式，进而求出各项系数的最大值. 【详解】由于， 所以在的展开式中，各项系数的最大值为10. 11．展开式中含项的系数是_________（用数字作答） 【答案】84 【详解】由二项式定理得展开式的通项为， 令，解得，则含项的系数是. 12．在二项式(x－)10的展开式中，求： (1)第4项； (2)含x6的项； (3)常数项； (4)二项式系数最大的项． 【答案】(1)－3240x4;(2)405x6;(3)－61236;(4)－61236 【解析】(1)T4＝T3＋1＝ ＝－3 240x4， ∴第4项是－3240x4. (2)∵Tm＋1＝ ∴10－2m＝6，即m＝2，∴含x6的项为T3＝T2＋1＝(－3)2＝405x6. (3)由(2)知10－2m＝0，即m＝5. ∴展开式的第6项是常数项，即T6＝T5＋1＝ (4)∵n＝10，∴展开式有11项，中间一项的二项式系数最大， 中间一项为第＋1＝6项． ∴T6＝T5＋1＝ 【考点2 二项式系数的性质】 1、根据二项式系数组成的“杨辉三角”可知，二项展开式中的系数除每行两端的1之外，每个数字都等于它肩上两个数之和，即． 2、在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即． 3、二项展开式共有n+1项，如果二项式的幂指数n是偶数时，那么二项展开式的项数是奇数项，且中间一项即第项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数时，那么二项展开式的项数是偶数项，中间两项即第项和第项的二项式系数相等且最大． 4、(a＋b)n的二项式系数之和为2n，即． 5、(a＋b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1， 即． 6、二项式的系数之和可采用赋值法，令a=b=1可得. 【即时训练】 1．在的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【详解】展开式共有项，二项式系数最大的项是中间项，即第5项. 2．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，所以, 在中，令得， 即展开式的各项系数之和为1. 3．二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式的展开式中所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等求解即可. 【详解】二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为， 因为奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等， 所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于， 4．已知的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的展开式中第项为， 令，解得， 所以的展开式中的系数为， 解得. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得，令，，所以. 6．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 7．已知，则等于（    ） A．18 B．-18 C．20 D．-20 【答案】B 【分析】令，根据二项展开式求出即可得解. 【详解】令，则， ，即， ，即， 所以， 故选：B 8．的展开式中，各项的系数和为____________． 【答案】1 【详解】在的展开式中，令,代入即得各项的系数和为. 9．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则______． 【答案】 【分析】先确定展开式中第4项和第8项的二项式系数，再利用二项式系数的性质求解. 【详解】二项式展开式中第项的二项式系数为. 由题意知，第4项的二项式系数为，第8项的二项式系数为， 因此有，根据二项式系数的性质得，，解得. 10．______（数字作答） 【答案】/ 【详解】因为， ， 所以. 11．已知，则=______. 【答案】 【详解】展开式通项为，得，， 相加得. 12．计算：______． 【答案】/ 【详解】由题意可知， 当时，令，即可得． 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $